(共9张PPT)
第2课时 平行线的判定(2)
知识点1 同位角
如图1所示，直线AB，CD与EF相交．∠1和∠2都在直线AB，CD
_____________，并且都在直线EF的_____________，具有这种
位置关系的一对角叫作同位角．图中的∠4与____，____与∠8，
∠7与____，也是同位角．
同侧(或上方)
同旁(或右侧)
∠5
∠3
∠6
知识点2 平行线基本事实Ⅱ
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直
线平行．简称：同位角相等，两直线平行．如图2所示，因为_________，所以a∥c.
∠1＝∠3
考点1 同位角
典例1 [2024·宁波期中]如图，与∠1构成同位角的是( )
A．∠2
B．∠3
C．∠4
D．∠5
思路导析 根据同位角的定义判断即可．
变式 [2025·福山区期末]下列选项中，∠1与∠2是同位角的是( )
考点2 平行线基本事实Ⅱ
典例2 [2025·义乌市期末]已知直线l1，l2，l3，l4，l5及它们的夹角如图所示，则图中互相平行的直线是( )
A．l1∥l2
B．l2∥l3
C．l1∥l3
D．l4∥l5
思路导析 由平行线的判定方法基本事实Ⅱ，分别计算出各组同位角的度数，即可判断．
变式 [2025·天桥区期末]已知直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°，求证：AB∥CD．
证明：因为GH⊥CD，所以∠CHG＝90°.
又因为∠2＝30°，
所以∠3＝∠CHG－∠2＝60°，
所以∠4＝60°.
又因为∠1＝60°，
所以∠1＝∠4，
所以AB∥CD．(共10张PPT)
第3课时 垂直的性质
知识点1 垂线段
1．_____________________________________________________
叫作垂线段．
2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，___________．
过直线外一点作一条直线的垂线，这个点与垂足之间的线段
垂线段最短
知识点2 点到直线的距离
___________________________________，叫作这个点到这条
直线的距离．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度
【注意】
两点之间的距离是两点之间线段的长度，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度．
考点1 垂线段最短
典例1 [2025·济南期中]宇树科技Unitree B2－W轮足机器人正在水中的点A处工作，当它收到需尽快上岸的指令后，选择路线AB到达岸边．其中蕴含的数学原理是( )
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
思路导析 解题的关键是正确理解点到直线的距离．根据垂线段最短解决问题．
变式 以下可用“垂线段最短”来解释的生活现象是( )
考点2 点到直线的距离
典例2 [2025·东营期中]如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论中错误的为( )
A．线段AB的长度是点B到AC的距离
B．点C到AB的垂线段是线段CA
C．线段AD的长度是点D到AC的距离
D．点C到AD的垂线段是线段CD
思路导析 解决问题的关键是识别图形，找到直线及直线外的点，进而识别出点到直线的垂线段．
变式 [2025·菏泽期中]点M是直线l外一点，在直线l上取三点A，B，C，若满足MA＝2，MB＝4，MC＝6，则下列关于点M到直线l的距离d的说法正确的是( )
A．d＝2
B．d的值大于2且小于6
C．d的值一定大于6
D．d的值大于0且不大于2(共15张PPT)
第2课时 垂 直
知识点1 垂直的定义及表示
两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是直角，那么
就称这两条直线互相_____，其中一条直线叫作另一条直线的
_____，交点叫作_____．表示方法为直线AB与
直线CD垂直，记作_______；如果用l，m表示
这两条直线，那么直线l与直线m垂直，记作
____．
垂直
垂线
垂足
AB⊥CD
l⊥m
知识点2 垂线的画法及垂线的基本事实
1．垂线的画法
(1)三角板
经过一点(在已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线，步骤
如下：
步骤 内容 示图
一落 让三角板的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P作直线l的垂线
二移 沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿与已知直线不重合的直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 (2)量角器
让0°射线贴住已知直线，让90°射线紧靠已知点，即可画出
已知直线的垂线．
【注意】
画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在的直线的垂线，垂足不一定在这条线段或射线上，可能在线段或者射线的反向延长线上．画垂线时是画实线，如需要延长线段或者反向延长射线时，则用虚线画出延长线．
2．垂线的基本事实：___________________________________
与已知直线垂直．
【注意】
垂线是一条直线．
同一平面内，过一点有且只有一条直线
考点1 垂直的定义及表示
典例1 下面四种判断两条直线垂直的方法中正确的有( )
①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直
②两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直
③两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互相垂直
④两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
思路导析 根据垂直的定义判断．
变式 [2025·福州期中]如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE，OF在∠AOD内，∠EOF＝60°，∠AOC∶∠AOD＝1∶5，OD平分∠BOE.判断OF与CD的位置关系，并说明理由．
考点2 垂线的画法与基本事实
典例2 [2025·饶平县期末]过点M作AB的垂线CD，下列选项中，三角板的放法正确的是( )
思路导析 根据垂线的画法进行判断．
变式1 [2025·铁岭县期中]如果直线ON⊥直线a，
直线OM⊥直线a，那么直线OM与ON重合(即O，M，
N三点共线)，其理由是( )
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
变式2 如图，用三角板或量角器经过点P分别画出直线AB与CD的垂线．
解：过点P垂直AB，CD的直线如图所示．(共14张PPT)
8.3 平行线的性质
知识点 平行线的性质定理
1．平行线性质定理Ⅰ：两条平行直线被第三条直线所截，同位
角_____．简称：两直线平行，同位角_____．如图所示，因为
AB∥CD，所以_________．
相等
相等
∠1＝∠2
2．平行线性质定理Ⅱ：(1)两条平行直线被第三条直线所截，
内错角_____．简称：两直线平行，内错角_____．如图所示，
因为AB∥CD，所以_________．
(2)两条平行直线被第三条直线所截，_________互补．简称：
两直线平行，_________互补．如图所示，因为AB∥CD，所以________________．
相等
相等
∠2＝∠4
同旁内角
同旁内角
∠2＋∠3＝180°
【温馨提示】
在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论，若没有两直线平行的条件，以上结论是不成立的．
考点1 平行线的性质
典例1 [2025·浙江]如图所示，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝91°，则( )
A．∠2＝91°
B．∠3＝91°
C．∠4＝91°
D．∠5＝91°
思路导析 根据两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，对顶角相等，邻补角互补求解．
变式1 [2025·长沙]如图，AB∥CD，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，直线EG与直线CD交于点G.若∠1＝70°，∠2＝50°，则∠GEF的度数为( )
A．50° B．60°
C．65° D．70°
变式2 [2025·扬州]如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G.若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是( )
A．60° B．70°
C．80° D．90°
考点2 平行线性质与判定的综合应用
典例2 [2025·松原期中]如图，已知∠1＝110°，∠2＝70°，
∠B＝∠C，试判断AB与CD平行吗？为什么？
思路导析 首先证明EC∥BF，然后得到∠BEC＋∠EBF＝180°，
结合∠EBF＝∠ECF得到∠ECF＋∠BEC＝180°，即可证明AB∥CD．
解：AB∥CD，理由如下：
因为∠1＝110°，∠2＝70°，
所以∠1＋∠2＝180°，所以EC∥BF，
所以∠BEC＋∠EBF＝180°.
因为∠EBF＝∠ECF，
所以∠ECF＋∠BEC＝180°，
所以AB∥CD．
变式1 [2025·惠东县期中]如图，已知CF是∠ACB的平分线，交
AB于点F，点D，E，G分别是AC，AB，BC上的点，且∠3＝∠ACB，
∠4＋∠5＝180°.
(1)图中∠2与∠5是一对_________，∠3与∠4是一对_______；
(填“同位角”“内错角”或“同旁内角”)
(2)若CF⊥AB，垂足为F，∠A＝58°，则∠4的度
数为_____；
(3)判断CF与DE是什么位置关系？说明理由．
同旁内角
内错角
32°
解：(2)因为∠3＝∠ACB，所以FG∥AC，
所以∠A＋∠AFG＝180°.
因为∠A＝58°，所以∠AFG＝122°.
因为CF⊥AB，所以∠AFC＝90°，
所以∠4＝∠AFG－∠AFC＝32°，故答案为：32°；
(3)CF∥DE.理由如下：
因为∠3＝∠ACB，所以FG∥AC，所以∠4＝∠2.
因为∠4＋∠5＝180°，所以∠2＋∠5＝180°，所以CF∥DE.
变式2 [2025·济南期末]中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图1是一个“互”字，图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB∥CD，点E，M，F在同一直线上，点G，N，H在同一条直线上，且∠AEF＝∠GHD，MG∥FN.试证明：∠EFN＝∠G.
证明：如图，延长EF交CD于点P.
因为AB∥CD，所以∠AEF＝∠EPD，
又因为∠AEF＝∠GHD，所以∠EPD＝∠GHD，
所以EP∥GH，所以∠EFN＋∠FNG＝180°，
又因为MG∥FN，所以∠FNG＋∠G＝180°，
所以∠EFN＝∠G.(共14张PPT)
第8章 相交线与平行线
8.1 相交线
第1课时 对顶角
知识点1 两条直线的位置关系
1．在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种．
2．如果两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为_____
___，这个公共点叫作它们的_____．如图1，直线a与直线b相
交，交点为点O.
相交
线
交点
3．在同一平面内，___________的两条直线叫作平行线．如图2，
直线a与直线b平行．
没有公共点
知识点2 邻补角与对顶角
1．邻补角：一般地，有一条_______，并且另一边互为反向延
长线，具有这种位置关系的两个角互为邻补角．如图1，∠1与
∠2，∠2与∠3，∠1与∠4，∠4与∠3互为邻补角．
【注意】
邻补角是以两个角的特殊位置来定义的，注意与补角区分开．
公共边
2．对顶角
(1)定义：一般地，两条直线相交形成两对对顶角．成对顶角
的两个角有___________，其中一个角的两边分别是另一个角
两边的___________．如图1，∠1与∠3，∠2与∠4互为对顶角．
(2)性质：对顶角_____．
公共的顶点
反向延长线
相等
【注意】
(1)对顶角描述的是两个角的位置关系，对顶角相等，但相等的两个角不一定是对顶角．
(2)判定两个角是对顶角的方法：有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线．
考点1 两直线的位置关系
典例1 下列说法中错误的个数是( )
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种
②不相交的两条直线不一定平行
③在同一平面内，若两条线段不相交，则它们平行
④在同一平面内，若两条射线不相交，则它们平行
A．1 B．2
C．3 D．4
思路导析 根据同一平面内两条直线的位置关系有相交和平行两种进行判断．
变式 如图所示，能相交的是___，平行的是___．(填序号)
③
⑤
考点2 邻补角与对顶角的识别
典例2 [2025·德州期中]下面的四个图形中，∠ 1与∠2是对顶角的是( )
思路导析 对顶角需要满足：(1)有公共顶点；(2)角的两边互为反向延长线．
变式 下列说法正确的是( )
A．有公共顶点的两个角是对顶角
B．有公共顶点并且相等的两个角是对顶角
C．两条直线相交所得的四个角中的任意两个角，不是邻补角，就是对顶角
D．相等的两个角一定是对顶角
考点3 对顶角的性质
典例3 [2024·长沙期中]如图，直线AB，CD相交于点O，已知
∠AOC＝75°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝3∶2，
则∠EOD＝_____．
30°
思路导析 根据对顶角相等得出∠BOD的度数，再根据∠BOE∶
∠EOD＝3∶2，即可求出∠EOD的度数．
变式 [2024·新乡期中]如图，直线AB，CD相交于点O，OE把
∠BOD分成两部分．
(1)直接写出图中∠AOD的对顶角为为______，∠BOE的邻补角
为______；
(2)若OE平分∠BOD，∠DOE∶∠AOD＝1∶4.求∠EOC的度数．
∠BOC
∠AOE
解：(2)设∠DOE＝x，则∠AOD＝4x，因为OE平分∠BOD，所以∠BOE＝∠DOE＝x，所以x＋x＋4x＝180°，解得x＝30°，所以∠BOE＝30°，∠AOD＝4x＝120°，所以∠BOC＝∠AOD＝120°，所以∠EOC＝∠BOE＋∠BOC＝150°.(共14张PPT)
8.2 平行线及其判定
第1课时 平行线的判定(1)
知识点1 平行线的概念
同一平面内，不相交的两条直线叫作_______．如果直线AB与直
线CD平行，记作“AB∥CD”或“CD∥AB”，读作“AB平行于CD”
或“CD平行于AB”．
【注意】
(1)必须在同一平面内；(2)必须是不相交的直线．
平行线
知识点2 平行线的画法
画平行线的工具是_____________．
具体方法：一“放”；二“靠”；三“推”；四“画”．
直尺、三角板
知识点3 平行线的基本事实Ⅰ和平行线的传递性
基本事实Ⅰ：过直线外一点，有且只有___条直线与这条直线平
行．
平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线_____．
【注意】
在平行线的基本性质中，已知条件中的点必须在已知直线外，而
在垂线的性质中，已知条件中的点可在直线外，也可在直线上．
一
平行
【注意】
在平行线的基本性质中，已知条件中的点必须在已知直线外，而在垂线的性质中，已知条件中的点可在直线外，也可在直线上．
考点1 平行线的概念
典例1 [2024·泾阳县期中]下列说法中正确的是( )
A．不相交的两条直线是平行线
B．同一平面内，不相交的两条射线叫作平行线
C．同一平面内，两条直线不相交就重合
D．同一平面内，无公共点的两条直线是平行线
思路导析 根据平行线和相交线的概念进行判断，即可得出结论．
变式 同一平面内三条直线互不重合，那么交点的个数可能
是( )
A．0，1，2 B．0，1，3
C．1，2，3 D．0，1，2，3
考点2 平行线的画法
典例2 [2024·岳阳期末]如图，利用三角尺和直尺可以准确地画出直线AB∥CD，将下面弄乱的操作步骤按正确的顺序排列好应是( )
①沿直尺下移三角尺 ②用直尺紧靠三角尺的另一条边 ③沿三角尺的边作出直线CD ④作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB
A．④①②③ B．④②①③
C．④②③① D．④③①②
思路导析 根据画平行线的步骤即可解答．
变式 如图所示，在∠AOB内有一点P.
(1)过点P画l1∥OA；
(2)过点P画l2∥OB；
(3)用量角器量一量l1与l2的夹角与∠O的大小有什么关系？
解：(1)(2)如图所示；
(3)l1与l2的夹角有两个：∠1，∠2；
∠1＝∠O，∠2＋∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．
考点3 平行线基本事实Ⅰ和推论
典例3 [2025·安阳县期末]如图，在平面内过点O作已知直
线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m＋n
的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．无法确定
思路导析 由平行线基本事实Ⅰ和垂线的性质，即可得到答案．
变式1 如图是一个可折叠的衣架，AB是水平地面，点A，B，M，N，P在同一平面内．当NP∥AB且PM∥AB时，可判定点N，P，M在同一条直线上，判定依据是( )
A．两点确定一条直线
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那
么这两条直线也互相平行
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
变式2 [2024·孝义市期中]如图，已知直线AB∥l，AC∥l，则A，
B，C三点在同一直线上，理由是___________________________
_____________________．
经过直线外一点，有且只有一
条直线与这条直线平行(共15张PPT)
第3课时 平行线的判定(3)
知识点1 内错角、同旁内角
如图所示，直线AB，CD与EF相交．
1．∠2和∠8都在直线AB，CD_____，并且分别在直线EF的_____，
具有这种位置关系的一对角叫作_______．
2．∠2和∠7都在直线AB，CD_____，并且都在直线EF的________
______，具有这种位置关系的一对角叫作_________．
之间
两旁
内错角
之间
同旁(或
右侧)
同旁内角
【注意】
同位角、内错角、同旁内角习惯上称为“三线八角”，它们是以角的位置来命名的，是指一个交点中的一个角与另一个交点中的一个角之间的关系，是没有公共顶点的两个角．
知识点2 行线判定定理
1．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，
那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线
平行．如图所示，因为_________，所以a∥c.
2．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这
两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．如图所示，
因为________________，所以a∥c.
∠2＝∠4
∠4＋∠1＝180°
【注意】
平行线的识别方法有六种：(1)平行线的定义；(2)同位角相等，两直线平行；(3)内错角相等，两直线平行；(4)同旁内角互补，两直线平行；(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；(6)平行于同一条直线的两条直线互相平行．
考点1 内错角、同旁内角的认识
典例1 [2025·密云区期末]如图，直线AB，CD分别被EF和EG所截，下列结论错误的是( )
A．∠1与∠3是一对内错角
B．∠3与∠5是一对同位角
C．∠1与∠5是一对内错角
D．∠2与∠4是一对同旁内角
思路导析 关键是找出“三线”，利用同位角、内错角和同旁内角的定义进行判断．
【方法点拨】
正确识图“三线八角”
变式 [2025·邹城市期中]如图，点E在线段BC的延长线上，则对图中的两个角的位置关系判断错误的是( )
A．∠BCD和∠DCE是邻补角
B．∠B和∠DCE是直线AB和CD被直线BE所截形成的同位角
C．∠BAC和∠ACD是直线AD和BC被直线AC所截形成的内错角
D．∠BAC和∠ACB是直线AB和BC被直线AC所截形成的同旁内角
考点2 平行线的判定定理
典例2 [2025·九江期末]已知：如图，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3.
试说明：AD∥BC．
证明：因为∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3，所以∠BAD－∠1＝∠DCB－∠3，即∠2＝∠4，所以AD∥BC．
变式1 [2025·东川区期末]如图，有下列条件：①∠B＋∠BAD＝180° ②∠B＝∠5 ③∠D＝∠5 ④∠3＝∠4 ⑤∠1＝∠2.能判定AD∥BC的条件为( )
A．①②③④⑤ B．①②④
C．①③⑤ D．①②③
变式2 [2024·衡阳期末]已知：如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠α＋∠β＝90°.
求证：AB∥CD．
证明：因为CE平分∠ACD，所以∠ACD＝2∠α.
因为AE平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠β.
所以∠ACD＋∠BAC＝2∠α＋2∠β.
即∠ACD＋∠BAC＝2 (∠α＋∠β)．
因为∠α＋∠β＝90°，
所以∠ACD＋∠BAC＝180°，
所以AB∥CD．
