4.2.2 等差数列前n项和 教学设计
文档属性
| 名称 | 4.2.2 等差数列前n项和 教学设计 |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 71.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
“等差数列的前n项和”教学设计
一、教学内容分析
本节课教学内容是人教A版（2019）选修2中第四章的第二节“等差数列的前n项和”．本节课主要研究如何运用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列求和是我们在现实生活中经常遇到的一类问题，通过这节课的学习，让学生可以解决这类问题，同时让学生体会从特殊到一般的研究问题方法。
二、学情分析
学生通过之前的学习，已经掌握等差数列的通项公式及基本性质，这都为倒序相加法的教学提供了基础。本节课的难点在于如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍。
三、教学目标
1. 理解等差数列前n项和公式的推导过程，了解倒序相加法的原理；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；
2. 通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，培养学生观察、归纳、反思的能力；
3.通过小组讨论学习，培养学生合作交流、独立思考等良好的学习品质。
四、教学重点和难点
【重点】重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题。
【难点】难点是等差数列前n项和公式推导过程。
五、教学过程设计
（一）创设情景
(1)世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
(2)高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050.
【设计意图】数学学习总是与一定的知识背景相联系．从实际问题入手，激发学生学习新知识的兴趣，为新课的讲解作铺垫．
合作探究
高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性．学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，我们拿2个一样的直角三角形让斜边重合进行叠放，会出现什么情况？
【设计意图】借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型．
①让学生利用发现的方法(倒序相加法)，重新解1＋2＋3＋…+100＝
②通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：
∵1 + 2 + 3 +…（n－1） + n
n +（n－1）+ （n－2）+… + 2 + 1
____________________________________________________________________
(n+1) + (n+1) + (n+1) +… +(n+1) + (n+1)
∴1+2+3+…+n=
③在公差为d的等差数列{an}中，定义前n项和
Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn？
由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：
∵Sn= + (+d) + (+2d) +…+[+(n－1)d]
Sn= + (－d) +（－2d）+…+[－(n－1)d]
∴
(公式1)
组织学生讨论：
在公式1中若将=+（n－1）d代入又可得出哪个表达式
即：（公式2）
典例分析
对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，引导学生选择恰当的公式．
例1：为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划（单位：m）如下表：问这个同学7天一共将跑多长的距离？
5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000
【设计意图】
学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择恰当的公式，以便于计算．
例2 已知等差数列5，，3，…
求(1)数列｛｝的通项公式；(2)数列｛｝的前几项和为？
(3)Sn的最大值为多少？并求出此时相应的n的值。
【设计意图】 通项公式与求和公式中共有、d、n、、Sn五个基本元素，如果已知其中三个，就可求其余两个，主要是训练学生的方程（组）思想。第（3）小题是让学生初步接触用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合打下基础．
巩固提升
练习1 已知等差数列｛｝的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n项和Sn.
练习2 等差数列｛｝中，， ， n=8，求公差d及前n项和Sn.
【设计意图】 巩固所学知识，熟练应用公式。
（五）总结反思
组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实现对等差数列前n项和公式的再次深化．
1.体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，领会方程（组）思想；
2.从特殊到一般的研究方法；
布置作业
1.课本P52习题2．3，第1题（1）（3），第2题（3）（4），第5题
2.选做题 已知函数f（x）= ，则f（-5）+f（-4）+……+f（0）+……+f（5）+f（6）的值为
【设计意图】分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都有收获．
六、教学反思
本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．在教学过程中，通过教师的引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了。同时要注重对学生知识迁移能力和计算求解的能力的培养。
一、教学内容分析
本节课教学内容是人教A版（2019）选修2中第四章的第二节“等差数列的前n项和”．本节课主要研究如何运用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列求和是我们在现实生活中经常遇到的一类问题，通过这节课的学习，让学生可以解决这类问题，同时让学生体会从特殊到一般的研究问题方法。
二、学情分析
学生通过之前的学习，已经掌握等差数列的通项公式及基本性质，这都为倒序相加法的教学提供了基础。本节课的难点在于如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍。
三、教学目标
1. 理解等差数列前n项和公式的推导过程，了解倒序相加法的原理；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；
2. 通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，培养学生观察、归纳、反思的能力；
3.通过小组讨论学习，培养学生合作交流、独立思考等良好的学习品质。
四、教学重点和难点
【重点】重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题。
【难点】难点是等差数列前n项和公式推导过程。
五、教学过程设计
（一）创设情景
(1)世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
(2)高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050.
【设计意图】数学学习总是与一定的知识背景相联系．从实际问题入手，激发学生学习新知识的兴趣，为新课的讲解作铺垫．
合作探究
高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性．学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，我们拿2个一样的直角三角形让斜边重合进行叠放，会出现什么情况？
【设计意图】借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型．
①让学生利用发现的方法(倒序相加法)，重新解1＋2＋3＋…+100＝
②通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：
∵1 + 2 + 3 +…（n－1） + n
n +（n－1）+ （n－2）+… + 2 + 1
____________________________________________________________________
(n+1) + (n+1) + (n+1) +… +(n+1) + (n+1)
∴1+2+3+…+n=
③在公差为d的等差数列{an}中，定义前n项和
Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn？
由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：
∵Sn= + (+d) + (+2d) +…+[+(n－1)d]
Sn= + (－d) +（－2d）+…+[－(n－1)d]
∴
(公式1)
组织学生讨论：
在公式1中若将=+（n－1）d代入又可得出哪个表达式
即：（公式2）
典例分析
对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，引导学生选择恰当的公式．
例1：为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划（单位：m）如下表：问这个同学7天一共将跑多长的距离？
5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000
【设计意图】
学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择恰当的公式，以便于计算．
例2 已知等差数列5，，3，…
求(1)数列｛｝的通项公式；(2)数列｛｝的前几项和为？
(3)Sn的最大值为多少？并求出此时相应的n的值。
【设计意图】 通项公式与求和公式中共有、d、n、、Sn五个基本元素，如果已知其中三个，就可求其余两个，主要是训练学生的方程（组）思想。第（3）小题是让学生初步接触用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合打下基础．
巩固提升
练习1 已知等差数列｛｝的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n项和Sn.
练习2 等差数列｛｝中，， ， n=8，求公差d及前n项和Sn.
【设计意图】 巩固所学知识，熟练应用公式。
（五）总结反思
组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实现对等差数列前n项和公式的再次深化．
1.体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，领会方程（组）思想；
2.从特殊到一般的研究方法；
布置作业
1.课本P52习题2．3，第1题（1）（3），第2题（3）（4），第5题
2.选做题 已知函数f（x）= ，则f（-5）+f（-4）+……+f（0）+……+f（5）+f（6）的值为
【设计意图】分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都有收获．
六、教学反思
本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．在教学过程中，通过教师的引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了。同时要注重对学生知识迁移能力和计算求解的能力的培养。