(共16张PPT)
10.3 乘法公式
第1课时 平方差公式
知识点 平方差公式
(a＋b)(a－b)＝______．即两个数的___与这两个数的_______
___等于这两个数的平方差．
a2－b2
和
差的乘
积
【注意】
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
考点1 平方差公式
典例1 计算：(3x2＋2y2)(3x2－2y2)．
思路导析 直接套用平方差公式进行计算．注意把3x2和2y2分别看作公式中的a和b，利用公式计算即可．
解：原式＝(3x2)2－(2y2)2＝9x4－4y4.
变式1 [2025·重庆期中]下列算式能用平方差公式计算的
是 ( )
A．(2a＋b)(2b－a)
B．(a＋3)(－a－3)
C．(4x－3)(－4a＋3)
D．(a＋1)(1－a)
变式2 [2025·新郑市期末](－x＋y) ( )＝x2－y2，其中括号内的是 ( )
A．－x－y B．－x＋y
C．x－y D．x＋y
考点2 用平方差公式进行简便计算
典例2 [2024·本溪期末]计算：2 0252－2 026×2 024.
思路导析 将2 026×2 024写成(2 025＋1)×(2 025－1)的形式，然后可以使用平方差公式简便计算．
解：原式＝2 0252－(2 025＋1)×(2 025－1)
＝2 0252－(2 0252－1)
＝2 0252－2 0252＋1
＝1.
变式 [2025·青白江区期末]用简便方法计算202×198，变形正确的是 ( )
A．2002＋2×200×2＋22
B．2002－2×200×2＋22
C．2022－22
D．2002－22
考点3 平方差公式在整式混合运算中的应用
典例3 化简：
(1)x(2x－1)－2(x＋2)(x－2)；
(2)(9x＋y)x＋(y－3x)(y＋3x)．
思路导析 本题考查整式运算中的化简，先计算单项式乘以多项式和平方差公式，再合并同类项即可完成化简．
解：(1)原式＝2x2－x－2(x2－4)
＝2x2－x－2x2＋8
＝8－x；
(2)原式＝9x2＋xy＋y2－9x2
＝xy＋y2.
变式 [2025·槐荫区期中]若x2＋x－2＝0，则(3x＋1)(3x－1)
＋9x的值为___．
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考点4 平方差公式的几何背景
典例4 [2024·永州期末]在边长为a的正方形中，剪去一个边长
为b的小正方形(a>b)，将余下部分拼成一个梯形，根据两个图
形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为( )
A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D．a2＋ab＝a(a＋b)
思路导析 此题主要考查的是平方差公式的几何表示，先分别求出两个图形中阴影部分的面积，根据两者相等即可得出答案．
变式 [2025·东营期末]从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b
的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．
(1)上述操作能验证的等式是____________________；
(2)已知9a2－4b2＝24，3a＋2b＝6，求3a－2b的值．
a2－b2＝(a＋b)(a－b)
解：(1)图1面积为a2－b2，图2面积为(a＋b)(a－b)，
因为阴影面积相等，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)，
故答案为：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
(2)因为9a2－4b2＝24，所以(3a＋2b)(3a－2b)＝24，
因为3a＋2b＝6，所以3a－2b＝4.(共12张PPT)
10.2 整式的乘法
第1课时 单项式的乘法
知识点 单项式与单项式相乘的法则
单项式与单项式相乘，把它们的_____、相同字母的幂分别___
___．其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
系数
相
乘
【注意】
在进行单项式的乘法运算时，应注意以下几点：
(1)确定积的系数：积的系数等于各项系数的积；
(2)确定相同字母：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
(3)确定单独字母：只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；
(4)单项式与单项式相乘结果仍是单项式．
思路导析 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
变式1 [2025·淄博期末]计算(－2x3)·(－3x)2的结果
是______．
－18x5
变式3 计算：
(1)(－2ab2)2·(－a2c)·(－3abn)；
(2)(a－b)2·6xy·(b－a)3· xy2.
解：(1)原式＝4a2b4·(－a2c)·(－3abn)
＝[4×(－1)×(－3)]·(a2·a2·a)·(b4·bn)·c
＝12a5b4＋nc；
(2)原式＝[(b－a)2·(b－a)3]·(6xy· xy2)
＝(b－a)5x2y3.
思路导析 根据单项式乘单项式法则计算，建立关于m，n的方程求解．
变式1 [2025·文水县期中]已知单项式6xy2与－ x3y的积
为mxny3，则m，n的值为 ( )
A．m＝－2，n＝4
B．m＝－18，n＝4
C．m＝－2，n＝3
D．m＝－18，n＝3
变式3 [2025·秦淮区期中]已知单项式3x2y3与2xy2的积为mx3yn，
则m－n＝__．
1(共11张PPT)
第2课时 单项式乘多项式
知识点 单项式与多项式相乘的法则
单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘_____________，再
把所得的积_____．
多项式的各项
相加
【注意】
单项式与多项式的乘法法则是将单项式与多项式的乘法转化成了单项式的乘法，这种化未知为已知、化新问题为老问题、化不熟悉的问题为熟悉的问题的思想，我们称为化归思想．
另外，由法则可知：
(1)单项式与多项式相乘的结果是多项式；
(2)结果的项数与原多项式的项数相等；
(3)每一项都是单项式与多项式中相应的项的积．
因此，在进行单项式与多项式的乘法运算时，首先要分清多项式的项，注意其每一项都包括它前面的符号．
思路导析 根据单项式与多项式相乘法则计算即可．
变式1 [2025·曹妃甸区期中]数学课上，老师讲了单项式与多
项式相乘，放学后，小丽回到家拿出课堂笔记，认真地复习老
师课上讲的内容，她突然发现一道题：－3x2(2x－ ＋1)＝
－6x3＋3x2y－3x2，那么空格中的一项是 ( )
A．－y B．y
C．－xy D．xy
变式2 [2024·永州期末]先化简，再求值：2x(x2－x＋1)－x(2x2＋2x－3)，其中x＝1.
解：2x(x2－x＋1)－x(2x2＋2x－3)
＝2x3－2x2＋2x－2x3－2x2＋3x
＝－4x2＋5x，当x＝1时，原式＝－4＋5＝1.
思路导析 将整式进行化简可得．
变式1 某同学在计算一个多项式加上－3x时错将加法做成了除法，得到的答案是－x2＋x－1，由此可以推断出正确的计算结果是 ( )
A．3x3－3x2 B．－3x3－3x2
C．3x3＋3x2 D．－3x3＋3x2
变式2 [2025·惠州模拟]要使(x2＋ax＋1)(－6x3)的展开式
中不含x4项，则a应等于 ( )
A．6 B．－1
C． D．0(共11张PPT)
第3课时 幂的乘方
知识点 幂的乘方
幂的乘方，底数不变，指数相___，幂的乘方用字母可以表示
为_________(m，n为正整数)．
乘
(am)n＝amn
【注意】
(1)(am)n可看作幂的形式，底数为am，指数为n；(2)法则中的底数既可以是具体的数，也可以是式子(单项式或多项式)，指数是指幂指数及乘方的指数，m，n可以是任意的正整数或表示正整数的式子(单项式或多项式)；(3)法则可逆用：amn＝(am)n＝(an)m(m，n为正整数)；(4)法则可拓展：[(am)n]p＝amnp(m，n，p为正整数)．
考点1 幂的乘方的运算
典例1 [2024·河南]计算 的结果是( )
A．a5 B．a6
C．aa＋3 D．a3a
思路导析 本题考查的是乘方的含义，幂的乘方运算的含义，先计算括号内的运算，再利用幂的乘方运算法则可得答案．
变式 计算：
(1)(103)3；(2)(x3)2；(3)－(xm)5；
(4)(a2)3·a5.
解：(1)原式＝103×3＝109；
(2)原式＝x3×2＝x6；
(3)原式＝－x5·m＝－x5m；
(4)原式＝a2×3·a5＝a6·a5＝a11.
考点2 幂的乘方和积的乘方的综合应用
典例2 计算：
(1)(－ a3b)2； (2)－(－3a2b3)4；
(3)(－x3y2)5； (4)(2×102)3.
思路导析 根据积的乘方和幂的乘方的综合运算计算即可．
变式 [2025·济南期中]化简：a2·(－a)4－(3a3)2＋(－2a2)3.
解：a2·(－a)4－(3a3)2＋(－2a2)3
＝a2·a4－9a6－8a6
＝a6－9a6－8a6＝－16a6.
考点3 逆用幂的运算性质
典例3 [2025·莘县期末]若5m＝3，5n＝2，则5m＋3n＝___．
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思路导析 逆用同底数幂的乘法和幂的乘方，变形为5m·(5n)3，
然后代入求值．
变式 [2025·西安期中]比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数(或指数)相同的情况下，比较指数(或底数)的大小，如：25＞23，55＞45，在底数(或指数)不相同的情况下，可以化成同底数(或指数)幂，进行比较，如：比较2710与325的大小，因为2710＝(33)10＝330，30＞25，所以330＞325，即2710＞325.
(1)比较164，643的大小；
(2)比较2555，3444，4333的大小．
解：(1)164＝(42)4＝48，643＝(43)3＝49，
因为48＜49，所以164＜643；
(2)2555＝(25)111＝32111，
3444＝(34)111＝81111，
4333＝(43)111＝64111，
因为32111＜64111＜81111，
所以2555＜4333＜3444.(共8张PPT)
第2课时 多项式除以单项式
知识点 多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，
再把所得的商相加．
考点1 多项式除以单项式
典例1 [2025·潍坊期末]计算：(9x3y2－6x2y3)÷(－3xy2)
＝__________．
－3x2＋2xy
思路导析 用多项式除以单项式法则计算．
变式 下列运算正确的是( )
①(12x12－6x6)÷3x3＝4x4－2x2
②(3a2b－6ab)÷6ab＝ a
③(36x6－24x5)÷(6x3·x2)＝6x－4
④(21m5n2－9m4n3)÷3m3n2＝7m2－3mn
A．①② B．③④
C．①②③ D．②③④
考点2 整式的混合运算及其化简求值
典例2 [2024·大连期末]先化简，再求值：(2x＋y)(2x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝－3.
思路导析 先计算整式的乘除法，再合并同类项，代入求值即可．
解：(2x＋y)(2x－y)－(4x3y－8xy3)÷2xy
＝4x2－y2－2x2＋4y2
＝2x2＋3y2，当x＝1，y＝－3时，
原式＝2×12＋3×(－3)2＝29.
变式 [2025·金台区期末]老师在黑板上布置了一道题：
已知y＝－1，求代数式[(2x＋3y)2＋(2x＋y)(y－2x)－10y2]
÷(2x)的值，小白和小红展开了讨论：
根据上述情景，你认为谁说得对？并将代数式化简求值．
解：小红说得对，理由：[(2x＋3y)2＋(2x＋y)(y－2x)－10y2]÷(2x)
＝(4x2＋12xy＋9y2＋y2－4x2－10y2)÷(2x)
＝12xy÷(2x)＝6y，
因为化简后的结果不含x，
所以小红说得对，
当y＝－1时，原式＝6×(－1)＝－6.(共17张PPT)
第3课时 乘法公式的应用
知识点 完全平方公式的变形
①a2＋b2＝(a＋b)2－____；
②a2＋b2＝(a－b)2＋____；
③(a＋b)2＝(a－b)2＋____；
④(a－b)2＝(a＋b)2－____；
⑤(a＋b)2＋(a－b)2＝2(______)；
⑥(a＋b)2－(a－b)2＝____；
⑦(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
2ab
2ab
4ab
4ab
a2＋b2
4ab
【注意】
在公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2中，如果把a＋b，ab和a2＋b2分别看作一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．
考点1 利用乘法公式计算
典例1 [2025·菏泽期中]先化简，再求值：5(m＋n)(m－n)－
2(m＋n)2－3(m－n)2，其中m＝－2，n＝ .
变式 (1)[2024·烟台期中]用乘法公式计算：(2x＋y－3)(2x－y－3)；
(2)[2024·宝山区期中]计算：(a－2b－c)2－2(－a－2b)(a－2b)．
解：(1)原式＝[(2x－3)＋y][(2x－3)－y]
＝(2x－3)2－y2
＝4x2－12xy＋9－y2；
(2)原式＝[(a－2b)－c]2－2(－2b－a)(－2b＋a)
＝(a－2b)2－2(a－2b)·c＋c2－2[(－2b)2－a2]
＝a2－4ab＋4b2－2ac＋4bc＋c2－8b2＋2a2
＝3a2－4ab－2ac－4b2＋4bc＋c2.
考点2 乘法公式的变形
典例2 [2025·张掖期中]将完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2进行适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如，若a＋b＝5，ab＝6，求a2＋b2的值．
解：因为a＋b＝5，所以(a＋b)2＝25，即a2＋2ab＋b2＝25.
又因为ab＝6，所以a2＋2×6＋b2＝25，所以a2＋b2＝13.
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题．
(1)若x＋y＝6，x2＋y2＝16，则xy＝___(直接填出结果)；
(2)若x－y＝12，xy＝7，求x2＋y2的值．
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思路导析 (1)已知和、平方和，求积，利用和的平方公式变形计算．
(2)已知差、积，求平方和，利用差的平方公式变形计算．
解：(2)因为x－y＝12，
所以(x－y)2＝144，
即x2－2xy＋y2＝144，
因为xy＝7，
所以x2＋y2＝144＋14＝158.
变式 [2024·玉林期末]已知a＋b＝5，ab＝3，求a2＋b2的值．张老师讲解了这道题的两种方法：
方法一 方法二
因为a＋b＝5， 所以(a＋b)2＝25， 所以a2＋2ab＋b2＝25. 因为ab＝3， 所以a2＋b2＝25－2ab＝25－6＝19. 因为(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab.
因为a＋b＝5，ab＝3，
所以a2＋b2＝25－6＝19.
考点3 构造完全平方式
典例3 [2024·泰安期中]若4x2＋mx＋121是一个完全平方式，则m的值为( )
A．44 B．22
C．22或－22 D．44或－44
思路导析 首末两项是2x和11这两个数的平方，中间项为加上或减去2x和11的积的2倍，则mx＝±44x，即可得解．
变式1 [2024·漳州期末]【问题提出】
当多项式ax2＋bx＋c(a≠0)是某一个多项式的平方时，实数a，b，c是否存在一定的数量关系？
【问题探究】
当a＝1，b＝－2，c＝1时，x2－2x＋1＝(x－1)2，
发现：(－2)2＝4×1×1；
当a＝1，b＝6，c＝9时，x2＋6x＋9＝(x＋3)2，
发现：62＝4×1×9；
【问题解决】
(1)当ax2＋bx＋c＝(mx＋n)2(a≠0)时，猜想a，b，c之间的数量关系，并验证你的结论；
【拓展运用】
(2)若多项式4y2＋4加上一个含字母y的单项式就是某个多项式的平方，求出所有满足条件的单项式．
解：(1)猜想b2＝4ac，验证：因为ax2＋bx＋c＝m2x2＋2mnx＋n2，所以a＝m2，b＝2mn，c＝n2，所以b2＝4m2n2＝4ac；
(2)这个单项式为乘积2倍时，设单项式为py，所以py＝±2×2y×2＝±8y，这个单项式为一个整式的平方时，设单项式为qy4，所以qy4＋4y2＋4＝(y2＋2)2，这个单项式为y4，所以单项式为8y或－8y或y4.(共12张PPT)
第5课时 零指数幂与负整数指数幂
知识点1 零指数幂
规定a0＝1(a≠0)．即任何_________的数的0次幂都等于1.零的
零次幂没有意义．
不等于零
【注意】
零指数幂的意义是由除法运算产生的，由于0不能做除数，所以a0＝1中，应限制a≠0.
知识点2 负整数指数幂
一般地，我们规定a－p＝ (a≠0，p是正整数)．即不等于零
的数的－p(p是正整数)次幂等于这个数的____________．零的
负整数指数幂没有意义．
【注意】
引入零指数幂与负整数指数幂后，原有的正整数指数幂的运算
性质可以扩展到全体整数指数．
p次幂的倒数
思路导析 任何不等于零的数的0次幂都等于1.
变式1 下列各式中一定正确的是( )
A．(2x－3)0＝1
B．π0＝0
C．(a2－1)0＝1
D．(m2＋1)0＝1
变式2 如果(m＋2)0＝1，那么m的取值范围是 ( )
A．m＞－2 B．m＜－2
C．m＝－2 D．m≠－2
变式3 [2025·德清县期末]如果(m－3)m＝1，那么m的值不能取 ( )
A．0 B．1
C．2 D．4
变式1 [2025·藤县期中]若式子(a－2)－1有意义，则a的取值范围是 ( )
A．a＞2 B．a＜2
C．a≠2 D．a≠1(共12张PPT)
第10章 整式的乘法与除法
10.1 幂的运算
第1课时 同底数幂的乘法
知识点 同底数幂的乘法
同底数幂相乘，底数_____，指数_____．符号语言：________
____(m，n为正整数)．
不变
相加
am·an＝
am＋n
【注意】
(1)在使用同底数幂的乘法法则时，一定要注意前提条件，必须是同底数幂相乘．运算方法是底数不变，指数相加；(2)底数只要相同即可，可以是单项式，也可以是多项式；(3)法则可逆用：am＋n＝am·an(m，n都是正整数)；(4)法则可拓展：am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整数)．
考点1 同底数幂的乘法
典例1 [2024·合肥期末]化简－a2·a5所得的结果是( )
A．a7 B．－a7
C．a10 D．－a10
思路导析 根据同底数幂的乘法的法则“底数不变，指数相加”解答即可，同时注意符号判断．
变式1 [2025·栾城区二模]若(7×106)(5×105)(2×10)＝a×10n，则a，n的值分别为 ( )
A．a＝7，n＝11
B．a＝5，n＝12
C．a＝7，n＝13
D．a＝2，n＝13
变式2 [2025·嵩县模拟]若m，n是正整数，且满足5m＋5m＋5m＋5m＋5m＝5n×5n×5n×5n×5n，则m与n的关系正确的是 ( )
A．m＝n
B．m＋1＝5n
C．m＋1＝n5
D．5m＝n5
变式3 计算：
(1)a2·a4·a5；
(2)22×23×2；
(3)4×27×8；
(4)(－a)2·(－a)3；
(5)(x－2y)2(x－2y)3；
(6)(x－2y)2(2y－x)3.
解：(1)原式＝a2＋4＋5＝a11；
(2)原式＝22＋3＋1＝26＝64；
(3)原式＝22×27×23＝22＋7＋3＝212；
(4)原式＝(－a)2＋3＝(－a)5＝－a5；
(5)原式＝(x－2y)2＋3＝(x－2y)5；
(6)原式＝(2y－x)2(2y－x)3＝(2y－x)2＋3
＝(2y－x)5.
考点2 同底数幂的乘法的应用
典例2 [2024·潍坊期中]已知ax＝5，ay＝2，则ax＋y＝___．
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思路导析 本题考查同底数幂乘法法则的逆用，根据ax＋y＝ax·ay，把已知代入计算即可．
变式1 [2025·单县期中]已知ax＝3，ax＋y＝12，则ax＋ay的值等于( )
A．4 B．7
C．9 D．12
变式2 [2025·南京模拟]已知2a＝3，2b＝5，2c＝30，则a，b，c之间满足的等式是( )
A．c＝a＋b＋1 B．c＝ab＋1
C．c＝a＋b D．c＝ab
变式3 [2025·镇江期中]若2m＋n－4＝0，则22m×2n＝___．
16(共15张PPT)
第2课时 完全平方公式
知识点1 完全平方公式
(a＋b)2＝___________．
(a－b)2＝___________．
即_____________________________________________________
______________．这两个公式统称_____________，完全平方公
式和平方差公式都叫作_________．
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和加上(减去)
它们乘积的2倍
完全平方公式
乘法公式
【注意】
全平方公式的特点：(1)左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”；
(2)公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式；
(3)对于符合两数和(或差)的平方的运算，均可用上述公式计算．
知识点2 完全平方公式的几何意义
根据图示填空：
(1)大正方形的边长是_____，大正方形的面积是_______；
a＋b
(a＋b)2
(2)大正方形是由两个小正方形和两个长方形组成的．阴影部
分的正方形的边长是__，所以它的面积是__；另一个小正方形
的边长是__，所以它的面积是__；另外两个长方形的长都是__，
宽都是__，所以每个长方形的面积都是___；所以这四个图形
的面积之和为___________；
(3)大正方形的面积等于这四个图形的面积之和，于是就可以得
出_______＝___________．
a
a2
b
b2
a
b
ab
a2＋2ab＋b2
(a＋b)2
a2＋2ab＋b2
考点1 完全平方公式
典例1 利用完全平方公式计算：
(1)(2a＋3b)2；
(2)( x－y)2；
(3)(－2a－b)2.
思路导析 根据完全平方公式的结构特点进行展开：首平方，尾平方，积的2倍夹中央．
变式2 运用完全平方公式计算：
(1)1022；(2)992.
解：(1)1022
＝(100＋2)2
＝1002＋2×100×2＋22
＝10 000＋400＋4
＝10 404；
(2)992
＝(100－1)2
＝1002－2×100×1＋1
＝10 000－200＋1
＝9 801.
考点2 完全平方公式的几何背景
典例2 [2025·昌黎县期末]如图，将甲图中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成乙图，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是 ( )
A．a2－2ab＋b2＝(a－b)2
B．a2＋2ab＋b2＝(a－b)2
C．(a－b)(a＋b)＝a2－b2
D．(a＋b)(a＋b)＝a2＋b2
思路导析 分别表示出图甲、图乙中阴影部分的面积，根据面积相等求解．
变式 [2023·攀枝花]我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出下列4组图形及相应的代数恒等式．
①（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 ②（a－b）2＝a2－2ab＋b2
③（a＋b）（a－b）＝a2－b2 ④（a－b）2＝（a＋b）2－4ab
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个(共19张PPT)
第3课时 多项式乘多项式
知识点 多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的_______分别乘另一个
多项式的_______，再把所得的积相加．例如(a＋b)(m＋n)＝
_______________．两个多项式相乘的结果若有同类项，应_____
_______，使结果化为最简形式．
每一项
每一项
am＋an＋bm＋bn
合并
同类项
【注意】
(1)多项式乘多项式的法则是将原式转化为单项式乘多项式，再利用单项式与多项式相乘的法则求出，因此两个多项式相乘只要把其中一个多项式看作单项式即可；(2)在计算时，要防止结果“漏项”．在没有合并同类项之前，积的项数应该是这两个多项式项数的积；(3)一定要注意确定积中各项的符号，多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号．
考点1 多项式乘多项式
典例1 [2024·济南期末]计算：(3x－1)(x＋2)．
思路导析 根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可求解．
解：原式＝3x2－x＋6x－2＝3x2＋5x－2.
变式1 [2025·沛县期中]已知P＝(x－1)(x－4)，Q＝(x－2)(x－3)，则P与Q的大小关系为 ( )
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．不确定
变式2 计算：(1)(2a－3b)(2a＋3b＋4)；
(2)(3a－1)(a＋1)＋(2a＋3)(2a－7)．
解：(1)原式＝4a2＋6ab＋8a－6ab－9b2－12b
＝4a2＋8a－12b－9b2；
(2)原式＝3a2＋3a－a－1＋4a2－14a＋6a－21
＝7a2－6a－22.
考点2 整式的化简求值
典例2 [2025·潍坊期末]先化简，再求值：(2x＋y)2－(2x－3)·
(2x＋3)－y2，其中xy＝－ .
变式1 (1)先化简，再求值：(x＋2y)(2x＋y)－(3x－y)(x＋2y)，
其中x＝9，y＝ ；
(2)[2024·海淀区期中]已知x2＋x－4＝0，求(x＋2)(3x－1)－
2x(x＋2)的值．
(2)因为x2＋x－4＝0，
所以x2＋x＝4，(x＋2)(3x－1)－2x(x＋2)
＝3x2－x＋6x－2－2x2－4x
＝x2＋x－2＝4－2＝2.
变式2 [2025·长安区期中]某中学做广播操时，各年级均排成一个长方形方阵，七年级每排(3a＋2b)人，共有(4a－2b)排；八年级每排(3a＋b)人，共有(3a－b)排；九年级每排(3a＋b)人，共有(a＋5b)排．
(1)用含a，b的代数式表示该校学生总人数；
(2)当a＝5，b＝2时，求该校学生总人数．
解：(1)七年级的学生人数为(3a＋2b)(4a－2b)＝12a2＋2ab－4b2，八年级的学生人数为(3a＋b)(3a－b)＝9a2－b2，九年级的学生人数为(3a＋b)(a＋5b)＝3a2＋16ab＋5b2，所以该校学生总人数为(12a2＋2ab－4b2)＋(9a2－b2)＋(3a2＋16ab＋5b2)＝12a2＋2ab－4b2＋9a2－b2＋3a2＋16ab＋5b2＝(12＋9＋3)a2＋(2＋16)ab＋(－4－1＋5)b2＝24a2＋18ab.
(2)当a＝5，b＝2时，24a2＋18ab＝24×52＋18×5×2＝600＋180＝780(人)．
答：当a＝5，b＝2时，该校学生总人数为780人．
变式1 [2024·威县期末]嘉淇计算一道整式乘法的题：(2x＋m)
(5x－4)，由于嘉淇抄错了第一个多项式中m前面的符号，把
“＋”写成“－”，得到的结果为10x2－33x＋20.
(1)m＝__；
(2)这道整式乘法的正确结果是_____________．
5
10x2＋17x－20
解：(1)根据题意得(2x－m)(5x－4)＝10x2－8x－5mx＋4m＝10x2＋(－8－5m)x＋4m＝10x2－33x＋20，所以4m＝20，所以m＝5，故答案为：5；
(2)当m＝5时，原式＝(2x＋5)(5x－4)＝10x2－8x＋25x－20＝10x2＋17x－20，故答案为：10x2＋17x－20.
变式2 [2025·淄博期中]已知关于x的二次三项式2x2＋mx＋15有一个因式为x－5，求另一个因式和m的值．
解：设2x2＋mx＋15的另一个因式是ax＋b，
依题意可得(x－5)(ax＋b)＝2x2＋mx＋15，
所以ax2＋(b－5a)x－5b＝2x2＋mx＋15，
所以a＝2，b－5a＝m，－5b＝15，
解得a＝2，b＝－3，m＝－13.
所以另一个因式为2x－3，m的值为－13.(共11张PPT)
10.4 整式的除法
第1课时 单项式除以单项式
知识点 单项式除以单项式
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；
对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数一起作为商的
一个因式．
【注意】
两个相同但不等于0的单项式相除，结果为1.如：a2÷a2＝1(a≠0)．
思路导析 运用单项式除以单项式法则运算即可．
变式1 [2025·渭南模拟]计算(a2b3)2÷a的结果为 ( )
A．a2b6 B．a2b5
C．a4b6 D．a3b6
变式2 [2025·清镇市期中]计算3m2n3÷(mn)2的结果为 ( )
A．3 B．3m
C．3n D．3mn
变式3 [2024·海口期末]若a5b2÷ ambn＝2a，则m，n的取值分
别为 ( )
A．m＝4，n＝2
B．m＝4，n＝0
C．m＝5，n＝2
D．m＝5，n＝0
思路导析 按照整式乘除运算顺序，先做除法(同底数幂相除，底数不变，指数相减)，再做乘法(同底数幂相乘，底数不变，指数相加)来计算．
变式1 [2025·邯郸期中]在等式 ( )3÷[(－2xyz)2·2x4y3z]＝y中括号内应填入 ( )
A．8x6y5z3
B．8x2y2z
C．2x2y2z
D．±2x2y2z
变式2 [2025·茂名期末]一个长方形的面积为6ab3，若这个长
方形的宽为2ab，则长为___．
3b2(共10张PPT)
第6课时 科学记数法
知识点 科学记数法
绝对值小于1的非零数可以记作________的形式，其中1≤|a|
<10，n是正整数，n等于原数中第一个非零数前面___________
_____(包括小数点前面的那个零)．
a×10－n
所有的零的
个数
考点1 用科学记数法表示绝对值小于1的数
典例1 [2025·河南]通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，
但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s，
比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000 074”用科学记数法表示
为 ( )
A．0.74×10－4 B．7.4×10－4
C．7.4×10－5 D．74×10－6
思路导析 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
变式1 [2025·威海]据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒.400皮秒用科学记数法表示为 ( )
A．4×10－10秒 B．4×10－11秒
C．4×10－12秒 D．40×10－12秒
变式2 [2024·南京]水由氢、氧两种元素组成．一个水分子
包含两个氢原子和一个氧原子．一个氢原子的质量约为1.674
×10－27kg，一个氧原子的质量约为2.657×10－26kg，一个水
分子的质量大约是 ( )
A．3.613 7×10－25kg
B．2.824 4×10－26kg
C．2.991 8×10－26kg
D．3.613 7×10－27kg
变式3 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 000 83；
(2)－0.000 075 3.
解：(1)0.000 000 83＝8.3×10－7；
(2)－0.000 075 3＝－7.53×10－5.
考点2 把用科学记数法表示的数写成小数形式
典例2 [2024·淄博期中]一种细菌的半径是1.21×10－5米，用
小数表示为____________米．
0.000 012 1
思路导析 将科学记数法表示的数a×10－n还原成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．
变式1 [2025·玉田县期末]清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：
“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌
颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直
径用科学记数法表示约为6.8×10－6米，已知6.8×10－6＝
0.…68，则n的值为 ( )
A．4 B．5
C．6 D．7
变式2 用小数表示下列各数：
(1)10－5＝_________；
(2)3.6×10－8＝______________；
(3)2－2×10－7＝______________；
(4)－3.5×10－5＝_____________.
0.000 01
0.000 000 036
0.000 000 025
－0.000 035(共14张PPT)
第2课时 积的乘方
知识点 积的乘方
积的乘方等于___________的积，积的乘方用字母可以表示为：
___________(m为正整数)．
各因数乘方
(ab)m＝ambm
【注意】
考点1 积的乘方的运算
典例1 [2025·高唐县期中](2b)3＝___．
8b3
变式1 [2025·长春]下列计算一定正确的是 ( )
A．a＋2a＝3a B．a·a2＝a2
C．a＋a＝a2 D．(2a)2＝2a2
变式2 [2025·丰县期中]若xn＝2，yn＝7，则(xy)n的值为___．
14
考点2 积的乘方的逆用
典例2 [2025·西安期中]数学是一门纯粹的学科，它的魅力在
于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数
学之美”，他们发现：
(－3)2×42＝[(－3)×4]×[(－3)×4]＝[(－3)×4]2＝(－12)2
＝144；
44×0.254＝(4×0.25)×(4×0.25)×(4×0.25)×(4×0.25)＝
(4×0.25)4＝14＝1.
总结规律，解答下列问题．
1
(xy)m
思路导析 (1)根据发现得出的结论ambm ＝(ab)m (m 为正整数)进行解答；
(2)逆用同底数幂的乘法公式，指数采用“拆高就低”的原则，都转化为指数是2 023的幂，然后再把相同幂逆用积的乘方公式计算．
变式2 [2025·工业园区期中]已知2m＝3，3m＝5，则6m＝___．
15(共12张PPT)
第4课时 同底数幂的除法
知识点 同底数幂的除法
同底数幂相除，底数_____，指数_____，用公式表示为______
______(a≠0，m，n为正整数，且m＞n)．
不变
相减
am÷an
＝am－n
【注意】
(1)底数a不能为零，若a为零，则除数为零，除法就没有意义了；
(2)单独的一个字母，其指数为1，而不是0；
(3)法则中的底数既可以是具体的数，也可以是式子(单项式或多项式)，指数m，n可以是任意的正整数或表示正整数的式子(单项式或多项式)，但需满足m＞n.
考点1 同底数幂的除法
典例1 [2025·烟台期末]下列计算正确的是 ( )
A．b4÷(－b)2＝－b2
B．b3÷b3＝0
C．(－b)4÷(－b)2＝b2
D．－b6÷b2＝－b3
思路导析 根据同底数幂的除法运算法则“底数不变，指数相减”计算．
变式1 [2025·芜湖三模](－a3)2÷(－a)3(a≠0)的计算结果
为 ( )
A．a2 B．－a2
C．a3 D．－a3
变式2 已知2×8x÷4x＝211，则x＝___．
变式3 计算：
(1)a9÷a4＝__；
(2)(－x)6÷(－x)3＝____；
(3)(3xy)4÷(3xy)2＝_____；
(4)x2m＋2÷x2m－1＝__；
(5)(x－y)7÷(y－x)3＝_________．
10
a5
－x3
9x2y2
x3
－(x－y)4
思路导析 根据同底数幂的除法和幂的乘方公式进行转化，再整体代入计算即可．
【规律总结】
逆用幂的运算性质，指数和可以转化为同底数幂相乘；指数差可以转化为同底数幂相除；指数积可以转化为幂的乘方；同指数幂相乘，可以转化为积的乘方．
变式2 [2025·扬州期中]已知4m÷2n＝8，(2m)2·2n＝32.
(1)求2m－n的值；
(2)计算(－8)2m＋n×0.1252m－n的结果．
