人教B版高中数学选择性必修第三册第五章数列5.4数列的应用课件(共57张PPT)

(共57张PPT)
第五章
1.能够把实际问题转化成数列问题.
2.进一步熟悉通过建立数列模型并应用数列模型解决实际问题的过程.
学习目标
我国现代都市人的消费观念正在变迁——我们对花明天的钱圆今天的梦已不再陌生,许多年轻人过起了名副其实的“负翁”生活,贷款购物,分期付款已深入我们生活,在当前的市场环境中,分期付款被很多商家看作是抢市场份额的有效手段,为迎合消费心理,商家各尽其能;但面对商家和银行提供的各种分期付款服务,究竟选择什么样的方式好呢 能否用我们学习的数列知识解决呢 这节课我们一起探讨一下吧.
引入
课时精练
一、分期还款与数列
二、数列递推公式的实际应用
三、数列的综合应用
课堂达标
内容索引
分期还款与数列
一
知识梳理

(链接教材P45例1、P47例2)某企业进行技术改造,资金不足，有如下两种贷款方案:
甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获得利润1万元,以后每年比上年增加30%的利润;
乙方案:每年贷款1万元,第一年可获得利润1万元,以后每年比前一年多获利5 000元.
两种贷款方案的期限都是10年,到期一次性归还本息.若银行贷款利息均以年息10%计算,试比较两个方案哪个获得纯利润更多.(计算精确到千元,参考数据:1.110≈2.594,1.310≈13.796)
例1
1.解决数列的实际应用问题,关键是读懂题意,从实际问题中提炼出问题的实质,转化为数学问题解决.
2.价格升降、细胞繁殖、利率、增长率等问题常归结为数列建模,从而归纳转化为数列问题去解决.
思维升华
王某2019年12月31日向银行贷款100 000元,银行贷款年利率为5%,若此贷款分十年还清(2029年12月31日还清),每年年底等额还款(每次还款金额相同),设第n年末还款后此人在银行的欠款额为an元.
(1)设每年的还款额为m元,请用m表示出a2;
训练1
a2=100 000×(1+5%)2-m(1+5%)-m=110 250-2.05m.
(2)求每年的还款额(精确到1元).
a10=100 000×(1.05)10-m×(1.05)9-m×(1.05)8-…-m=0,
数列递推公式的实际应用
二
探究1 斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,…存在怎样的递推关系
提示　An=An-1+An-2(n>2且n∈N+),
A1=A2=1.
探究2 (链接教材P49例5)某企业投资1000万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业竞争激烈,每年年底需要从利润中拿出资金200万元做科研,才能保持原有的利润增长率.试建立第n年资金an与第n-1年资金an-1间的递推关系.
提示　an=an-1(1+25%)-200.
(链接教材P49例5) 已知某中学食堂每天供应3 000名学生用餐,为了改善学生伙食,学校每星期一有A,B两种菜可供大家免费选择(每人都会选而且只能选一种菜).调查资料表明,凡是在这星期一选A种菜的,下星期一会有20%改选B种菜;而选B种菜的,下星期一会有40%改选A种菜.用an,bn分别表示在第n个星期一选A种菜的人数和选B种菜的人数,如果a1=2 000.
(1)请用an,bn表示an+1与bn+1;
例2
(2)证明:数列{an-2 000}是常数列.
思维升华
求解此类问题的关键是依据题设条件,巧借an及an-1即抓住数列前后两项(几项)的数量关系,建立递推关系an=pan-1+q,在此基础上借助数列知识给予解答,常用的方法便是待定系数法和构造等比数列法.
某学校实验室有浓度为2 g/mL和0.2 g/mL的两种K溶液.在使用之前需要重新配制溶液,具体操作方法为取浓度为2 g/mL和0.2 g/mL的两种K溶液各300 mL分别装入两个容积都为500 mL的锥形瓶A,B中,先从瓶A中取出100 mL溶液放入B瓶中,充分混合后,再从B瓶中取出100 mL溶液放入A瓶中,再充分混合.以上两次混合过程完成后算完成一次操作.设在完成第n次操作后,A瓶中溶液浓度为an g/mL,B瓶中溶液浓度为bn g/mL.(lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
(1)请计算a1,b1,并判定数列{an-bn}是否为等比数列 若是,求出其通项公式;若不是,请说明理由;
训练2
(2)若要使得A,B两个瓶中的溶液浓度之差小于0.01 g/mL,则至少要经过几次
由题意可知,问题转化为解不等式
数列的综合应用
三
例3
(2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润
思维升华
从实际问题中建立函数模型,构造数列,运用数列性质及数列求和公式解决实际问题.
假设某市2025年新建住房面积400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2025年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米
训练3
设中低价房面积形成数列{an},
由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%
设新建住房面积形成数列{bn},
由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1.08,则bn=400×1.08n-1,
由题意可知an>0.85bn,
有250+50(n-1)>400×1.08n-1×0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6,
∴到2030年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.
【课堂达标】
1.有一座7层古塔,每层所点的灯的盏数等于上面一层的2倍,已知最上面一层点了3盏,则共点盏数为
A.192 B.381
C.189 D.63
√
√
某小镇在今年年底统计有人口20万,预计人口年平均增长率为1%,
那么1年后这个小镇的人口数为20(1+1%),
2年后这个小镇的人口数为20(1+1%)2,
3年后这个小镇的人口数为20(1+1%)3,
4年后这个小镇的人口数为20(1+1%)4,
5年后这个小镇的人口数为20(1+1%)5=20×(1.01)5.
3
4.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,则立夏日影长为　　　　尺.
设数列为{an},公差为d,
a1+a4+a7=3a1+9d=31.5,
S9=9a1+36d=85.5,解得a1=13.5,d=-1,
∴立夏日影长为a10=4.5.
4.5
【课时精练】
√
1.某工厂去年总产值为a,计划今后5年内每一年比上一年增长10%,这5年的最后一年该厂的总产值是
A.1.14a B.1.15 a
C.1.16 a D.(1+1.15) a
去年产值是a,第一年要比去年产值增加10%,那么第一年就是a+10%a,
即a(1+0.1),
第二年又比第一年增加10%,
所以第二年是a(1+0.1)(1+0.1),
依此类推,第五年是a(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)(1+0.1)=1.15a.
√
2.某人2021年元旦存入一年期款a元,若按年利率为x的计算(不计利息税),则到2026年元旦可取款
A.a(1+x)5元 B.a(1+x)6元
C.a(1+x)4元 D.a(1+x5)元
一年后,可取款a(1+x)元,
二年后,可取款a(1+x)2元,
三年后,可取款a(1+x)3元,
四年后,可取款a(1+x)4元,
五年后,可取款a(1+x)5元.
√
3.《孙子算经》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗,人别加三颗.问五人各得几何 ”其意思为“有5个人分60个橘子,他们分得的橘子数成公差为3的等差数列,问5人各得多少橘子 ”这个问题中,得到橘子最少的人所得的橘子个数是
A.4 B.5 C.6 D.7
根据题意,设5人分得的橘子数目从小到大依次为a1,a2,a3,a4,a5,
√
4.某县2024年12月末人口总数为57万,假如从2025年元月1日起,人口总数每月按相同数目增加,则到2025年12月末为止人口总数为57.24万,则2025年10月末的人口总数为
A.57.1万 B.57.2万
C.57.22万 D.57.23万
2025年10月末的人口总数为即a11=a1+10d=57.2(万).
√
根据题意,该女子每天织的布组成等比数列,且其公比为2,
6.(多选)已知斐波那契数列的前七项为1,1,2,3,5,8,13,大多数植物的花,其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数,现有层数相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵,花瓣总数为99,假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列,则一朵该种玫瑰花的层数不可能是
A.5 B.6 C.7 D.8
斐波那契数列的前n项和依次为1,2,4,7,12,20,33,…,一朵“雅苏娜”玫瑰花的花瓣总数为33,则该种玫瑰花有7层.
√
√
√
7.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要　　　　秒钟.
7
1+2+22+23+…+2n-1≥100,
8.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员,第一名得全部奖金的一半多一万元,第二名得余下的一半多一万元,以名次类推都得到余下的一半多一万元,到第十名恰好分完,则此单位共拿出　　　　万元资金进行奖励.
设第十名到第一名得到的奖金分别是a1,a2,…,a10,
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9.某大楼共有20层,有19人在第1层上了电梯,他们分别要去第2层至第20层,每层1人,而电梯只允许停1次,可只使1人满意,其余18人都要步行上楼或下楼,假设乘客每向下走1层的不满意度为1,每向上走一层的不满意度为2,所有人的不满意度之和为S,为使S最小,电梯应当停在第　　　　层.
14
10.为鼓励应届毕业大学生自主创业,国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策,现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市,初期投入为72万元,经营后每年的总收入为50万元,该超市第n年需要付出的超市维护和工人工资等费用为an万元,已知{an}为等差数列,相关信息如图所示.
由题意知,每年需付出的费用是以12为首项,4为公差的等差数列,
求得an=a1+4(n-1)=4n+8.
(1)求an;
(2)该超市第几年开始盈利 (即总收入减去成本及所有费用之差为正值)
设超市第n年后开始盈利,盈利为y万元,
√
11.(多选)《九章算术·衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何 ”翻译为“现在甲有560钱,乙有350钱,丙有180钱,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税, 问三人各应付多少税 ”则下列说法中正确的是
A.甲付的税钱最多
B.乙、丙两人付的税钱和不超过甲
C.乙应出的税钱约为32
D.丙付的税钱最多
√
√
由题意,按比例,甲钱最多,付的税钱最多;丙钱最少,付的税钱最少,可知A正确,D不正确.
12.某渔业公司今年年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞,已知第一年捕捞工作需各种费用4万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n年,其总花费(含购买费用)为 　　　　　　　万元;当n=　　　　时该渔船年平均花费最低(含购买费用).
n2+3n+100
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13.市民小张计划贷款75万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式:①等额本金:在还款期内把贷款数总额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息,因此,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息:银行从每月月供款中,先收剩余本金利息,后收本金,利息在月供款中的比例会随剩余本金的减少而降低,本金在月供款中的比例因增加而升高,但月供总额保持不变.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2024年2月8日贷款到账,则2024年3月8日首次还款).已知该笔贷款年限为25年,月利率为0.4%.
(1)若小张采取等额本金的还款方式,已知第一个还款月应还5 500元,最后一个还款月应还2 510元,试计算该笔贷款的总利息;
(2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款不得超过家庭平均月收入的一半.已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素);(参考数据:1.004300≈3.31)
设小张每月还款额为x元,采取等额本息的还款方式,
(3)对比两种还款方式,你会建议小张选择哪种还款方式,并说明你的理由.
小张采取等额本息贷款方式的总利息为4 299×300-750 000=539 700(元),
14.数学的发展推动着科技的进步,正是基于线性代数、群论等数学知识的极化码原理的应用,中国的5G技术领先世界.目前某区域市场中5G智能终端产品的制造由H公司及G公司提供技术支持.据市场调研预测,5G商用初期,该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品分别占比a0=55%及b0=45%,假设两家公司的技术更新周期一致,且随着技术优势的体现每次技术更新后,上一周期采用G公司技术的产品中有20%转而采用H公司技术,采用H公司技术的仅有5%转而采用G公司技术.设第n次技术更新后,该区域市场中采用H公司与G公司技术的智能终端产品占比分别为an及bn,不考虑其他因素的影响.
(1)用an表示an+1,并求实数λ使{an-λ}是等比数列;
(2)经过若干次技术更新后,该区域市场采用H公司技术的智能终端产品占比能否达到75%以上 若能,至少需要经过几次技术更新;若不能,说明理由 (参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)