(共21张PPT)
第2课时 平行四边形的判定定理3
1．【生活情境】小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是 （ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
A
知识点一：对角线互相平分的四边形是平行四边形
2．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，则下列结论中不一定成立的是 ( )
A．AB＝AD B．BC∥AD
C．AB∥CD D．BC＝AD
A
3．如图， ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD.
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.
∴△FDO≌△EBO(角角边)．∴OF＝OE.
∴四边形AECF是平行四边形．
【变式】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AF＝CE，BH＝DG.求证：四边形EGFH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
又∵AF＝CE，
∴AF－OA＝CE－OC，即OF＝OE.
同理可得OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
4．下面给出的四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是 ( )
A．3∶4∶3∶4 B．3∶3∶4∶4
C．2∶3∶4∶5 D．3∶4∶4∶3
A
知识点二：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
5．下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( )
A．AB∥CD，AD＝BC
B.∠A＝∠C，∠B＝∠D
C．AB＝CD，AD＝BC
D.AB∥CD，AB＝CD
A
6．在四边形ABCD中，已知∠A＝45°，∠B＋2∠C＝225°，∠B－∠C＝90°.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
7．如图，点E是 ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F.添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是 ( )
A．∠ABD＝∠DCE
B．DF＝CF
C．∠AEC＝∠CBD
D．∠AEB＝∠BCD
D
8．【生活情境】图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花(如图②)，已知AC与BD互相平分且交于点O, AD＝4 cm, AC＝10 cm，BD＝6 cm，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 cm2.
24
9．如图①，在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，
∵O是AC的中点，
∴AO＝CO，
∴△OAE≌OCF(角边角)，
∴OE＝OF，同理OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．
解： GBCH， ABFE， EFCD， EGFH.
10．综合实践：数学课上，老师布置了一道尺规作图题：如图①，在△ABC中，D是边AC上一点．求作：平行四边形ABMD.
小齐的作法如下：如图②：
Ⅰ)以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AC于点E，交AB于点F；
Ⅱ)以点D为圆心，AE的长为半径画弧，交DC于点G，再以点G为圆心，EF的长为半径画弧，交前弧于点H，作射线DH，可得∠CDH＝∠DAB，即DH∥AB；
Ⅲ)同理，再以点B为圆心作∠MBI＝∠DAB，得BM∥AD.
(1)写出小齐的作法依据： ；
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)请参照小齐的作法，再设计一种尺规作图的方法(与小齐的方法不同)，使得作出的四边形ABFD是平行四边形，并证明．
解：(2)如图①，四边形ABFD即为所求．
证明：∵BO＝DO，AO＝FO，
∴四边形ABFD是平行四边形．(共24张PPT)
第1章 四边形
1．1 多边形
第1课时 多边形及其内角和
1．下列图形中属于多边形的有 （ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．2个
A
知识点一：多边形的有关概念
2．下列说法中正确的是 ( )
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各角相等的多边形是正多边形
C．在平面内，边相等，角也都相等的多边形是正多边形
D．以上说法都不对
C
3．从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是 ( )
A．n B．n－1
C．n－2 D．n－3
C
4．(1)一个正多边形的周长是100，边长是10，则该正多边形的边数为 ；
(2)从一个多边形的一个顶点出发一共有7条对角线，则这个多边形的边数是 .
10
10
5．【红色文化】湖南烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是 ( )
A．720° B．900°
C．1 080° D．1 440°
C
知识点二：多边形的内角和
6．如果一个多边形的边数增加2，那么这个多边形的内角和 ( )
A．增加90° B．增加180°
C．增加360° D．不增加
C
7．(1)若一个n边形的内角和是900°，则 n＝ ；
(2)如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数是 .
7
36°
8．求图中x，y的值．
(1) (2)
解：(1)x＋x＋140＋90＝(4－2)×180，
解得x＝65.
(2)y＋y－20＋90＋120＋150＝(5－2)×180.
解得y＝100.
9．【方程思想】若两个多边形的边数之比为 1 ∶2，两个多边形的内角和为1 440°，求这两个多边形的边数．
解：设两个多边形的边数分别为x，2x.
由题意得
(x－2)×180＋(2x－2)×180＝1 440，
解得x＝4，则2x＝8.
答：这两个多边形的边数分别为4和8.
10．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是 ( )
A．六边形 B．五边形
C．四边形 D．三角形
A
11．如图，平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠3＋∠1－∠2＝ .
24°
12．如图，在△ABC中内接一个正五边形ADEFG，则∠ABC＝ .
36°
13．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1＝60°.
(1)求∠ADC的度数；
解：(1)六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°.
∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴每个内角的度数为720°÷6＝120°.
又∵∠1＝60°，四边形ABCD的内角和为360°，
∴∠ADC＝360°－∠1－∠B－∠C
＝360°－60°－120°－120°
＝60°.
(2)AB与ED有怎样的位置关系？为什么？
(2)AB∥ED.
理由：∵∠ADC＝ 60°，∠EDC＝120°，
∴∠EDA＝120°－60°＝60°，
∴∠EDA＝∠1，
∴AB∥ED.
14．如图，在五边形ABCDE中，AP平分∠EAB，BP平分∠ABC.
(1)五边形ABCDE的内角和是 ；
540°
(2)若∠C＝100°，∠D＝75°，∠E＝135°，求∠P的度数．
解：(2)在五边形ABCDE中，∠EAB＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＝540°，
∠C＝100°，∠D＝75°，
∠E＝135°，
∴∠EAB＋∠ABC＝230°.
∵AP平分∠EAB，BP平分∠ABC，
∴∠PAB＝∠EAB，∠PBA＝∠ABC.
∴∠PAB＋∠PBA＝(∠EAB＋∠ABC)＝115°.
∴∠P＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝65°.
15．如图，AD与BC交于点O.
(1)如图①，判断∠A＋∠B与∠C＋∠D的数量关系，并证明你的结论；
解：(1)∠A＋∠B＝∠C＋∠D.
证明：∵∠AOB＋∠A＋∠B＝180°，∠COD＋∠C＋∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A＋∠B＝∠C＋∠D.
(2)如图②，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠M的度数为 ；
(3)如图③，若CF平分∠BCD, DE平分∠ADC，CF与DE交于点M，∠E＋∠F＝50°，则∠A＋∠B＝ .
540°
100°(共23张PPT)
1.2.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的
判定定理1，2
1．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是 （ ）
D
知识点一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2．【生活情境】为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使夹在铁轨之间的互相平行的枕木长相等就可以了．这其中的数学原理是 对边 ．
一组
对边平行且相等的四边形是平行四边形
3．如图， ABCD中，E，F分别为BC，AD边上的点，要使BF＝DE，需添加一个条件： ．
BE＝DF(答案不唯一)
4.(广安中考)如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AF＝CE，∠BAC＝∠DCA.求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AF＝CE，
∴AE＝CF.
在△ABE和△CDF中，
∠BAE＝∠DCF,
AE＝CF,
∠AEB＝∠CFD，
∴△ABE≌△CDF(角边角)，∴AB＝CD，
∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
5．在四边形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，CD＝3，要使该四边形是平行四边形，则AD的长为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
B
知识点二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
6．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD.若∠B＝65°，则∠ADC的大小为 .
65°
7．如图，将两块全等的含30°角的三角尺按如图的方式摆放在一起．求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵△ABD≌△CDB，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
8．如图，在4×4的正方形方格图中，△ABC的三个点都在格点上．
(1)画出 ABEC，其中E是格点；
解：(1)如图所示．
(2)请用平行四边形的判定方法说明(1)中所画图形的合理性．
(2)设小正方形方格的边长为1，则AC＝，
AB＝，BE＝，CE＝，
∴AC＝BE，AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形．
9．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C
10．如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E，F是DB上两点，且AE∥CF.若∠AEB＝115°，∠ADB＝35°，则∠BCF的度数为 ( )
A．150° B．40° C．80° D．90°
C
11．已知一个四边形的四条边长顺次为a，b，c，d，且满足a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则此四边形是 ．
平行四边形
12．【开放性问题】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， ．
请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
(1)求证：四边形BCDE为平行四边形；
①(或②)
(1)证明：
选择①，∵∠B＝∠AED，
∴BC∥DE.∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形．
选择②.∵AE＝BE，AE＝CD，∴BE＝CD.
∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形．
(2)若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长．
(2)解：∵四边形BCDE为平行四边形．
∴DE＝BC＝10.∵AD⊥AB，∴∠A＝90°.
∴AE＝＝＝6.
13．如图，在 ABCD中，AD＝2AB＝6 cm，BE平分∠ABC，点M从点E出发，沿ED方向以1 cm/s 的速度向点D运动，同时，点N从点C出发，沿射线CB方向以4 cm/s的速度运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t s.
(1)求AE的长；
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.∴∠AEB＝∠CBE.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.
∴∠ABE＝∠AEB.∴AE＝AB.
∵AD＝2AB＝6 cm，∴AE＝AB＝3 cm.
(2)是否存在以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(2)存在．由(1)知，AE＝3 cm，
∵AD＝6 cm，∴DE＝AD－AE＝3 cm.
由题意知，EM＝t cm，
CN＝4t cm(0≤t≤3)．
∵AD∥BC，
∴要使以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形，只要满足EM＝BN即可．
当点N在边BC上时，
BN＝BC－CN＝(6－4t) cm，
∴t＝6－4t，∴t＝；
当点N在边CB的延长线上时，
BN＝CN－BC＝(4t－6)cm，
∴t＝4t－6，∴t＝2.
综上所述，当t＝或t＝2时，以M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形．
