(共11张PPT)
第2课时 多边形的外角和
知识点 多边形的外角和
1．多边形的外角：一般地，多边形一个内角的邻补角叫作多边
形的外角．
2．多边形的外角和：在多边形的每个顶点处取多边形的一个外
角，这些外角的和叫作多边形的外角和．
3．多边形的外角和等于360°.
考点1 多边形的外角
典例1 [2024·济南]若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是( )
A．正六边形 B．正七边形
C．正八边形 D．正九边形
思路导析 根据多边形的外角和360°列式计算．
变式1 [2025·来宾期中]如图，机器人从点A0出发朝正东方向走了2 m，到达点A1，记为第1次行走；接着，在点A1处沿逆时针方向旋转30°后向前走2 m到达A2，记为第2次行走；再在点A2处沿逆时针方向旋转30°后向前走2 m到达点A3，记为第3次行走……以此类推，该机器人从出发到第一次回
到出发点A0时所走过的路程为( )
A．16 m B．20 m
C．22 m D．24 m
变式2 [2025·保定期末]如图，五边形公园中，∠BAE＝90°，张老师沿公园从A点出发，经B→C→D→E→A散步，张老师共转了( )
A．450° B．360°
C．260° D．270°
考点2 多边形的内角和与外角和
典例2 [2025·凉山州]已知一个多边形的内角和是它外角和
的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引的对角线条数
为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
思路导析 设这个多边形的边数为n，n边形的内角和为180°
(n－2)，外角和为360°，从n边形的一个顶点出发可以引(n－3)
条对角线，据此根据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立
方程求出n的值即可．
变式1 [2025·高唐县二模]完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中∠1＋∠2＝165°，则∠C＋∠D＋∠E＝( )
A．300° B．345°
C．200° D．260°
变式2 [2025·巨野县期末]已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少180°.
(1)求这个多边形的边数；
(2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和．
解：(1)设这个多边形的边数是n，由题意得(n－2)×180°＝360°×2－180°，解得n＝5，答：这个多边形的边数是5；
(2)因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1.
所以截完后所形成的新多边形的边数可能是4或5或6，①当多边形为四边形时，其内角和为(4－2)×180°＝360°；
②当多边形为五边形时，其内角和为(5－2)×180°＝540°；
③当多边形为六边形时，其内角和为(6－2)×180°＝720°；
综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为360°或540°或720°.(共14张PPT)
第12章 平面图形的认识
12.1 三角形
第1课时 三角形
知识点1 三角形的有关概念
1．由不在同一条直线上的三条线段_________相接所组成的图
形叫作三角形．组成三角形的线段叫作三角形的___，相邻两边
的公共端点叫作三角形的_____，相邻两边所组成的角叫作三角
形的_____，简称三角形的角．
首尾顺次
边
顶点
内角
2．三角形的表示方法：“三角形”用符号“△”表示，顶点是A，B，C的三角形，点是大写字母，记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，三条边分别表示为AB，AC，BC，三个角分别表示为∠A，∠B，∠C．
【注意】
三角形边的特征：①不在同一条直线上；②三条线段；③首尾顺次连接．
知识点2 三角形的分类
1．按“角的大小”分类
①锐角三角形：三个角都是_____的三角形．
②直角三角形：有一个角是_____的三角形．直角三角形用符号
表示为“Rt△”．
③钝角三角形：有一个角是_____的三角形．
锐角
直角
钝角
2．按“边是否相等”分类
①三边都不相等的三角形．
②有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作等腰
三角形的___，另一条边叫作_____，_________的夹角叫作底
角，_____的夹角叫作顶角．
③等边三角形是_______都相等的三角形，是特殊的等腰三角
形，又叫___三角形．
腰
底边
底边和腰
两腰
三条边
正
考点1 三角形的概念和表示方法
典例1 (1)如图所示，图中共有__个三角形，它们分别是_______
__________________________________；
(2)以AD为边的三角形_______________
______；
(3)∠AED是______和______的内角．
6
△ABD，
△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC
△ABD，△ADE，
△ADC
△ADE
△ABE
思路导析 根据三角形的定义进行解答，数三角形时先确定一边．
变式 [2024·富源县期中]如图，以点A为顶点的三角形有( )
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
考点2 三角形的分类
典例2 [2024·赛罕区期中]用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是( )
思路导析 对三角形按边分类可对选项A，C进行判断，对三角形按角分类可对选项B，D进行判断．
变式1 根据下列所给条件，判断△ABC的形状．
(1)∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；
(2)∠C＝120°；
(3)∠C＝90°；
(4)AB＝BC＝4，AC＝5.
解：(1)△ABC为锐角三角形；
(2)△ABC为钝角三角形；
(3)△ABC为直角三角形；
(4)△ABC为等腰三角形．
变式2 如图，过A，B，C，D，E五个点中的任意三点画三角形．
(1)以AB为边画三角形，能画几个？写出各三角形的名称；
(2)分别指出(1)中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形．
解：(1)如图所示，以AB为边的三角形能画3个：△EAB，△DAB，△CAB；
(2)△DAB是等腰三角形，△EAB，△CAB是钝角三角形．(共9张PPT)
第3课时 三角形的外角
知识点1 三角形的外角的定义
如图将△ABC 的三条边分别延长，得到∠1，∠2，∠3，像这样，
由_____________________________组成的角，叫作三角形的外
角．三角形的一个外角与相邻的内角互为邻补角．
三角形的一边与另一边的延长线
知识点2 三角形外角的性质
三角形的一个外角等于_________________________．
三角形的一个外角大于_________________________．
与它不相邻的两个内角的和
与它不相邻的任意一个内角
考点 三角形外角的性质
典例 [2025·环翠区期末]如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为AB边上的一点，延长CA到点D，连接DE.以下结论错误的是( )
A．∠1＞∠4
B．∠5＝∠2＋∠B＋∠D
C．∠5＝∠1
D．∠2＋∠3＝180°－∠B
思路导析 分析图形，识别三角形的外角、内角，利用性质判断．
变式1 [2025·成武县期末]某一天，爸爸带着小刚路过建筑工
地，看见有如图所示的人字架．爸爸说：“小刚，我考考你，
这个人字架的夹角∠1＝130°，你能求出∠3比∠2大多少吗？”
小刚马上得到了正确的答案，他的答案是( )
A．30° B．40°
C．50° D．60°
变式2 [2024·澄迈县期中]某小组利用活动课进行三角形外角知识的相关研究，制定项目式学习表如下，请你解答任务中的问题：
任务 利用三角形的外角性质进行角度计算和结论探究
日期 2024年10月9日
知识储备 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
问题解决 题干 如图，点D在AB上，点E在BC上，AE，CD相交于点P.
任务 (1)若∠A＝30°，∠B＝40°，∠APC＝110°，求∠C的度数；
(2)试猜想∠APC与∠A＋∠B＋∠C之间的关系，并说明理由.
解：(1)因为∠A＝30°，∠B＝40°，所以∠AEC＝∠A＋∠B＝70°，因为∠APC＝110°，所以∠C＝∠APC－∠AEC＝40°；
(2)∠APC＝∠A＋∠B＋∠C，理由如下：
因为∠AEC是△ABE的外角，所以∠AEC＝∠A＋∠B，因为∠APC是△PEC的外角，所以∠APC＝∠AEC＋∠C，所以∠APC＝∠A＋∠B＋∠C．(共11张PPT)
第5课时 三角形中的主要线段
知识点 三角形中的主要线段
1．三角形一个角的角平分线与这个角的对边相交，角的顶点与
交点之间的线段叫作三角形的_________．三角形的三条角平分
线相交于一点，它们都在三角形内部．
2．连接三角形一个顶点与对边中点的线段叫作三角形的_____．
一个三角形有三条中线，它们都在三角形内部，并且相交于一
点，这个点叫作三角形的重心．
角平分线
中线
3．三角形的一个顶点到它的对边所在直线的_______叫作三角
形的高线，简称三角形的高．三角形的三条高所在的直线相交
于一点，高与高的交点不一定在三角形内部．
垂线段
【注意】
(1)三角形的角平分线、中线、高都是线段．(2)锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形的两条高与三角形的两直角边重合，一条高在三角形内部；钝角三角形的一条高在三角形内部，两条高在三角形外部．
考点1 三角形的角平分线
典例1 [2025·郑州期中]在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，
AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为_____．
40°
思路导析 由三角形内角和定理先求得∠A＝80°，再利用角平分线的定义可求得∠CAD的度数．
变式 [2025·崇明区期中]如图，AD是△ABC的角平分线，AE是
△ABD的角平分线，若∠BAC＝120°，则∠EAD的度数是_____．
30°
考点2 三角形的中线
典例2 [2024·兰州期末]如图，CM是△ABC的中线，BC＝8 cm，
若△BCM的周长比△ACM的周长大2 cm，则AC的长为( )
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
变式 [2025·雁塔区期末]如图是一块面积为10的三角形纸板
ABC，点D，E，F分别是线段AF，BD，CE的中点，则阴影部分的
面积为____．
考点3 三角形的高
典例3 [2024·遂平县期末]如图，在△ABC中，BC边上的高
为( )
A．线段AE B．线段BE
C．线段BF D．线段CF
思路导析 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，垂足与顶点之间的线段叫三角形的高．
变式 [2025·栾城区期末]如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，
BE是AC边上的高，点F是两条高线的交点，若∠A＝70°，∠FBC
＝15°，则∠FCB＝_____．
55°(共11张PPT)
第2课时 三角形的内角和定理
知识点1 三角形内角和定理
三角形的内角和等于______．
知识点2 直角三角形两个锐角互余
直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三
角形．
180°
考点1 三角形内角和定理
典例1 [2025·北京期中]如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，
交AB于点E，若∠A＝30°，∠BDC＝50°，则∠BDE的度数
是( )
A．10° B．20°
C．25° D．30°
思路导析 本题主要考查了三角形内角和定理，平行线性质，角平分线定义，先根据三角形内角和定理求出∠ABD，再根据角平分线的定义求出∠DBC，然后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案．
变式1 [2025·红河期中]已知等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角的度数是( )
A．55° B．70°
C．55°或70° D．70°或40°
变式2 [2025·福州期中]在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝70°，则∠B的度数是( )
A．60° B．70°
C．50° D．80°
变式3 [2025·长春期末]在△ABC中，∠A＝2∠B＝2∠C，请通过计算判断△ABC的形状．
解：因为∠A＝2∠B＝2∠C，又因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以2∠C＋∠C＋∠C＝180°，即4∠C＝180°，解得∠C＝45°，所以∠B＝∠C＝45°，∠A ＝2∠C＝2×45°＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形．
考点2 直角三角形两锐角互余
典例2 [跨学科·物理][2025·阜宁县一模]一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平
行．若斜面的坡角α＝30°，则摩擦力F2与重
力G方向的夹角β的度数为( )
A．125° B．120°
C．115° D．60°
思路导析 根据受力分析图结合直角三角形两锐角互余求解即可得．
变式1 [2025·泗县期中]不能判定△ABC是直角三角形的
是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A＋∠B＋∠C＝180°
C．∠B＋∠C＝90°
D．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
变式2 [2025·中牟县模拟]将一副三角尺如图摆放，点D在AC上，延长EA交CB的延长线于点F，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠C＝30°，∠E＝45°，则∠F的度数是( )
A．10° B．15°
C．20° D．25°(共15张PPT)
12.2 多边形
第1课时 多边形及多边形的内角和
知识点1 多边形的有关概念
1．同一平面内，若干条线段_________相接，且有_________的
线段不在同一条直线上，这样得到的图形叫作多边形．
2．组成多边形的各条_____叫作多边形的边．相邻两条边的公
共端点叫作多边形的_____．相邻两条边所组成的___叫作多边
形的内角，简称多边形的角．
首尾顺次
公共端点
线段
顶点
角
3．一个多边形有___条边，叫作四边形，有五条边叫作___边形，
一般地，有n条边，叫作__边形．
4．多边形的表示：一般用顶点的字母表示多边形，可以按顶点
的顺时针顺序写，也可以按逆时针顺序写．如图所示的五边形可
以记作五边形ABCDE，也可以记作五边形EDCBA等．
四
五
n
知识点2 多边形的对角线
连接多边形_______的两个顶点的线段叫作多边形的对角线．从
n边形的一个顶点出发可以引_______条对角线，这些对角线把
这个多边形分成_______个三角形，n边形共有__________条对
角线．
不相邻
(n－3)
(n－2)
n(n－3)
知识点3 正多边形
_____相等，_____也相等的多边形叫作正多边形．
知识点4 多边形的内角和
n边形的内角和等于______________．
各边
各角
(n－2)·180°
考点1 多边形的有关概念
典例1 关于正多边形的概念，下列说法正确的是( )
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形
D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
思路导析 各边相等、各角也相等的多边形是正多边形．
变式 [2025·芝罘区期中]从多边形的一个顶点出发，可以作出4条对角线，则这个多边形的边数是( )
A．八 B．七
C．六 D．五
考点2 多边形的内角和
典例2 [2024·包头]若一个n边形的内角和是900°，则n＝__．
7
思路导析 根据n边形的内角和为(n－2) 180°列出关于n的方程，解方程即可求出边数n的值．
变式 [2024·大余县期末]阅读小明和小红的对话，解决下列问题．
(1)这个“多加的锐角”是___度；
(2)小明求的是几边形的内角和？
(3)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度？
30
解：(1)十二边形的内角和为(12－2)×180°＝1 800°，而十三边形的内角和为(13－2)×180°＝1 980°，由于小红说“多边形的内角和不可能是1 830°，你一定是多加了一个锐角”，所以这个“多加的锐角”是1 830°－1 800°＝30°，故答案为：30；
考点3 正多边形的内角和
典例3 [2025·石狮市期末]某市城市建设中心计划在人民广场中央修建一个造型美观的正多边形景观花坛．要求这个花坛的内角和为1 080°，则这个花坛应设计成( )
A．正六边形 B．正八边形
C．正十边形 D．正十二边形
变式1 [2025·即墨区期末]如图，在正六边形ABCDEF中，作正五边形HKCDG，连接BK，则∠ABK的度数为( )
A．45° B．36°
C．30° D．27°
变式2 [2025·广元]如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线HB，AC交于点K，则∠AKH＝( )
A．30° B．35°
C．40° D．45°(共7张PPT)
第4课时 三角形三边之间的关系
知识点 三角形的三边关系
三角形的任意两边之和_____第三边，任意两边之差_____第三
边.
大于
小于
考点 三角形三边关系
典例 [2024·柳州期末]下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( )
A．1，2，3 B．1，2，4
C．2，3，4 D．2，2，4
思路导析 根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．
变式2 [2024·黄石期中]已知△ABC的三边长分别为a，b，c.
(1)化简：|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|；
(2)若a＝5，b＝2，且三角形的周长为偶数．
①求c的值；
②试判断△ABC的形状．
解：(1)因为a，b，c是△ABC的三边长，所以a－b－c＜0，b－
c－a＜0，a＋b－c＞0，所以|a－b－c|－|b－c－a|＋|a＋b－c|
＝－a＋b＋c＋b－c－a＋a＋b－c
＝－a＋3b－c；
(2)因为a＝5，b＝2，所以5－2＜c＜5＋2，即3＜c＜7，
因为三角形的周长为偶数，所以c＝5；
②因为a＝c＝5，所以△ABC是等腰三角形．(共15张PPT)
12.3 圆
知识点1 圆的有关概念
1．在平面内，线段OA绕_____的端点O旋转一周，另一个端点A
所形成的_________叫作圆，点O叫作圆的圆心．连接圆心和圆
上任意一点的_____叫作圆的半径，用“r”表示．以点O为圆心
的圆，记作“____”，读作“圆O”．圆是平面内到_____的距
离等于_____的点的集合．
固定
封闭曲线
线段
⊙O
定点
定长
2．连接圆上任意两点的_____叫作弦，经过圆心的弦叫作_____．
圆上任意两点间的部分叫作弧，用符号“︵ ”表示．直径把圆
分成两条弧，每一条弧都叫作_____，大于半圆的弧叫作_____，
通常用___个字母表示，如 ；小于半圆的弧叫作_____，通
常用___个字母表示，如 .
线段
直径
半圆
优弧
三
劣弧
两
3．一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫作___
___．
4．半径相等的圆叫作___圆．在同圆或等圆中，能够互相重合
的弧叫作_____．圆心相同，半径不相等的圆叫作_____圆．两
个同心圆之间的部分叫作圆环．
扇
形
等
等弧
同心
知识点2 点和圆的位置关系
【温馨提示】
已知点到圆心的距离与半径的大小关系，可以确定该点与圆的位置关系．反过来，已知点与圆的位置关系，也可以确定该点到圆心的距离与半径的大小关系，体现了数与形的结合．
考点1 圆的有关概念
典例1 [2024·潍坊期末]下列说法正确的是( )
A．经过圆心的线段是直径
B．直径是同一个圆中最长的弦
C．长度相等的两条弧是等弧
D．弧分为优弧和劣弧
变式 [2025·桑植县一模]如图，在⊙O中，点A，O，D在一条直线上，点B，O，C在一条直线上，那么图中有弦( )
A．2条 B．3条
C．4条 D．5条
考点2 点与圆的位置关系
典例2 [2024·杭州期末]已知⊙O的半径为3，点M到圆心O的距离为1.5，则点M在( )
A．圆外 B．圆上
C．圆内 D．不能确定
变式 [2024·抚宁区期末]如图，⊙O半径为5，那么图中到圆心O距离为7的点可能是( )
A．P点 B．Q点
C．M点 D．N点
考点3 与圆有关的计算
典例3 如图，半径为r的⊙O从A点出发绕另一个半径为3r的⊙O1
滚动一周，回到A点，则⊙O自身旋转的圈数是( )
A．8 B．6
C．3 D．4
思路导析 先计算圆心O经过的距离，再与圆O的周长相比即可．
变式 如图，假设用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来，并且使得铁丝与地球赤道的距离处处相等，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大(把地球看成球形)？能放进一颗红枣吗？能放进一个拳头吗？说明你的理由．
