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角的比较
【义务教育教科书北师版七年级上册】
学校：________
教师：________
回顾旧知
直角=90°
钝角>90°
锐角<90°
比较锐角、钝角、直角的大小关系
所以锐角<直角<钝角
情景引入
怎么比较它们的大小？
活动探究
类比比较线段的长短的方法，你能比较角的大小吗？
1.测量法
2.叠合法
讲授新知
角的大小比较方法
1.测量法
用量角器量出它们的度数，再进行比较
量角器的中心
量角器的90°刻度线
量角器的外刻度
量角器的内刻度
量角器的0刻度线
同步练习
45°
141°
讲授新知
2.叠合法
方法：将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的一侧就可以比较大小
B
A
O
D
C
O′
讲授新知
B（D）
A
O
C
O(O′)
A(C)
O(O′)
B（D）
B（D）
C
O（O′）
A
∠AOB和∠CO' D相等，
记作∠AOB=∠CO' D
∠AOB大于∠CO' D，
记作∠AOB >∠CO' D
∠AOB小于∠CO' D，
记作∠AOB<∠CO' D
思考探究
在放大镜下，一个角的度数变大了吗？
角的两边的长短与角的大小有关系吗？
没有变大
没有关系
做一做
根据下图，求解下列问题：
（1）比较∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角、平角.
（2）试比较∠BOC和∠DOE的大小
（3）小亮通过折叠的方法，使OD与OC重合，OE落在∠BOC的内部，所以 ∠BOC大于∠DOE。你能理解这种方法吗？
（4）请在图中画出小亮折叠的折痕OF，∠DOF与∠COF有什么大小关系？
A
B
O
C
D
做一做
（1）根据图形可得：∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE；
锐角的是∠AOB，直角的是∠AOC，钝角的是∠AOD，平角的是∠AOE
（2）通过量角器测量可知：∠BOC >∠DOE
（3）可以理解，这是通过叠合法来测量比较两个角
A
B
O
C
D
E
F
（4）∠DOF=∠COF
做一做
在纸上画一个角并剪下，将它对折使其两边重合，用合适的方法，比较折痕与角两边所形成的两个角的大小关系。
这两个角相等，也就是说这条线平分了这个角
讲授新知
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
B
A
O
C
如图，射线OC是∠AOB的平分线
∠AOC=∠BOC=∠AOB
（或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC）
思考探讨
如图OB是∠AOC的平分线，∠COD=2∠AOB，试说明OC是哪一个角的平分线？
解：∵OB是∠AOC的平分线，
∴ ∠AOB= ∠BOC
又∠COD=2∠AOB
∴ ∠COD=∠AOB+ ∠BOC
∴OC是∠AOD的角平分线
达标测验
1.钝角减去锐角的差是（ ）
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.都有可能
2.在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在（ ）
A.∠AOB >∠AOC B. ∠AOC=∠BOC
C.∠BOC>∠AOC D. ∠AOC=∠BOC
解析∵点C是位于∠AOB内部的.∴∠AOB=∠AOC +∠BOC,
∵∠BOC>0,∴ ∠AOB>∠AOC
A
D
达标测验
3.如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°
（1）求出∠AOD和∠BOD的度数；
（2）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．
达标测验
（2）∵∠COD=25°，∠DOE=90°，
∴∠COE=∠DOE-∠DOC=90°-25°=65°，
∵∠BCO=130°，
∴∠BOE=∠BOC-∠EOC=130°-65°=65°=∠COE，
即OE平分∠BOC．
解：（1）∵∠AOC=50°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC=×50°=25°，
∵∠AOC=50°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=130°，
∵∠COD=25°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=130°+25°=155°．
变式练习
1.如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC分2:5两部分,∠DBE=21°,则∠ABC=______
解：设∠ABE=x°,得2x+21=5x-21,解得x=14,所以∠ABC=14°×7=98°
98°
变式练习
2.如图，将长方形纸片沿AC折痕对折，使点B落在B′，CF是∠B′CE 平分线，则∠ACF+∠B=______
∵∠BCA=∠B′CA，且∠B′CF=∠ECF，
∴∠BCA+∠B′CA+∠B′CF+∠ECF=180°
∴∠ACF=∠B′CF+∠ACB'=90°
∴∠ACF的度数90°，
又∵∠B=90°，
∴∠ACF+∠B=180°
180°
拓展提升
1.已知∠AOB=40°，过点O引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3，且OD平分∠AOB．则∠COD=______．
解：如图（1）射线OC在∠AOB的内部，
（2）射线OC在∠AOB的外部
拓展提升
（1）设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，则2x+3x=40°
∴x=8°，∠AOC=2x=16°，∠AOD= ×40°=20°
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°；
（2）设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，则∠AOB=3x-2x=x=40°，
∴∠AOC=2x=80°
∠AOD=20°
∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．
故答案为4°或100°．
拓展提升
2.如图所示，若∠AOE和∠AOF是两个相邻的角，OM，ON分别是∠AOE和∠AOF的平分线，且∠MON=90°，问：E，O，F三点在一条直线上吗？若在，请说明理由。
拓展提升
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1.角的两种比较方法：度量法、叠合法
2.角平分线的概念
布置作业
教材121页习题第4题登陆21世纪教育 助您教考全无忧
课题：角的比较
教学目标：
一、 知识与技能目标：
1.运用类比的方法，比较两个角的大小
2.理解角平分线的定义，并能借助角平分线解决问题
3.能估计一个角的大小
二、过程与方法目标：
1.体会类比思想的运用，学会用类比的方法解决问题
2.培养学习动手操作，自主探究的能力
三、情感态度与价值观目标：
能用所学解决生活实际问题，体验数学与生活的紧密联系
重点：
掌握角的比较大小方法
难点
角平分线的理解
教学流程：
情景导入
锐角、钝角、直角三种角之间可以排出大小关系？
锐角<直角<钝角
生活中我们还会见到很多种角，我们怎么比较它们的大小呢？这节课我们就来学习角的比较。
活动探究
还记得怎么比较线段的长短吗？类似地，你能比较角的大小吗？
学生活动：合作探究
三、回顾旧知，启发引导
线段比较大小的方法有两种：
1.测量法
2.叠合法
四、讲授新知
同样地，我们可以有两种方法对角进行比较：
1.用量角器量出它们的度数，再进行比较
2.将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的一侧就可以比较大小
∠AOB和∠CO' D相等，记作∠AOB=∠CO' D
∠AOB大于∠CO' D，记作∠AOB>∠CO' D
∠AOB小于∠CO' D，记作∠AOB<∠CO' D
思考探究
在放大镜下，一个角的度数变大了吗？ 没有变大
角的两边的长短与角的大小有关系吗？ 没有关系
六、做一做
1.根据右图，求解下列问题：
（1）比较∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE的大小，并指出其中的锐角、直角、钝角、平角.
（2）试比较∠BOC和∠DOE的大小
（3）小亮通过折叠的方法，使OD与OC重合，OE落在∠BOC的内部，所以 ∠BOC大于∠DOE。你能理解这种方法吗？21世纪教育网版权所有
（4）请在图中画出小亮折叠的折痕OF，∠DOF与∠COF有什么大小关系？
（1）根据图形可得：∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE；
锐角的是∠AOB，直角的是∠AOC，钝角的是∠AOD，平角的是∠AOE
（2）通过量角器测量可知：∠BOC >∠DOE
（3）可以理解，这是通过叠合法来测量比较两个角
（4）∠DOF=∠COF
2.做一做：在纸上画一个角并剪下，将它对折使其两边重合，用合适的方法，比较折痕与角两边所形成的两个角的大小关系。21教育网
这两个角相等，也就是说这条线平分了这个角
七、讲授新知
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
如图，射线OC是∠AOB的平分线，这时，∠AOC=∠BOC=∠AOB（或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC）2-1-c-n-j-y
如图OB是∠AOC的平分线，∠COD=2∠AOB，试说明OC是哪一个角的平分线？
解：∵OB是∠AOC的平分线，
∴ ∠AOB= ∠BOC
又∠COD=2∠AOB
∴ ∠COD=∠AOB+ ∠BOC
∴OC是∠AOD的角平分线
达标测评
1.钝角减去锐角的差是（D ）
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.都有可能
2.在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在（ ）
A.∠AOB >∠AOC B. ∠AOC=∠BOC
C.∠BOC>∠AOC D. ∠AOC=∠BOC
解析∵点C是位于∠AOB内部的.∴∠AOB=∠AOC +∠BOC,∵∠BOC>0,∴ ∠AOB>∠AOC
3.如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°
（1）求出∠AOD和∠BOD的度数；
（2）请通过计算说明OE是否平分∠BOC．21·cn·jy·com
解：（1）∵∠AOC=50°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠COD=∠AOC=×50°=25°，
∵∠AOC=50°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=130°，
∵∠COD=25°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=130°+25°=155°．21·世纪*教育网
（2）∵∠COD=25°，∠DOE=90°，
∴∠COE=∠DOE-∠DOC=90°-25°=65°，
∵∠BCO=130°，
∴∠BOE=∠BOC-∠EOC=130°-65°=65°=∠COE，
即OE平分∠BOC． 21*cnjy*com
九、变式练习
1.如图,BD平分∠ABC,BE分∠ABC分2:5两部分,∠DBE=21°,则∠ABC=______
解：设∠ABE=x°,得2x+21=5x-21,解得x=14,所以∠ABC=14°×7=98°
2.如图，将长方形纸片沿AC折痕对折，使点B落在B′，CF是∠B′CE 平分线，则∠ACF+∠B=______2·1·c·n·j·y
解：∵∠BCA=∠B′CA，且∠B′CF=∠ECF，
∴∠BCA+∠B′CA+∠B′CF+∠ECF=180°
∴∠ACF=∠B′CF+∠ACB'=90°
∴∠ACF的度数90°，
又∵∠B=90°，
∴∠ACF+∠B=180°【来源：21·世纪·教育·网】
十、拓展提升
1.已知∠AOB=40°，过点O引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3，且OD平分∠AOB．则∠COD=______．
解：如图（1）射线OC在∠AOB的内部，
（2）射线OC在∠AOB的外部
（1）设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，则2x+3x=40°
∴x=8°，∠AOC=2x=16°，∠AOD= / ×40°=20°
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°；21cnjy.com
（2）设∠AOC、∠COB的度数分别为2x、3x，则∠AOB=3x-2x=x=40°，
∴∠AOC=2x=80°
∠AOD=20°
∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．
故答案为4°或100°．www.21-cn-jy.com
2.如图所示，若∠AOE和∠AOF是两个相邻的角，OM，ON分别是∠AOE和∠AOF的平分线，且∠MON=90°，问：E，O，F三点在一条直线上吗？若在，请说明理由。
解：在
因为OM，ON分别平分∠AOE，∠AOF，
所以∠AOM= / ∠ ，∠AON= / ∠AOF
所以∠AOM+∠AON= / （∠AOE+∠AOF），
所以∠MON= / ∠EOF=90°，
所以∠EOF=180°，
所以E，O，F三点在一直线上。www-2-1-cnjy-com
十一、体验收获
1.角的两种比较方法：度量法、叠合法
2.角平分线的概念
十二、布置作业
课本第112页第4 题
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 5 页 （共 6 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
角的比较
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题8分，共40分)
1. 如图，∠AOC=90°，ON是锐角∠COD的平分线，OM是∠AOD 的平分线， 则∠MON的度数是（ ） 21cnjy.com
（1题图） （2题图）
A.90° B.45° C.60° D.80
2. 把两块三角板按如图所示那样拼在一起，则∠ABC等于（ ）
A．70° B．90° C．105° D．120°
3. 如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）21·cn·jy·com
A．35° B．45° C．55° D．65°
4. 如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是（ ）www.21-cn-jy.com
A．100° B．110° C．115° D．120°
5. 如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠COE，∠COE=70°，则∠BOD的度数是（ ）2·1·c·n·j·y
A．20° B．30° C．35° D．40°
二、填空题(每小题8分，共40分)
6. 如图，∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=146°，则∠BOC=______度．
（6题图） （7题图） （8题图） （9题图）
7. 如图，∠AOB=90°，∠MON=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，则∠AOC=______．
8. 如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE=∠BOE，OF平分∠AOD，若∠BOE=28°，则∠EOF的度数为______．【来源：21·世纪·教育·网】
9. 如图，OC是∠AOD的平分线，OB是∠AOC的平分线，若∠COD=53°18′，则∠AOD=______，∠BOC=______．21·世纪*教育网
10. 已知∠AOB=45°，从点O引一条射线OC，使∠AOC：∠AOB=4：3，则∠BOC=______．
三、解答题（共20分）
11. 已知∠AOB=90°，∠COD=30°．
（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD的度数是_______ ；
如图2，若OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是_________ ；
（2）当∠COD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转180°，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，在旋转过程中，发现∠MON的度数保持不变．
①∠MON的度数是____ ；
②请选择下列图3、图4、图5、图6四种情况中的两种予以证明．
12．如图，已知OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的平分线，射线OP在∠AOC的内部，若要使∠AOP与∠MON相等，则OP应满足什么条件？为什么？21教育网
参考答案
一、选择题
1.B
【解析】∵ON是锐角∠COD的角平分线，
∴∠CON=∠COD，
∵ON是锐角∠COD的角平分线，
∴∠AOM=∠AOD=（∠AOC+∠COD）=45°+∠CON，
∴∠COM=∠AOC-∠AOM=90°-（45°+∠CON）=45°-∠CON，
∴∠MON=∠COM+∠CON=45°-∠CON+∠CON=45°．
故选B
2.D
【解析】左边三角形的角为30°，右边三角形的角为90°，拼在一起是120°
故选D
3. C
【解析】∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，
∴∠MOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-35°=55°．
故选：C．
4.C
【解析】在△ABC中，
∵∠ABC=80°，BP平分∠ABC，
∴∠CBP=∠ABC=40°．
∵∠ACB=50°，CP平分∠ACB，
∴∠BCP=∠ACB=25°．
在△BCP中∠BPC=180°-（∠CBP+∠BCP）=115°．
故选C
5.C
【解析】∵∠COE=70°且OA平分∠COE，
∴∠COA=∠AOE=35°
又∠COA=∠BOD
∴∠COA=∠BOD=35°．
故选C．
二、填空题
6.34°
【解析】∠AOB=∠COD=90°，∠AOD=146°
则∠BOC=360°-2×90°-146°=34°
则∠BOC=34度．
7.120°
【解析】
∵∠AOB=90°，OM平分∠AOB，
∴∠MOB=45°，
∵∠MON=60°，ON平分∠BOC，
∴∠BON=15°，
∴∠NOC=15°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°．
故答案为：120°
8.90°
【解析】
∵∠DOE=∠BOE，∠BOE=28°，
∴∠DOB=2∠BOE=56°；
又∵∠AOD+∠BOD=180°，
∴∠AOD=124°；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF=∠DOF= ∠AOD=62°，
∴∠EOF=∠DOF+∠DOE=62°+28°=90°．
故答案是：90°
9. 106°36′；26°39′
【解析】∵OC是∠AOD的平分线，
∴∠AOD=2∠COD，∠AOC=∠COD，
∵∠COD=53°18′，
∴∠AOD=2×53°18′=106°36′，∠AOC=53°18′，
∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠BOC= ∠AOC= ×53°18′=26°39′，
故答案为：106°36′；26°39′．
10. 105°或15°
【解析】∵∠AOB=45°，∠AOC：∠AOB=4：3，
∴∠AOC=60°
当OC在OA的外侧时，∠BOC=∠AOC+∠AOB=60°+30°=105°；
当OC在OB的外侧，∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°-45°=15°．
故答案为：105°或15°．
三、解答题
11. 解：（1）∵点O、A、C在同一条直线上
∴∠BOD=∠AOB-∠COD=90°-30°=60°
∵OB平分∠COD
∴∠COB=∠COD=×30°=15°
∴∠AOC=∠AOB-∠COB=90°-15°=75°
（2）①∠MON=60°
②图4证明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD
∵∠AOD=∠AOB+∠COD-∠BOC
=∠AOC+∠BOC+∠BOD
∴∠AOC+∠BOD+2∠BOC=∠AOB+∠COD
=90°+30°=120°
∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON
=∠AOC+∠BOC+∠BOD=×120°=60°
图5证明：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD
∴∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD
∵∠AOD=∠AOB+∠COD+∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
∴∠AOC+∠BOD-2∠BOC=∠AOB+∠COD
=90°+30°=120°
∴∠MON=∠MOC+∠CON
=∠MOC+∠BON-∠BOC
=∠AOC+∠BOD-∠BOC
=×120°
=60°．21世纪教育网版权所有
12.
解：OP应满足的条件：OP是∠AOC的角平分线，因为OM、ON分别是∠AOB、∠BOC的平分线，
所以∠AOM=∠BOM，∠BON=∠CON
又∠AOP=∠AOM+∠MOP，∠MON=∠BOM+∠BOIN，
当∠AOP=∠MON时，则有∠MOP=∠BON=∠NOC，
所以∠MOP+∠POB=∠BON+∠POB，即∠MOB=∠PON，
所以∠AOM=∠MOB=∠PON，又因为∠AOM+∠MOP=∠PON+∠NOC，
所以∠AOP=∠POC，即OP平分∠AOC。
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