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2026年中考一轮复习
4.1 角、相交线与平行线
三角形及四边形
第4章
“—”
1．掌握基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短．理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差．
2．理解对顶角垂线、垂线段等概念，探索并掌握对顶角相等的性质；理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离；识别同位角、内错角、同旁内角；理解平行线的概念．
3．能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．
4．掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；了解平行于同一条直线的两条直线平行．
5．探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行．
6．掌握平行线的性质定理I：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．了解定理的证明；探索并证明平行线的性质定理Il：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）．
7．通过具体实例，了解命题、定理、推论的意义，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念；会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，会用综合法的证明格式；了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．
1．直线公理
经过两点有________条直线，并且只有________条直线．简单说成：两点确定________条直线．
2．线段
（1）公理：两点之间，________最短．
（2）距离：连接两点间的线段的________叫作这两点间的距离．
线段
长度
一
一
一
3．角的平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个________的角的射线，叫作这个角的平分线．
4．余角、补角的性质
同角（或等角）的余角________，同角（或等角）的补角________．
5．对顶角性质
对顶角________．
相等
相等
相等
相等
6．垂直
（1）性质1：在同一平面内，过一点有且只有________条直线和已知直线垂直．
（2）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，________最短．
（3）直线外一点到这条直线的垂线段的________，叫作点到直线的距离．
一
垂线段
长度
7．平行线
（1）平行公理：经过直线外一点有且只有________条直线和已知直线平行．
（2）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（3）平行线的判定：
同位角相等，两直线________；
内错角________，两直线平行；
一
平行
相等
7．平行线
（3）平行线的判定：
同旁内角互补，两直线________．
（4）平行线的性质：
两直线平行，同位角________；
两直线________，内错角相等；
两直线平行，同旁内角________．
平行
相等
平行
互补
8．命题、定理、证明与反例
（1）概念：可以判断为________（或真）或________（或假）的陈述语句，叫作命题．被判断为正确（或真）的命题叫作________命题，被判断为错误（或假）的命题叫作________命题．
（2）命题的结构：命题由________和________两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是________，q是________．
（3）定理：命题的正确性是经过________证实的，这样的真命题叫作定理．
正确
错误
真
假
题设
结论
题设
结论
推理
（4）逆命题与逆定理：将一个命题的________和________互换位置，得到的新命题叫作原命题的逆命题。即：原命题“若p，则q”，其逆命题为“若q，则p”；如果一个定理的________能被证明是真命题，那么它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
（5）证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作________．
（6）反例：判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足________就可以了．
条件
结论
逆命题
证明
结论
■考点一 直线、射线、线段
◇典例1：(2025·山东省滨州·中考)如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C
◆变式训练
1．(2025·吉林省四平市·一模)如图，杭州湾跨海大桥
是跨越杭州湾的便捷通道，大桥建成后宁波至上海的
陆路距离缩短了约．其中的数学道理是 ．
2．(2025·河北省保定市·模拟)已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
两点之间线段最短
A
■考点二 角平分线、余角和补角
◇典例2：(2026·广东省中山市·模拟)已知，则的补角是（ ）．
A． B． C． D．
D
B
D
D
0（答案不唯一）
B
144
解（1）：∵平分，
∴，
∵，
∴可设，则，
∵，
即，解得，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵平分，
∴，
分两种情况：
①，
②，
∴．
即或．
C
①②③
证明：，
，
，
，
，
，
；
解：过点作，，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：过点作，，
，，，，
，，，，
设，，
平分，，
过点作，，，
，，
，，．
A 基础达标练
B
D
D
C
D
2
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
B 强化提升练
（1）解：，理由如下，
如图1，∵与互补，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，由（1）知，，
∴．
又∵与的角平分线交于点P，
∴，
∴，
∴，即．
∵，
∴；
（3）解：的大小不会发生变化，其值为，理由如下：
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴的大小不会发生变化，其值为．
44
Thanks!
2
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第四章三角形及四边形
4.1角、相交线与平行线
1．掌握基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短．理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差．
2．理解对顶角垂线、垂线段等概念，探索并掌握对顶角相等的性质；理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离；识别同位角、内错角、同旁内角；理解平行线的概念．
3．能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．
4．掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；了解平行于同一条直线的两条直线平行．
5．探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行．
6．掌握平行线的性质定理I：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．了解定理的证明；探索并证明平行线的性质定理Il：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）．
7．通过具体实例，了解命题、定理、推论的意义，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念；会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，会用综合法的证明格式；了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．
1．直线公理
经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
2．线段
（1）公理：两点之间，线段最短．
（2）距离：连接两点间的线段的长度叫作这两点间的距离．
3．角的平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．
4．余角、补角的性质
同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等．
5．对顶角性质
对顶角相等．
6．垂直
（1）性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直．
（2）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离．
7．平行线
（1）平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
（2）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（3）平行线的判定：
同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行．
（4）平行线的性质：
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补．
8．命题、定理、证明与反例
（1）概念：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题．被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题．
（2）命题的结构：命题由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是题设，q是结论．
（3）定理：命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理．
（4）逆命题与逆定理：将一个命题的条件和结论互换位置，得到的新命题叫作原命题的逆命题。即：原命题“若p，则q”，其逆命题为“若q，则p”；如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
（5）证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明．
（6）反例：判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．
■考点一 直线、射线、线段
◇典例1：(2025·山东省滨州·中考)如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】本题考查线段的性质，根据两点之间，线段最短，进行判断即可．
【详解】解：由题意，路程缩短的原因是两点之间，线段最短；
故选C．
◆变式训练
1．(2025·吉林省四平市·一模)如图，杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道，大桥建成后宁波至上海的陆路距离缩短了约．其中的数学道理是 ．
【答案】两点之间线段最短
【分析】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质是解答本题的关键．
根据线段的性质，可得答案．
【详解】解：大桥建成后宁波至上海的陆路距离缩短了约，其中的数学道理是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短．
2．(2025·河北省保定市·模拟)已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】本题考查了有关线段中点的计算．熟练掌握线段中点的定义，线段的和差，分情况讨论，是解题的关键．
分两种情况讨论，①当点C在线段上时，②当点C在线段的延长线上时，根据线段中点定义及和差关系即可求解．
【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示：
∵，，
∴（），
∵M是的中点，N是的中点，
∴ ， ，
∴（）．
②当点C在线段的延长线上时，如图所示：
∵，，
∴（），
∵M是的中点，N是的中点，
∴ ， ，
∴（）．
综上所述，线段的长度是8．
故选：A．
■考点二 角平分线、余角和补角
◇典例2：(2026·广东省中山市·模拟)已知，则的补角是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查补角，熟练掌握补角的定义是解题的关键．
根据补角的定义可知，的补角是，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴的补角是．
故选：D．
◆变式训练
1．(2025·山东省淄博市·一模)如图，直线与相交于点O，与互余，，则的度数是 ．
【答案】/64度
【分析】本题考查了平角定义，互余的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
由，，则，又与互余，从而求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵与互余，
∴，
∴，
故答案为：．
2．(2025·河北省石家庄市·三模)如图，三角板直角顶点O在直线上，是的角平分线，则与的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线，邻补角，正确表示各个角，理清各个角之间是关系是解题关键．先求出，，可得
，继而表示出，即可求解；
【详解】解：∵是的角平分线，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选B．
■考点三 命题的判断
◇典例3：(2026·上海松江区·一模)已知命题：
①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似
②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似
下列对这两个命题的判断，正确的是（ ）
A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
【答案】D
【分析】本题主要考查了判断命题真假，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，如图1所示，等腰三角形一腰上的高都为，且两个三角形的腰长相等，而此时两个三角形不相似，据此可判断①；如图2所示，可证明，得到，进而可证明；同理可证明当两个三角形为钝角三角形，也相似，据此可判断②．
【详解】解：如图1所示，在中，点D和点E都是上的点，且，
∴都是等腰三角形，
此时满足，但是和不相似，
∴命题①是假命题；
当两个三角形都为锐角三角形时，
如图2所示，中，，中，
，
∵，且，
∴，
∴，
又∵，
∴；
同理可证明当两个三角形为钝角三角形，也相似，
综上所述，命题②是真命题；
故选：D．
◆变式训练
1．(2025·四川省成都市·中考)下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等
【答案】D
【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；
C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意；
D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意；
故选：D．
2．(2025·四川省攀枝花·中考)请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么 ．
【答案】0（答案不唯一）
【分析】本题考查举例说明假命题，根据绝对值的意义，一个负数的绝对值等于它的相反数，举出一个反例即可．
【详解】解：当时，，，此时；
∴“”是假命题，
故答案为：0（答案不唯一）．
■考点四 相交线及其所成的角
◇典例4：(2025·陕西·中考)如图，点在直线上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，掌握这些是解题的关键．
由垂直求得的度数，再根据平角定义，计算的度数即可．
【详解】解：点在直线上，，
，
，
，
．
故选B．
◆变式训练
1．(2025·广东省广州市·中考)如图，直线，相交于点O．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了邻补角互补，根据是互为邻补角，得，再代入数值计算，即可作答．
【详解】解：∵直线，相交于点O，且，
∴，
故答案为：
2．(2025·福建省福州市·模拟)如图，直线，相交于点O，平分，，：．
(1)求的度数；
(2)若过点O作射线，使得，求的度数．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查角平分线，邻补角、对顶角，理解邻补角、对顶角的定义，掌握角平分线的定义是正确解答的关键．
（1）根据角平分线定义得出，根据，得出，然后再根据平角的定义进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系分两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴可设，则，
∵，
即，
解得，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵平分，
∴，
分两种情况：
①，
②，
∴．
即或．
■考点五 平行线的判定和性质
◇典例5：(2026·广东省中山市·模拟)如图，直线，直线与相交于点，平分线交于点Q．若，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质可知的度数，根据角平分线的性质可知，最后由平行线的性质可求解．
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，掌握基本概念是解题关键．
【详解】解： ，
∴，
∵，
，
平分，
∴，
，
故选：C．
◆变式训练
1．(2025·福建省福州市·模拟)如图，E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确的结论是（填序号） ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了平行线性质、等腰三角形性质、角平分线定义及余角关系，①根据条件，得，与为同位角，根据平行线判定定理（同位角相等，两直线平行），可推导，故①正确； ②由，可得为等腰三角形（底角相等），但又因为，即可得出平分；故②正确；③由余角关系得，可得，故③正确，所以，结合，再通过平分及等腰三角形性质，计算，故④错误．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∴，
∵，
∴，
∴平分；故②正确，符合题意；
∵的余角比大，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确，符合题意；
设，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误，不符合题意；
综上，正确的是①②③；
故答案为：①②③．
2．(2025·福建·模拟)综合与实践：
【问题情境】
在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动已知直线，在直角三角板中，，，．
【操作发现】
（1）如图所示，将直角三角板顶点放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点当时，求证：．
【深入探究】
（2）如图所示，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，若，求的度数．
【拓展运用】
（3）同学们继续探究以下问题，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，点在上，连接并延长至点，连接，，平分，若，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）由题意，得到，证得，结合已知条件，得到结论；
（2）结合图形，利用平行线的性质，得到，从而得到；
（3）根据题意，结合图形，得，，结合角平分线得到，从而得到结果．
【详解】证明：，
，
，
，
，
，
；
解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：过点作，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，
，
平分，
，
过点作，
，，
，
，
，
，
．
A基础达标练
1．(2025·四川省遂宁市·中考)如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆柱的侧面展开和最短路径问题，掌握求解的方法是关键；
根据圆柱的侧面展开图是长方形结合两点之间线段最短解答即可．
【详解】解：现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线应该是：
，
故选：B．
2．(2025·湖南·模拟)下列命题中是假命题的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．若，则当时， D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】D
【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用一元二次方程根的判别式、垂线的性质、不等式的性质、矩形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
根据一元二次方程根的判别式、垂线的性质、不等式的性质、矩形的判定等知识逐项判断命题的真假即可解答．
【详解】解：A．方程，根的判别式为，当时一元二次方程有两个相等的实数根，故该命题是真命题，不符合题意；
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．这是垂线的基本性质，符合初中几何公理，故该命题是真命题，不符合题意；
C．若，则当时，，故该命题是真命题，不符合题意；
D．对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形，故该命题是假命题，符合题意．
故选：D．
3．(2025·山东省东营市·中考)2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的判定和性质．
过点C作，得到，推出，，即可求出．
【详解】解：过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故选：D．
4．(2025·四川省甘孜州·中考)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质（两直线平行，同位角相等），解题的关键是根据“水中光线平行、空气中光线平行”的条件，准确识别与、与的同位角关系，进而计算两角之和．
先根据空气中光线平行的条件，结合与是同位角，利用平行线性质得出；再根据水中光线平行的条件，结合与是同位角，得出；最后将已知角度代入，计算的结果，匹配选项即可．
【详解】解：∵水中的光线互相平行，空气中的光线互相平行，且与为同位角，与为同位角，
∴，，
∵，，
∴，,
∴.
故选：C．
5．(2025·山东省淄博市·中考)已知：如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可．
【详解】解：设和交于点F，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
6．(2026·新疆维吾尔自治区阿克苏地区·模拟)如图，，，，则的度数为 .
【答案】
【分析】通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质（平行于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等），结合角的和差关系求出的度数．
【详解】解：如图，过点作．
，且
．
，，
．
，，
．
由图可知，
将、代入，
可得，
故答案为：．
【点睛】本题关键在于通过作辅助线，利用平行线的传递性和内错角相等的性质，将已知角与所求角建立联系，进而通过角的和差计算得出结果．
7．(2025·河北省唐山市·三模)如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了线段的等分点，三角形的面积与底高的关系等，解题的关键是熟练掌握线段的等分点．
连接，假设的面积为，根据三角形底高的关系求出相关三角形的面积，然后列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：如图，连接，
假设的面积为，
∵点是线段的中点，
∴的面积为，
∵点，是线段的三等分点，
∴的面积为，的面积为，
∴的面积为，
∵点，，是线段的四等分点，
∴的面积为，
同理，的面积为，
∴的面积为，
解得，
∴的面积为2，
故答案为：2．
8．(2025·重庆巴蜀中学校·模拟)如图，，平分且，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角的计算，涉及角平分线的性质，正确识图准确计算是解题的关键．先利用角平分线的定义得到，然后计算，即可求得．
【详解】解：∵平分且，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
9．(2025·江西·中考)如图，已知点C在上，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．
根据平行线的性质求得，等量代换得到，再利用平行线的判定定理即可得到．
【详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
B强化提升练
10．(2025·陕西西安·模拟)如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补．
(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？请说明理由．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
(3)不会发生变化，见解析
【分析】本题考查平行线的判定及性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质．
（1）由题干中两角互补得出 ，由对顶角相等得出 ，从而得出，证明平行；
（2）由平行线的性质得出 ，由角平分线的性质得出 ，由三角形内角和得出 ，即 ，通过已知，从而得出平行；
（3）利用已知和三角形外角得出 ，由三角形内角和得出 从而推出 ，由邻补角的定义和角平分线的性质得出 从而得出结论．
【详解】（1）解：，理由如下，
如图1，∵与互补，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图2，由（1）知，，
∴．
又∵与的角平分线交于点P，
∴，
∴，
∴，即．
∵，
∴；
（3）解：的大小不会发生变化，其值为，理由如下：
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴的大小不会发生变化，其值为．
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第四章三角形及四边形
4.1角、相交线与平行线
1．掌握基本事实：两点确定一条直线；两点之间线段最短．理解角的概念，能比较角的大小；认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差．
2．理解对顶角垂线、垂线段等概念，探索并掌握对顶角相等的性质；理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离；识别同位角、内错角、同旁内角；理解平行线的概念．
3．能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．
4．掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；了解平行于同一条直线的两条直线平行．
5．探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行．
6．掌握平行线的性质定理I：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．了解定理的证明；探索并证明平行线的性质定理Il：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）．
7．通过具体实例，了解命题、定理、推论的意义，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念；会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立；知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，会用综合法的证明格式；了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的．
1．直线公理
经过两点有____条直线，并且只有________条直线．简单说成：两点确定________条直线．
2．线段
（1）公理：两点之间，________最短．
（2）距离：连接两点间的线段的________叫作这两点间的距离．
3．角的平分线
从一个角的顶点出发，把这个角分成两个________的角的射线，叫作这个角的平分线．
4．余角、补角的性质
同角（或等角）的余角________，同角（或等角）的补角________．
5．对顶角性质
对顶角________．
6．垂直
（1）性质1：在同一平面内，过一点有且只有________条直线和已知直线垂直．
（2）性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，________最短．
（3）直线外一点到这条直线的垂线段的________，叫作点到直线的距离．
7．平行线
（1）平行公理：经过直线外一点有且只有________条直线和已知直线平行．
（2）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
（3）平行线的判定：
同位角相等，两直线________；
内错角________，两直线平行；
同旁内角互补，两直线________．
（4）平行线的性质：
两直线平行，同位角________；
两直线________，内错角相等；
两直线平行，同旁内角________．
8．命题、定理、证明与反例
（1）概念：可以判断为________（或真）或________（或假）的陈述语句，叫作命题．被判断为正确（或真）的命题叫作________命题，被判断为错误（或假）的命题叫作________命题．
（2）命题的结构：命题由________和________两部分组成，命题常写成"如果p，那么q"的形式，其中p是________，q是________．
（3）定理：命题的正确性是经过________证实的，这样的真命题叫作定理．
（4）逆命题与逆定理：将一个命题的________和________互换位置，得到的新命题叫作原命题的逆命题。即：原命题“若p，则q”，其逆命题为“若q，则p”；如果一个定理的________能被证明是真命题，那么它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理.
（5）证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作________．
（6）反例：判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足________就可以了．
■考点一 直线、射线、线段
◇典例1：(2025·山东省滨州·中考)如图，秦岭钟南山公路隧道是我国自主设计、施工的我国最长的双洞单向高速公路隧道，一度被誉为“天下第一隧”．隧道线形为直线，建成后通行里程大大缩短．下面能解释路程缩短原因的是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
◆变式训练
1．(2025·吉林省四平市·一模)如图，杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道，大桥建成后宁波至上海的陆路距离缩短了约．其中的数学道理是 ．
2．(2025·河北省保定市·模拟)已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
■考点二 角平分线、余角和补角
◇典例2：(2026·广东省中山市·模拟)已知，则的补角是（ ）．
A． B． C． D．
◆变式训练
1．(2025·山东省淄博市·一模)如图，直线与相交于点O，与互余，，则的度数是 ．
2．(2025·河北省石家庄市·三模)如图，三角板直角顶点O在直线上，是的角平分线，则与的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
■考点三 命题的判断
◇典例3：(2026·上海松江区·一模)已知命题：
①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似
②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似
下列对这两个命题的判断，正确的是（ ）
A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题
C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题
◆变式训练
1．(2025·四川省成都市·中考)下列命题中，假命题是（ ）
A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等
2．(2025·四川省攀枝花·中考)请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么 ．
■考点四 相交线及其所成的角
◇典例4：(2025·陕西·中考)如图，点在直线上，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．(2025·广东省广州市·中考)如图，直线，相交于点O．若，则的度数为 ．
2．(2025·福建省福州市·模拟)如图，直线，相交于点O，平分，，：．
(1)求的度数；
(2)若过点O作射线，使得，求的度数．
■考点五 平行线的判定和性质
◇典例5：(2026·广东省中山市·模拟)如图，直线，直线与相交于点，平分线交于点Q．若，则度数为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．(2025·福建省福州市·模拟)如图，E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值且定值为，其中正确的结论是（填序号） ．
2．(2025·福建·模拟)综合与实践：
【问题情境】
在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动已知直线，在直角三角板中，，，．
【操作发现】
（1）如图所示，将直角三角板顶点放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点当时，求证：．
【深入探究】
（2）如图所示，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，若，求的度数．
【拓展运用】
（3）同学们继续探究以下问题，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，点在上，连接并延长至点，连接，，平分，若，求的度数．
A基础达标练
1．(2025·四川省遂宁市·中考)如图，圆柱的底面直径为，高为，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．(2025·湖南·模拟)下列命题中是假命题的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．若，则当时， D．对角线相等的四边形是矩形
3．(2025·山东省东营市·中考)2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．(2025·四川省甘孜州·中考)光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则（ ）
A． B． C． D．
5．(2025·山东省淄博市·中考)已知：如图，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．(2026·新疆维吾尔自治区阿克苏地区·模拟)如图，，，，则的度数为 .
7．(2025·河北省唐山市·三模)如图，点是线段的中点，点，是线段的三等分点，点，，是线段的四等分点．若的面积为36，则的面积为 ．
8．(2025·重庆巴蜀中学校·模拟)如图，，平分且，则的度数为 ．
9．(2025·江西·中考)如图，已知点C在上，，．求证：．
B强化提升练
10．(2025·陕西西安·模拟)如图1，直线与直线、分别交于点E、F，与互补．
(1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，与交于点G，点H是上一点，且，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，K是上一点使，作平分，问的大小是否发生变化？请说明理由．
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