人教B版高中数学选择性必修第三册第五章数列5.3.2等比数列的前n项和第二课时等比数列的前n项和的性质课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
第五章 5.3　等比数列 5.3.2　等比数列的前n项和
1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.
2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
学习目标
同学们,前面我们就用等差数列中的性质,类比出了等比数列的性质,由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论,今天我们再进一步扩大同学们的智慧,继续通过类比,看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质.
引入
课时精练
一、等比数列前n项和公式的灵活应用
二、等比数列中的片段和问题
三、等比数列前n项和公式的实际应用
课堂达标
内容索引
等比数列前n项和公式的灵活应用
一
知识梳理
(1)若等比数列{an}共有奇数项,其首项为1,偶数项和为170,奇数项和为341,则这个数列的公比为　　　　,项数为　　　　.
例1
2
9
由性质S奇=a1+qS偶可知341=1+170q,所以q=2,
(2)一个项数为偶数的等比数列{an},全部各项之和为偶数项之和的4倍,前3项之
积为64,则数列的通项公式an=　　　　　　　　　　　.
数列{an}的首项为a1,公比为q,
思维升华
(1)若等比数列{an}共有2n项,其公比为2,其奇数项和比偶数项和少100,则数列{an}的所有项之和为　　　　.
训练1
(2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　.
300
2
等比数列中的片段和问题
二
探究2 你能否用等比数列{an}中的Sm,Sn来表示Sm+n
提示　思路一:Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm
=Sm+qmSn.
思路二:Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn=Sn+qnSm.
(1)若{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+________ (n,m∈N+).
(2)数列{an}为公比不等于-1的等比数列(或公比为-1,且n不是偶数),Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,______________ 仍构成等比数列.
知识梳理
qnSm
S3n-S2n
等比数列片段和性质的成立是有条件的,即Sn≠0.
温馨提示
(链接教材P42练习BT2)已知在等比数列{an}中,S10=10,S20=30,则S30=　　　　.
例2
设等比数列{an}的公比为q,
∵S20≠2S10,∴q≠1.
∵S10≠S20,∴q≠-1.
70
(变条件)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于
A.16 B.26
C.30 D.80
迁移
√
设等比数列的公比为q,且注意到S3n=14≠3×2=3Sn,所以q≠1.
法一　易得q≠-1,根据性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列.
由an>0得S2n>0,
设S2n=x(x>0),则2,x-2,14-x成等比数列,故(x-2)2=2(14-x),解得x=6,
由S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,可得4(S4n-14)=82,解得S4n=30.
思维升华
1.运用等比数列的前n项和公式,要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.
2.灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
(1)设等比数列{an}前n项和为Sn,若S3=8,S6=24,则a10+a11+a12=
A.32 B.64
C.72 D.216
√
训练2
由于S3、S6-S3、S9-S6、S12-S9成等比数列,
S3=8,S6-S3=16,故其公比为2,
所以S9-S6=32,a10+a11+a12=S12-S9=64.
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S4=4,S8=12,则a21+a22+a23+a24=　　　　.
128
由等比数列前n项和的性质,
等比数列前n项和公式的实际应用
三
(链接教材P40例5)在一次招聘会上,应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准:第一年的年薪为4.2万元,以后每年的年薪比上一年增加6 000元.乙公司给出的工资标准:第一年的年薪为4.8万元,以后每年的年薪比上一年增加8%.
(1)若小李在乙公司连续工作5年,则他在第5年的年薪是多少万元
例3
由题意得,小李在乙公司工作第n年的年薪为bn=4.8·(1+8%)n-1.
令n=5,得b5=4.8·(1+8%)4≈6.72(万元).
所以他在第5年的年薪是6.72万元.
(2)为了吸引小李的加盟,乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元.那么小李在甲公司至少要连续工作几年,他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入 (参考数据:1.084≈1.4,1.085≈1.5,1.0810≈2.2,1.0811≈2.3)
思维升华
与等比数列前n项和有关的实际问题解题方法
(1)构建数列模型;
(2)根据题意将实际问题直接转化为等比数列问题,或寻找递推公式,再转化为等比数列;
(3)利用等比数列前n项和公式进行计算.
小华准备购买一部售价为5 000元的手机,采用分期付款方式,并在一年内将款全部付清.商家提出的付款方式为:购买2个月后第1次付款,再过2个月后第2次付款,…,购买12个月后第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算,求小华每期付款金额是多少.(参考数据:1.0082≈1.016,1.00812≈1.100)
训练3
法一　设小华每期付款x元,第k个月末付款后的欠款本利为Ak元,则
A2=5 000×(1+0.008)2-x=5 000×1.0082-x,
A4=A2(1+0.008)2-x=5 000×1.0084-1.0082x-x,
…,
【课堂达标】
1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5等于
A.3∶4 B.2∶3
C.1∶2 D.1∶3
√
在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…成等比数列,
√
由a1a2a3=1得a2=1,
3.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍,初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何 ”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉 ”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为　　　　.
由题意知该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a1,公比为q,
155
令X=a1+a3+…+a99=60,Y=a2+a4+…+a100,
80
【课时精练】
√
1.若等差数列{an}的首项为1,公差为1,等比数列{bn}的首项为-1,公比为-2,则数列{an+bn}的前8项和为
A.-49 B.-219 C.121 D.291
因为等差数列{an}的首项为1,公差为1,等比数列{bn}的首项为-1,公比为-2,记等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,
√
2.设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S4=6,S8=18,则S16=
A.48 B.90
C.96 D.162
设等比数列{an}的公比为q,
当q=1时,S4=4a1=6,S8=8a1=18,无解,不合题意;
√
3.记等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3=3,S8-S5=-96,则S6=
A.-3 B.-6
C.-21 D.-24
设等比数列{an}的公比为q(q≠0),
√
由题意,蒲草每日增长的高度成等比数列,
√
√
√
由a6=8a3,可得q3a3=8a3,则q=2,
7.已知{an}是各项都为正数的等比数列,Sn是它的前n项和,若S4=7,S8=21,则S16=　　　　.
105
由等比数列前n项和的性质得S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等比数列,
∴7,14,S12-21,S16-S12成等比数列,
∴S12-21=28,S12=49,S16-49=56,
∴S16=105.
8.某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵数是前一天的2倍,则需要的最少天数n=　　　　(n∈N+).
每天植树的棵数构成以2为首项,2为公比的等比数列,
6
由等比数列的性质知S5,

10.一个等比数列的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数.
法一　设原等比数列的公比为q,项数为2n(n∈N+).
√
√
√
12.已知数列{an}满足an+an+2=2an+1,a2=8,a5=20,bn=2n+1+1,设数列{bn-an}的前n项和为Sn,则a1=　　　;Sn=　　　　　　　.
因为an+an+2=2an+1,
4
2n+2-2n2-n-4
13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足S3=7,S6=63.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn.
(1)由题意知S6≠2S3,q≠1,
(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入
旅游业的总收入超过总投入,即bn-an>0,