(共12张PPT)
9.3 二元一次方程组与实际问题
第1课时 二元一次方程组与实际问题(1)
知识点 列方程组解应用题
1．列方程组解应用题的关键步骤是：审题；设未知数；列方
程；解方程；检验；作答．
2．配套问题：一套中两个量的数量比＝两个量的总量之比．
考点1 和差倍分问题
典例1 [2024·天津]《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为( )
思路导析 根据题意找出两个等量关系列出二元一次方程组．
思路导析 观察图形，找出“1长＝3宽”与“1长＋2宽＝60”，列出方程组．
变式 [2024·黔江期中]如图，在大长方形中不重叠的放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为( )
A．52 B．48
C．46 D．35
思路导析 (1)“由两个螺母和一个螺杆为一套”得出等量关系：螺母的数量是螺杆数量的2倍；
(2)总人数＝95人．
变式 [2025·邯郸期末]《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈五千四百；人出三百，盈四百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余5 400钱；每人出300钱，会剩余400钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题．(共12张PPT)
第2课时 解二元一次方程组(2)——
加减消元法
知识点 加减消元法
1．当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反
或_____时，将两个二元一次方程相加或_____消去一个未知数，
就可以将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，这种解方
程组的方法叫作___________．
相等
相减
加减消元法
2．用加减消元法解方程组的一般步骤：
(1)方程组的两个方程中，若同一个未知数的两个系数相等或互为相反数时，可直接相加或相减进行消元．否则，先把其转化为上述形式后再进行加减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(2)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；(3)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到原方程组的解．
【方法点拨】
用加减消元法解方程组时注意不要出现符号错误
思路导析 直接利用加减消元法解方程组即可．(共11张PPT)
第3课时 解二元一次方程组(3)
知识点 选择合适的方法解二元一次方程组
对于给出的二元一次方程组，具体用代入消元法还是加减消元
法去解，要看方程组中未知数系数的特点．如果方程中一个未
知数的系数为1，用代入消元法直接得出一个未知数；如果两个
方程中有一个未知数的系数的绝对值相等，用加减消元法较简
单．系数不是整数的方程组，要先根据等式的基本性质化为整
数，再选择合适的方法．一般情况下用加减消元法解二元一次
方程组较为简单．
思路导析 (1)利用加减消元法解方程组；(2)利用代入消元法解方程组．(共12张PPT)
9.2 解二元一次方程组
第1课时 解二元一次方程组(1)——
代入消元法
知识点 代入消元法
1．消去二元一次方程组中的一个未知数，转化为一元一次方程，
先求出一个未知数，再求另一个未知数．这种将未知数的个数
由多化少、逐一求解的方法称为_______．
消元法
2．将二元一次方程组中的一个方程的某一个未知数，用含有另
一个未知数的代数式表示出来，然后将它代入另一个方程中，
从而消去一个未知数，就可以将二元一次方程组转化为_______
_______求解，这种解方程组的方法叫作___________．
一元一
次方程
代入消元法
3．用代入消元法解方程组的一般步骤
(1)选：从方程组中选择一个系数比较简单的方程，然后将它变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；(2)代：用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，达到消元的目的，把二元一次方程组转化为一元一次方程；
(3)解：解所得的一元一次方程，求出一个未知数的值；
(4)回代：代入第一步所得的代数式(或原方程中任何一个方程)求得另一个未知数的值；
(5)联：把求得的未知数的值用“{”联立起来，从而得到原方程组的解．
思路导析 选择方程②变形，用含x的代数式表示y，代入①转化为一元一次方程求出x，再回代求出y.
任务一：乐乐解方程组用的方法是___________；
任务二：经过检查，乐乐发现答案是错误的，他从第___步开
始出现了错误；
任务三：请写出正确的解答过程．
代入消元法
二(共16张PPT)
第2课时 二元一次方程组
与实际问题(2)
知识点 列方程组解应用题
增长率问题：原量×(1＋增长率)＝新量，或原量×(1－降低
率)＝新量．
考点1 增长率问题
典例1 [2025·社旗县期末]两块试验田去年共产花生470 kg.改
用良种后，今年共产花生523 kg.已知第一块试验田的产量比去
年增产16%，第二块试验田的产量比去年增产10%.求改用良种后
每块试验田的产量．若设去年第一块试验田和第二块试验田的
产量分别为x kg和y kg.根据题意可列方程组为
________________________________．
思路导析 本题的两个等量关系为：去年第一块田花生产量＋去年第二块田花生产量＝470；今年第一块田花生产量＋今年第二块田花生产量＝523，根据这两个等量关系可列出方程组．
变式 [2024·大东区模拟]某品牌汽车经销商在7月份售出手动型和自动型汽车共900台，8月份售出这两种型号的汽车共1 145台，其中手动型和自动型汽车8月份的销售量分别比7月份增长30%和25%，问7月份销售的手动型和自动型汽车分别为多少台？若设7月份销售的手动型和自动型汽车分别为x台，y台，则可列方程组为( )
考点2 图表信息问题
典例2 [2025·潍坊期中]根据图中的信息，解答下列问题．
(1)如果放入6个球，水面升高了20 cm，那么放入的大球、小球各多少个？
(2)要使水面升高18 cm，有哪几种放球的方案？
变式 [2025·阳谷县期中]某校组织科技知识竞赛共有25道选择题，各题分值相同，每题必答，答对得分，不答或答错倒扣分．如表记录了3个参赛者的得分情况，参赛者D说他得70分，他答对了多少道题？
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 25 0 100
B 24 1 94
C 23 2 88
思路导析 等量关系：(1)调配人数和＝20；(2)调配后甲处植树的人数＝乙处植树人数的2倍．
变式 [2025·东营期末]我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计，甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊一样多．”请问甲乙各有多少只羊呢？两个人在沟两边闲坐，心里很烦躁，因为在地上画了半晌，也没算出来．设甲有羊x只，乙有羊y只，则符合题意的方程组是( )(共21张PPT)
第3课时 二元一次方程组与
实际问题(3)
知识点 列方程组解应用题
几种常用的等量关系：
(1)行程问题：速度×时间＝路程；
顺水速度＝静水速度＋水流速度；
逆水速度＝静水速度－水流速度；
(2)年龄问题：年龄差是不变量；
考点1 行程和工程问题
典例1 [2025·万州区期中]如图，某化工厂从A地购买原料运回工厂，制成产品后运到B地销售，该工厂与A，B两地有公路、铁路相连，公路运价为1.5元/(吨·千米)，铁路运价为1.2元/(吨·千米)，这两次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元．请问该工厂的原料和产品各重有多少吨？若设原料重x吨，产品重y吨，则可以列方程组为( )
变式 [2025·巢湖市期末]【问题背景】
随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮胎换位的建议．
【资料显示】
汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到60 000 km时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到80 000 km时报废．如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎．
【问题解决】
(1)若每个新轮胎报废时的总磨损量设为单位“1”，则前轮行
驶每千米的磨损量为_______，后轮行驶每千米的磨损量
为_______ ；
(2)汽车行驶里程达到多少时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的
两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶总里程．
考点2 市场销售问题
典例2 [2025·博山区期末]某公司用甲、乙两种货车运输原料，两次满载的运输情况如表：
甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨
第一次 4 5 31
第二次 3 6 30
(1)甲、乙两种货车满载时每辆分别能运输原料多少吨？
(2)该公司又新购买45吨原料，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满，问有哪几种租车方案？
(3)在(2)的前提下，已知甲种货车每辆租金为300元，乙种货车每辆租金为200元，选择哪种租车方案最省钱？
(3)方案1所需费用：300×9＋200×3＝3 300(元)；
方案2所需费用：300×6＋200×7＝3 200(元)；
方案3所需费用：300×3＋200×11＝3 100(元)．
因为3 300＞3 200＞3 100，所以方案3所需费用最少，最少费用是3 100元．
变式 [2025·槐荫区期末]根据以下素材，探索完成任务．
素材2 为配合各校“阳光体育”系列活动的开展，该体育用品商场4月份推出以下两种促销方案(两种方案不可叠加使用)；
①“买五赠一”：即购买5个B款足球赠送1个A款足球；
②A款、B款足球均打九折销售.
问题解决 任务1 求3月份该商场购进A款、B款足球各多少个？
任务2 某校4月份打算在该商场购买20个B款足球和10个A款足球，请问选择上述哪种促销方案更合适？
任务2：方案①所需费用为120×20＋90×(10－20÷5)＝
2 940(元)；
方案②所需费用为(120×20＋90×10)×0.9＝2 970(元)，
因为2 940＜2 970，
所以选择促销方案①更合适．
考点3 数字与年龄问题
典例3 [2024·海曙区期中]甲对乙说：“当我岁数是你现在的
岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数
时，你61岁．”则乙现在为___岁．
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思路导析 根据年龄差不变求解即可．
变式 [2025·蓬莱区期中]佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下：
则12：00时看到的两位数是( )
A．15 B．16
C．25 D．34
时刻 12：00 13：00 14：00
里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比12：00时看到的刚好颠倒 比12：00看到的两位数中间多了个0(共20张PPT)
*9.4 三元一次方程组
知识点1 三元一次方程组的概念
含有三个未知数的一次方程组，叫作_________方程组．
三元一次
知识点2 三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思路也是_____．通过消元，把三元
一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程，再逐一解
出未知数的值．
消元的基本方法有代入消元法和加减消元法．
消元
思路导析 利用三元一次方程组的定义逐项判断即可得到答案．
变式 若(a＋1)x＋5yb＋1＋2z2－|a|＝10是关于x，y，z的三元一次方程，则( )
A．a＝1，b＝0 B．a＝－1，b＝0
C．a＝±1，b＝0 D．a＝0，b＝0
思路导析 由③可得x＝4＋2z，用代入消元法求解即可．
变式 [2025·昆明期中]在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝0时，y＝－5；当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；求a，b，c的值为( )
A．a＝－2，b＝3，c＝－5
B．a＝3，b＝－2，c＝－5
C．a＝－5，b＝－2，c＝3
D．a＝－5，b＝3，c＝－2
考点3 三元一次方程组的应用
典例3 [2025·前郭县期末]甲地到乙地全程是3.3 km，一段
上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每小时走3 km，
平路每小时走4 km，下坡每小时走5 km，那么从甲地到乙地
需51 min，从乙地到甲地需53.4 min，从甲地到乙地时，上
坡、平路、下坡的路程各是多少？
思路导析 设甲地到乙地，上坡、平路、下坡路各是x千米，y千米，z千米，根据全程3.3 km，甲到乙要51分钟，乙到甲要53.4分钟，分别列出方程，组成方程组．
变式1 [2025·杭州期中]2024～2025年度中国篮球联赛(CBA)
决赛的门票价格如表：
小聪带了2 700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等
票，付款2 500元；若购买4张A等票和1张B等票，付款2 300元．
等级 A B C
票价(元/张) 未知 未知 150
(1)求A等票和B等票每张分别为多少元？
(2)若小聪要将2 700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请写出购买方案．
变式2 [2025·漳州模拟]小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如表.
口味 次数 多肉葡萄 生椰西瓜 芝士奶盖 总价
第一次 2杯 3杯 4杯 129元
第二次 4杯 3杯 2杯 123元
(1)若每一种口味各买一杯，需要多少元？
(2)若小明某一次购买三种口味奶茶恰好花费120元，且当天生椰西瓜口味与芝士奶盖口味的奶茶单价均为12元，求这次小明共买了几杯奶茶？(共10张PPT)
9.1 认识二元一次方程组
知识点1 二元一次方程(组)的概念
两边都是_____，含有___个未知数，并且含有未知数的项都是
一次的方程，叫作_________方程．
一般而言，由几个一次方程联立的一组方程，叫作一次方程组．
含有两个未知数的一次方程组，叫作_________方程组．
整式
二元一次
二元一次
两
【注意】
二元一次方程中，(1)“元”是指未知数，“二元”就是指含两个未知数；(2)“次”是指含未知数的项的次数，“一次”是指含有未知数的项(单项式)的次数是1；(3)方程左、右两边必须都是整式；(4)含有未知数的项的系数不等于0.
知识点2 二元一次方程(组)的解
1．满足二元一次方程的一组未知数的值，叫作这个二元一次方
程的一个解．
2．二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方
程组的解．
3．求方程组的解的过程，叫作解方程组．
【注意】
考点1 二元一次方程(组)的概念
典例1 [2025·莱西市期末]下列方程是二元一次方程的是( )
A．3x＝5 B．3x2＝y－2
C．y＋ ＝－5 D．2x－5y＝0
变式1 [2024·德州期中]若方程(m＋1)x＋3y|m|＝5是关于x，
y的二元一次方程，则m的值为__．
1
