登陆21世纪教育 助您教考全无忧
课题：探索与表达规律
教学目标：
一、 知识与技能目标：
1. 探索数量关系，应用符号表示规律，通过验算证明规律。
2. 数的变化规律。
二、过程与方法目标：
1. 通过探索数量关系，运用符号表示规律，运算验证规律的过程，使学生进一步理解掌握探索规律的步骤。 21教育网
2.会用代数式表示简单问题中的数量关系.在探究知识的过程中培养学生的创新能力。
三、情感态度与价值观目标：
通过活动，为学生创设生动活泼的探究知识的情境，从而调动学生学习数学知识的积极性，使学生有自主地发现知识，创造性地解决问题。21cnjy.com
重点：
学会探索数量关系，运用符号表示规律。
难点
学会从不同角度探索数量关系表示规律。
教学流程：
情景导入
观察下面的日历，回答问题。
（1）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
（2）这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
（4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？用代数式表示。
解：（1）9个数的和为中间数的9倍；
（2）任意框9个数，设中间的数为a，则左右两边数为a-1，a+1，上行邻数为（a-7），下行邻数为（a+7），
左右上角邻数为（a-8），（a-6），左右下角邻数为（a+6），（a+8），
之和为a+a-1+a+1+a-7+a+7+a-8+a-6+a+6+a+8=9a；
（3）这个关系对任何一个月的日历都成立，理由为任何一个日历表都具有这种排列规律．
（4）
设方框正中间的数为n，其余各数为n－8，n－7，n－6，n－1，n＋1，n＋6，n＋7．n＋8．
第二行3个数的和＝(n－1)＋n＋(n＋1)＝3n．
第二列3个数的和＝(n－7)＋n＋(n＋7)＝3n．
对角线上3个数的和分别为(n－6)＋n＋(n＋6)＝3n，(n－8)＋n＋(n＋8)＝3n．
由此可以发现：方框“十”字位上的3个数的和，对角线上3个数的和相等，且都等于正中间数的3倍．
想一想
如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律 如果改为“H”形框呢？
你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
（1）“十”字形：5个数的和是中间这个数的5倍
“H”形：7个数的和是中间这个数的7倍。
设计成“W形，它与“H”形一样，6个数的和是中间这个数的9倍。
二、习题演练
1. 日历上三个数的位置如左图所示，这三个数的和为36，则其中最小的数是________4
日历上三个数的位置如右图所示，这三个数的和为27，则正中间的数是________9
2. 某展览馆选用规格为600x 600mm的黑白两种颜色的大理石地砖，按如图的方式铺设通向展厅的走廊地面．21·cn·jy·com
依据上图规律，第n个图形中需要黑色大理石地砖_______
铺设完毕后，施工人员发现整个走廊地面恰好是符合上图规律的一个完整图形，且用去的黑色大理石地砖是白色人理石警砖的 / ，求走廊长度.
解：（1）结合图形，得第一个图中有4块黑色的正方形瓷砖，后边依次多3块黑色瓷砖；
∴第n个图案有黑色瓷砖4+3（n﹣1）=3n+1（块）
（2）观察图形可知：第n个图形中的大理石地板数量=5×（2n+1），
∴白色大理石的个数=5（2n+1）﹣（3n+1）=7n+4www.21-cn-jy.com
∴=
解得：n=8．
∴走廊长度=（2 ×8+1）×0.6=10.2m．
解答困惑，讲授新知
你在心里想好一个两位数,将十位数字乘以2,然后加上3，再把所得新数乘以5，最后把得到的数加上个位数字。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。
我的结果是93 你心里想的数是78
我的结果是27 你心里想的数是12
你知道小明怎么算出来的吗
设小亮想的数字是xy，x表示十位，y表示个位
根据小明的算法,得到的数是（2x+3）×5+y=10x+y+15
再由小亮的结果即10x+y+15 ,可以推断10x+y就分别是十位和各位,所以结果减15;就是这个数!2·1·c·n·j·y
做一做
设计类似的数字游戏，并解释其中的道理
观察下面的一列数： ，- ， ，- ，，…，则第100个数是
解：第1个数： =（-1）1+1×
第2个数：-=（-1）2+1×
第3个数： =（-1）3+1×，
第4个数：-=（-1）4+1×，
所以可以得出第n个数是（-1）n+1×，（n≥1）
则第100个数是（-1）100+1×=-
实例演练 深化认识
观察下列数表：根据数列所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为______．（2n-1）
五、达标测评
1、用火柴棒按下图的方式搭三角形
（1）填写下表：
3,5,7,9,11
（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒？
2n+1
2．研究下列算式，你发现了什么规律？用字母表示这个规律。
1×5+4=9=3×3；
2×6+4=16=4×4；
3×7+4=25=5×5；
4×8+4=36=6×6；
………………
用n表示自然数,规律是： n×(n+4)+4=(n+2)
拓展提升
1.跳棋棋盘上一共有多少个棋孔
解：六角形棋盘可看作一正一反两个大等边三角形重叠而成，大三角形每边上有13个棋孔，所以一个大三角形共有棋孔（1+2+3+…+13）=（1+13）×13÷2=91个，剩下三个小三角形（见图），共有棋孔：
（1+2+3+4）×3 =10×3 =30（个）。所以，跳棋盘上一共有棋孔91+30=121个。
2.有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一个起到1993个数这1993个数之和。
解：仔细观察这一数列，若把1抽出，则正好成为一个等差数列:1993，1992，1991，1990，…；在原数列中三个数一组出现一个1，则1993个数1993÷3=664…1。可分为664组一个1，即665个1，其余是1993到666这664×2=1328个数。所以前1993个数之和为：
1×665+（666+1993）×1328÷2
=665+2659×1328÷2 =665+1765576=176624121世纪教育网版权所有
小结
探索规律的一般步骤：
八、布置作业
课本第100页1,2 题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 6 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
探索与表达规律
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题8分，共40分)
1. 礼堂第一排有a个座位，后面每排都比前一排多一个座位，则第n排座位个数是（ ）
A．a+（n-1） B．n+1 C．a+n D．a+（n+1）
2如图，将正整数按右图所示规律排列下去，若用有序数对（n，m）表示n排从左到右第m个数．如（4，3）表示9，则（10，3）表示（ ）2·1·c·n·j·y
A．46 B．47 C．48 D．49
3. 如图，将一个三角形的三边依次都分成2、3、4…等分，并将分点按图1、图2、图3那样连起来，这样，每个图中所得到的小三角形都会全等．按此方法，当三边都分成10等分时，所得到的全等小三角形的个数是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．98 B．99 C．100 D．101
4. 按规律找式子：①4+0.2，②8+0.3，③12+0.4，则第四个式子是（ ）
A．12+0.5 B．14+0.5 C．16+0.5 D．18+0.5
5. 按如下规律摆放三角形，则图（5）的三角形个数为（ ）
A．46 B．67 C．66 D．43
二、填空题(每小题8分，共40分)
6. 观察等式：1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，…猜想：1+3+5+7…+99=______．21·cn·jy·com
7. “二十四点”游戏规则：用给定的四个数（用且只用一次）进行加、减、乘、除运算，使其结果等于24．如果所给四数为：-6，4，10，3，那么算式是 ______．
8. 仔细观察以下数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…则它的第11个数应该是______．
9. 观察下列球的排列规律（其中●是实心球，○是空心球）：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…从第1个球起到第2006个球止，共有实心球的个数为______个．2-1-c-n-j-y
10. 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：
则第10个图案中有白色地面砖______块．
三、解答题（共20分）
11.
一个正三角形，每边长1米，在每边上从顶点开始每隔2厘米取一点，然后从这些点出发作两条直线，分别和其他两边平行(如图)。这些平行线相截在三角形中得到许多边长为2厘米的正三角形。求边长为2厘米的正三角形的个数。 21世纪教育网版权所有
12下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4…．
（1）当数到10时，对应的字母是（ ）；
（2）已知当字母C第2n+1次出现时（n为正整数），恰好数到的数是6n+3．求当字母C第101次出现时恰好数到的数（提示：2n+1=101）． 21教育网
（3）当字母C第2n次出现时（n为正整数），直接写出恰好数到的数．
参考答案
一、选择题
1.A
【解析】设座位数为x，
则当n=1时，x=a，
n=2时，x=a+1，
n=3时，x=a+2，
…
当n=n时，x=a+（n-1）．
故选A．
2.C
【解析】从图中可以发观，第n排的最后的数为：n（n+1），∵第9排最后的数为：×9（9+1）=45，∴（10，3）表示第10排第3个数，则第10排第3个数为45+3=48．
故选：C．
3. C
【解析】由图可知（1）中顺次连接各中点所得全等的小三角形为1+3=（1+1） 2 ；
（2）中顺次连接各中点所得全等的小三角形为1+3+5=（2+1） 2 ；
同理如果把三条边分成3等分可得到1+3+5+7=（3+1） 2 个全等的小三角形，
按照这种方式分下去，第n个图形中应该得到（n+1） 2 个全等的小三角形．
10等分时，n=9，
∴当三边都分成10等分时，所得到的全等小三角形的个数是100．
故选C．www.21-cn-jy.com
4.．C
【解析】∵①4+0.2，②8+0.3=2×4+0.3，③12+0.4=3×4+0.4，
∴第四个式子是：4×4+0.5．
故选：C．
5.B
【解析】由分析可知，当n=5时，三角形的个数为1+（2×5+1）×（5+1）=67．
故选B
二、填空题
6. 502
【解析】∵从1开始的连续2个奇数和是22，连续3个奇数和是32，连续4个，5个奇数和分别为42，52…；
∴从1开始的连续n个奇数的和：1+3+5+7+…+（2n-1）=n2；
∴2n-1=99；
∴n=50；
∴1+3+5+7…+99=502．21cnjy.com
7.24
【解析】10-4-3×（-6）=24．
8.89
【解析】第11个数是34+55=89，
故答案为：89．
9.603
【解析】从第1个球起到第2006个球止，即200组再加6个；共有实心球的个数为200×3+3=603个．【来源：21·世纪·教育·网】
故共有实心球的个数为603个．
10.42
【解析】∵第一个图案有白色地面砖2+4块，第二个有2+4+4块，第三个有2+4+4+4块，
∴第10个图案中有白色地面砖有2+4×10=42块．
故答案为：42．
三、解答题
11. 解：从图中不难看出边长为2厘米的三角形的个数：第一层有1个;第二层共有3个;第三层共有5个。21·世纪*教育网
于是想到共有几层，最底层共有多少个。
边长为2厘米的三角形的个数实际上就是从1开始连续50个单数的和：
1+3+5+…+99
=(1+99)×50÷2
=2500(个)。
12. 解：（1）每六个字母为一组，依次进行循环，
∴第10个字母是D；
（2）2n+1=101， 解得n=50， 当n=50时，6n+3=303；
（3）当字母C第2n次出现时，共有n组，
∴恰好数到6n﹣1．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 5 页） 版权所有@21世纪教育网(共23张PPT)
探索与表达规律
【义务教育教科书北师版七年级上册】
学校：________
教师：________
情景导入
观察下面的日历，回答问题。
（1）日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
9个数的和为中间数的9倍
一、按照图形排列探索规律
活动探究
（2）这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示这个关系吗？
解：任意框9个数，设中间的数为a，则左右两边数为a-1，a+1，上行邻数为（a-7），下行邻数为（a+7），左右上角邻数为（a-8），（a-6），左右下角邻数为（a+6），（a+8）之和为:
a+a-1+a+1+a-7+a+7+a-8+a-6+a+6+a+8=9a；
活动探究
（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
这个关系对任何一个月的日历都成立，理由为任何一个日历表都具有这种排列规律．
（4）你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？用代数式表示。
解：如图所示，设方框正中间的数为a，其余各数为a －8， a －7， a －6， a －1， a ＋1， a ＋6， a ＋7， a ＋8．
活动探究
第二行3个数的和＝(a －1)＋ a ＋(a ＋1)＝3 a ．
第二列3个数的和＝(a －7)＋ a ＋(a ＋7)＝3 a ．
对角线上3个数的和分别为(a －6)＋ a ＋(a ＋6)＝3 a ，
(a －8)＋ a ＋(a ＋8)＝3 a
由此可以发现：方框“十”字位上的3个数的和，对角线上3个数的和相等，且都等于正中间数的3倍．
想一想
如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律 如果改为“H”形框呢？
“十”字形：5个数的和是中间这个数的5倍
“H”形：7个数的和是中间这个数的7倍
想一想
2.你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？
a-10
a-2
a+6
a
a+8
a+2
a-4
a-10+a-2+a+6+a+a+8+a+2+a-4
=7a
6个数的和是中间这个数的7倍
实例讲解
某展览馆选用规格为600x 600mm的黑白两种颜色的大理石地砖，按如图的方式铺设通向展厅的走廊地面．
（1）依据上图规律，第n个图形中需要黑色大理石地砖_______
（2）铺设完毕后，施工人员发现整个走廊地面恰好是符合上图规律的一个完整图形，且用去的黑色大理石地砖是白色人理石警砖的，求走廊长度.
8
实例讲解
解：（1）结合图形，得第一个图中有4块黑色的正方形瓷砖，后边依次多3块黑色瓷砖；
∴第n个图案有黑色瓷砖4+3（n﹣1）=3n+1（块）
（2）观察图形可知：第n个图形中的大理石地板数量=5×（2n+1），
∴白色大理石的个数=5（2n+1）﹣（3n+1）=7n+4
∴=
解得：n=8．
∴走廊长度=（2 ×8+1）×0.6=10.2m．
习题演练
日历上三个数的位置如左图所示，这三个数的和为36，则其中最小的数是________
日历上三个数的位置如右图所示，这三个数的和为27，则正中间的数是________
4
9
讲授新知
你在心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加上3,再把所得新数乘以5,最后把得到的新数加上个位数字.把你的结果告诉我，我就知道你心里想的两位数。
我的结果是93
你心里想的数是78
二、数字探索规律
讲授新知
我的结果是27
你心里想的数是12
你知道小明怎么算出来的吗
设小亮想的数字是xy，x表示十位，y表示个位
根据小明的算法,得到的数是（2x+3）×5+y=10x+y+15
再由小亮的结果即10x+y+15 ,可以推断10x+y就分别是十位和个位,所以结果减15;就是这个数!
实例讲解
第一列 第二列 第三列 第四列 …
第一行 1 2 3 4 …
第二行 2 3 4 5 …
第三行 3 4 5 6 …
第四行 4 5 6 7 …
… … … … … …
观察下列数表：根据数列所反映的规律，第n行第n列交叉点上的数应为______．
2n-1
习题演练
1.观察下面的一列数： ，- ， ，- ，，…，则第100个数是________
解：第1个数： =（-1）1+1×
第2个数：-=（-1）2+1×
第3个数： =（-1）3+1×，
第4个数：-=（-1）4+1×，
-
习题演练
所以可以得出第n个数是（-1）n+1×，（n≥1）
则第100个数是（-1）100+1×=-
1、用火柴棒按下图的方式搭三角形
（2）照这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形
需要多少根火柴棒？
（1）填写下表：
三角形个数 1 2 3 4 5
火柴棒根数
3
11
9
5
7
达标测评
2n+1
达标测评
2．研究下列算式，你发现了什么规律？用字母表示这个规律。
1×5+4=9=3×3；
2×6+4=16=4×4；
3×7+4=25=5×5；
4×8+4=36=6×6；
………………
用n表示自然数,规律是：________________。
n×(n+4)+4=(n+2)
拓展提升
1.跳棋棋盘上一共有多少个棋孔
解：六角形棋盘可看作一正一反两个大等边三角形重叠而成，大三角形每边上有13个棋孔，所以一个大三角形共有棋孔（1+2+3+…+13）=（1+13）×13÷2=91个，剩下三个小三角形（见图），共有棋孔：
（1+2+3+4）×3 =10×3 =30（个）。所以，跳棋盘上一共有棋孔91+30=121个。
拓展提升
2.有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一个起到1993个数这1993个数之和。
拓展提升
解：仔细观察这一数列，若把1抽出，则正好成为一个等差数列:1993，1992，1991，1990，…；在原数列中三个数一组出现一个1，则1993个数1993÷3=664…1。可分为664组一个1，即665个1，其余是1993到666这664×2=1328个数。所以前1993个数之和为：
1×665+（666+1993）×1328÷2
=665+2659×1328÷2 =665+1765576=1766241
探索规律的一般步骤：
猜 想 规 律
表 示 规 律
验 证 规 律
具 体 问 题
观 察 特 例
课堂小结
成立
不成立
得 出 结 论
重新探索
布置作业
教材100页习题第1 ，2题。
