第1章 四边形 质量评价
(考试时间：120分钟 满分：120分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图②中∠ABC的度数是(D)
A．90° B．120° C．135° D．150°
2．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(B)
3．如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论中不一定成立的是(D)
A．BO＝DO B．∠BAD＝∠BCD
C．CD＝AB D．AC＝BD
4．如图，将△ABC以点O为旋转中心旋转180°后得到△A′B′C′，点D，E分别是AC，AB的中点，线段ED经旋转后变为线段E′D′.已知BC＝4，则线段E′D′的长为(A)
A．2 B．3 C．4 D．1.5
5．一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，其中是平行四边形的是(D)
A．88°，108°，88°
B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92°
D．88°，92°，88°
6．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小(菱形的边长不变)．当∠BCD＝54°时，∠BAC的度数为(B)
A．26° B．27° C.28° D.29°
7．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，DE⊥AC于点E，若∠BOC＝50°，则∠ADE的度数为(B)
A．40° B.25° C．20° D.15°
8．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，对角线AC，BD交于点O.过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段AE的长为(D)
A. B．1 C. D.
9．如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为(C)
A．1 B．2 C．3 D．3
10．如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，PG⊥OB于点G，则的值是(C)
A．1 B．2 C. D.
【解析】延长FP交OB于点Q，则OE＋OG＝PG＋OG＝GQ＋OG＝OQ＝OF.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的度数是40°.
12．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，则 ABCD应满足的条件是AB＝AD(答案不唯一)．(写出一种即可)
13．如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，E，F分别是边AD，BC上的点，且关于点O中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是5.5.
14．如图，在 ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠B＝60°，AB＝2，则 ABCD的面积为4.
15．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为4 .
16．如图，已知正方形ABCD，M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，连接DH，HM，则有以下结论：
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°.
其中正确的有①②④(选填序号)．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(6分)一个正多边形的每个内角都是相邻外角的3倍，则这个正多边形是几边形，每个内角是多少度？
解：设多边形的每个外角的度数为n°，则其内角为3n°，由题意得
n＋3n＝180，解得n＝45，
即这个多边形的边数是＝8，45°×3＝135°.
答：这个正多边形是正八边形，每个内角是135°.
18．(6分)如图，在 ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，CD∥AB.
∵BE＝AB，∴BE＝CD.
∴四边形BECD是平行四边形．
∵∠ABD＝90°，∴∠DBE＝90°.∴四边形BECD是矩形．
19．(8分)小惠自编一道题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，OB＝OD.求证：四边形ABCD是菱形．”并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD.∴AB＝AD，CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形 小洁：这道题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明.
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞同小洁的说法，请补充一个条件，并证明．
解：赞同小洁的说法，补充条件：OA＝OC.
证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AC⊥CD，∴四边形ABCD是菱形．
20．(8分)如图，四边形ABCD是一个菱形绿地，其周长为40 m，∠BAD＝60°，在其内部有一个矩形花坛EFGH，其四个顶点恰好是菱形ABCD各边的中点，现准备在花坛中种植草皮，草皮单价为20元/m2，请问购买草皮需要多少元？(取1.8)
解：连接BD，AC，
∵菱形ABCD的周长为40 m，
∴菱形ABCD的边长为10 m，
∵∠BAD＝60°，
∴BD＝10 m，AC＝10 m，
∵E，F，G，H是菱形ABCD各边的中点，
∴四边形EFGH是矩形，边长分别为5 m，5 m，
∴5×5×20＝1 000≈1 800(元)．
答：购买草皮需要1 800元．
21．(10分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，E，F分别为DB，BC的中点，连接AE，EF，AF.
(1)求证：AE＝EF；
(2)当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系式．
(1)证明：∵E，F分别为DB，BC的中点，
∴EF＝CD.∵∠DAB＝90°，∴AE＝BD.
∵DB＝DC，∴AE＝EF.
(2)解：∵AF＝AE＝EF，∴△AEF是等边三角形．
∴∠AEF＝60°.
∵∠DAB＝90°，E，F分别为DB，BC的中点，
∴AE＝DB＝DE，EF∥CD.
∴∠DAE＝∠ADB＝α，∠BEF＝∠BDC＝β.
∴∠AEB＝2α.∴∠AEF＝∠AEB＋∠BEF＝2α＋β＝60°.
∴α，β之间的数量关系式为2α＋β＝60°.
22．(10分)四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
(1)若AC＝CE，如图①，求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若AB＝AD，F是AB上一点，且AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图②.求证：△DGF是等腰直角三角形．
,①) ,②)
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，BC⊥AE.
又∵AC＝CE，∴AB＝BE.∴BE＝CD.
∴四边形BECD是平行四边形．
(2)∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．∴∠CAE＝45°.
∵EG⊥AC，∴∠E＝∠GAE＝45°，∴GE＝GA.
又∵AF＝BE，∴AB＝EF.∴EF＝AD.
又∵∠DAC＝∠E＝45°，∴△EGF≌△AGD(SAS)．
∴GF＝GD，∠DGA＝∠FGE.
∴∠DGF＝∠DGA＋∠AGF＝∠FGE＋∠AGF＝∠AGE＝90°.
∴△DGF是等腰直角三角形．
23．(12分)定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形ABCD，E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，△EFG为等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是“等对边四边形”；
(2)若∠BAC＋∠BDC＝180°，求∠DBC的度数．
(1)证明：∵△EFG为等边三角形，
∴EG＝FG.∵E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，
∴EG是△CBA的中位线，FG是△BCD的中位线，∴AB＝2EG，CD＝2FG，
∴AB＝CD，∴四边形ABCD是“等对边四边形”．
(2)解：过点B作BM⊥CA交CA的延长线于点M，过点C作CN⊥BD于点N.∵∠BAC＋∠BDC＝180°，∠BAC＋∠BAM＝180°，
∴∠BAM＝∠CDN.又∵∠AMB＝∠DNC＝90°，AB＝DC，
∴△BAM≌△CDN(AAS)，∴BM＝CN.
∵BC＝CB，∴Rt△BCM≌Rt△CBN(HL)，∴∠DBC＝∠ACB.
∵∠BAC＋∠BDC＝180°，∠CEG＝∠BAC，∠BFG＝∠BDC，
∴∠CEG＋∠BFG＝180°，∴∠GEH＋∠GFH＝180°，
又∵∠EGF＝60°，∴∠FHE＝120°，∴∠DBC＝(180°－120°)＝30°.
24．(12分)问题背景：如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，且DE＝AF，DE⊥AF.
证明探究：
(1)求证：矩形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H，使得BH＝AE，连接AH，判断△AHF的形状，并说明理由；
类比迁移：
(3)如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，且DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
(1)证明：设DE⊥AF于点G，∵四边形是ABCD是矩形，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴∠BAF＋∠DAF＝90°.又∵DE⊥AF，
∴∠AGD＝90°，∴∠ADE＋∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF.
又∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF(AAS)，∴AD＝AB，
∴矩形ABCD是正方形．
(2)解：△AHF是等腰三角形，
理由：由(1)知△ADE≌△BAF，∴BF＝AE＝BH.
又∵∠ABF＝90°，∴AB垂直平分线段HF，∴AH＝AF，
∴△AHF是等腰三角形．
(3)解：延长CB到点H，使BH＝AE＝6，连接AH，
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝AD，∴∠ABH＝∠BAD.
又∵BH＝AE，∴△DAE≌△ABH(SAS)，
∴AH＝DE＝AF，∠AHB＝∠DEA＝60°，∴△AHF是等边三角形，
∴DE＝AH＝HF＝HB＋BF＝6＋2＝8.第1章 四边形 质量评价
(考试时间：120分钟 满分：120分)
姓名：________ 班级：________ 分数：________
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正六边形、正方形和正三角形构成，它的轮廓为正十二边形，则图②中∠ABC的度数是( )
A．90° B．120° C．135° D．150°
2．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
3．如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论中不一定成立的是( )
A．BO＝DO B．∠BAD＝∠BCD
C．CD＝AB D．AC＝BD
4．如图，将△ABC以点O为旋转中心旋转180°后得到△A′B′C′，点D，E分别是AC，AB的中点，线段ED经旋转后变为线段E′D′.已知BC＝4，则线段E′D′的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．1.5
5．一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，其中是平行四边形的是( )
A．88°，108°，88°
B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92°
D．88°，92°，88°
6．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小(菱形的边长不变)．当∠BCD＝54°时，∠BAC的度数为( )
A．26° B．27° C.28° D.29°
7．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，DE⊥AC于点E，若∠BOC＝50°，则∠ADE的度数为( )
A．40° B.25° C．20° D.15°
8．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，对角线AC，BD交于点O.过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段AE的长为( )
A. B．1 C. D.
9．如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．3
10．如图，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，PE⊥OA于点E，PF⊥OC于点F，PG⊥OB于点G，则的值是( )
A．1 B．2 C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C＝110°，它的一个外角∠ADE＝60°，则∠B的度数是 .
12．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，则 ABCD应满足的条件是 ．(写出一种即可)
13．如图，已知点O是矩形ABCD的对称中心，E，F分别是边AD，BC上的点，且关于点O中心对称，如果矩形的面积是22，那么图中阴影部分的面积是 .
14．如图，在 ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠B＝60°，AB＝2，则 ABCD的面积为 .
15．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE.若∠AED＝∠BEC，DE＝2，则BE的长为 .
16．如图，已知正方形ABCD，M是边BA延长线上的动点(不与点A重合)且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，连接DH，HM，则有以下结论：
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°.
其中正确的有 (选填序号)．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(6分)一个正多边形的每个内角都是相邻外角的3倍，则这个正多边形是几边形，每个内角是多少度？
18．(6分)如图，在 ABCD中，∠ABD＝90°，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．
19．(8分)小惠自编一道题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，OB＝OD.求证：四边形ABCD是菱形．”并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD.∴AB＝AD，CB＝CD，∴四边形ABCD是菱形 小洁：这道题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明.
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞同小洁的说法，请补充一个条件，并证明．
20．(8分)如图，四边形ABCD是一个菱形绿地，其周长为40 m，∠BAD＝60°，在其内部有一个矩形花坛EFGH，其四个顶点恰好是菱形ABCD各边的中点，现准备在花坛中种植草皮，草皮单价为20元/m2，请问购买草皮需要多少元？(取1.8)
21．(10分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，E，F分别为DB，BC的中点，连接AE，EF，AF.
(1)求证：AE＝EF；
(2)当AF＝AE时，设∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之间的数量关系式．
22．(10分)四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
(1)若AC＝CE，如图①，求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若AB＝AD，F是AB上一点，且AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图②.求证：△DGF是等腰直角三角形．
,①) ,②)
23．(12分)定义：至少有一组对边相等的凸四边形为等对边四边形．如图，已知四边形ABCD，E，F是对角线AC，BD的中点，G为BC的中点，连接EF，FG，EG，△EFG为等边三角形．
(1)求证：四边形ABCD是“等对边四边形”；
(2)若∠BAC＋∠BDC＝180°，求∠DBC的度数．
24．(12分)问题背景：如图①，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，且DE＝AF，DE⊥AF.
证明探究：
(1)求证：矩形ABCD是正方形；
(2)延长CB到点H，使得BH＝AE，连接AH，判断△AHF的形状，并说明理由；
类比迁移：
(3)如图②，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，且DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，求DE的长．
