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课题：2.1认识一元二次方程
教学目标：
知识与技能目标：
探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识
二、过程与方法目标：
在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系；
三、情感态度与价值观目标：
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。21世纪教育网版权所有
重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别。
难点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别。
教学流程：
导入新课
我们在前面学习过方程这个概念。回忆一下什么是方程？什么样的方程是一元一次方程？
只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程。
5x-15=0，这是一个什么样的方程？
思考下列问题：
1、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2 ，则花边有多宽？www.21-cn-jy.com
解：如果设花边的宽为xm ，那么地毯中央长方形图案的长为 m，宽为 m，根据题意，可得方程： 。2·1·c·n·j·y
2、你能化简这个方程吗？
观察下面等式：
10２＋11２＋12２＝13２＋14２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： ， ， ， ．
根据题意，可得方程： 。
2、如图，一个长为10m的梯子斜靠
在墙上，梯子的顶端距地面的垂直
距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，
那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m.
如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙 m；根据题意，可得方程：
。
新课讲解
1、一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(５-２) 即2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+４)2即x2 － 8x － 20＝0.
（ x＋６)2＋７2＝102即x2 ＋12 x －15 ＝0.上述三个方程有什么共同特点？
上面的方程都是只含有 的 ，并且都可以化为 的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数，a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
探究理解
议一议
下列方程中是一元二次方程的是 ( )
把下列一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：(1)一般形式： 二次项系数、一次项系数及常数项分别为：5、﹣4、﹣1.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)一般形式： 二次项系数、一次项系数及常数项分别为：4、0、﹣ 81.
(3)一般形式： 二次项系数、一次项系数及常数项分别为：4、8、﹣25.
(4)一般形式： 二次项系数、一次项系数及常数项分别为：1/3、﹣7、4.21·世纪*教育网
四、课堂练习
1.根据题意列出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长.
答：根据题意，设：直角三角形的三边长分别为：x，x+1，x+2，又因为： x< x+2，所以：
化得：
求得： 又由题意可知x大于0，所以它的三边长分别为：3、4、5.
2.把方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.21·cn·jy·com
答：化成一元二次方程的一般形式为： 二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为﹣32.www-2-1-cnjy-com
五、课堂小结
在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？
1.一元二次方程的概念.
一元二次方程的定义要求的三个条件.要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围.2-1-c-n-j-y
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念. 21*cnjy*com
课堂拓展
1.当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么 当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程 【来源：21cnj*y.co*m】
当a≠1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b；当a=1，b≠0时是一元一次方程.【出处：21教育名师】
2.一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一元一次方程 一元二次方程
一般式 ax=b (a≠0） ax2+bx+c=0 (a≠0）
相同点 整式方程，只含有一个未知数
不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
七、达标测评
1.食堂存煤mt，计划每天用煤nt，实际每天节约用煤2t，则节约后多用的天数是（ ）
A． B． C. D．
2．电影院第一排有m个座位，后面一排都比前一排多1个座位．第n排有（ ）个座位．
A．m+n B．m+n+1 C．m+n-1 D．mn
3．若某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数可表示为 . 21教育网
4、把方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
5、请写出一个一次项系数与常数项互为相反数的一元二次方程________
6、关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程吗？
7、关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0，当k ___时，是一元二次方程。
8、关于x的方程3x2+6+x=mx2是一元二次方程的条件是什么？是一元一次方程的条件呢
9、关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0，当k 时，是一元二次方程，当k 时，是一元一次方程。21cnjy.com
七、布置作业
教材32页习题第1、2题。
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《一元二次方程》练习
一、基础过关
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． x2﹣1=y B．（x+2）（x+1）=x2 C． 6x2=5 D．
2．关于x的一元二次方程（m+1） +4x+2=0的解为（ ）
A． x1=1，x2=﹣1 B． x1=x2=1 C． x1=x2=﹣1 D． 无解
3．方程 ① ；②3y2﹣2y=﹣1；③2x2﹣5xy+3y2=0；④ 中，是一元二次方程的为（ ）
A． ① B．② C．③ D．④
4．一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A． 1，﹣4， B． 0，﹣4，﹣ C． 0，﹣4， D． 1，﹣4，﹣
5．关于x的方程（a2﹣a﹣2）x2+ax+b=0是一元二次方程的条件是（ ）
A． a≠﹣1 B． a≠2 C． a≠﹣1且a≠2 D． a≠﹣1或a≠2
二、综合训练
6．关于x的方程mx2+3x=x2+4是一元二次方程，则m应满足条件是 _________ ．
7．先从括号内①、②、③、④备选项中选出合适的一项填在横线上，将题目补充完整后，再解答：
如果实数m()x是的方程的根，求________的值。 ( ① ； ② ； ③ ； ④ 。)2·1·c·n·j·y
8．若 是关于x的一元二次方程，则a= _________ ．
9．当k= _________ 时，（k﹣1） ﹣（2k﹣1）x﹣3=0是关于x的一元二次方程．
10．已知a、b是方程的两根，求的值．
11．方程（m+4）x|m|﹣2+5x+3=0是关于x的一元二次方程，则m= _________ ．
12．请写出一个根为x＝1，另一个根满足－1＜ x ＜1的一个一元二次方程．
三、拓展应用
13．方程（m+1）x +（m﹣3）x﹣1=0；
（1）m取何值时是一元二次方程，并求出此方程的解；
（2）m取何值时是一元一次方程．
14．x2a+b﹣2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，求a与b的值．
15. 根据题意列出方程,化为一般式,不解方程.
(1)一个大正方形的边长比一个小正方形边长的3倍多1,若两正方形面积和为53,求这两正方形的边长.
(2)2014年某超市销售一种品牌童装,平均每天可售出30件,每件盈利40元.面对下半年市场竞争激烈,超市采用降价措施,每件童装每降价2元,平均每天就多售出6件.要使平均每天销售童装利润为1000元,那么每件童装应降价多少元 21cnjy.com
16. 已知:方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,求a的值.
参考答案
一、基础过关
1．C
解：A、是二元二次方程，故本选项错误；
B、原方程可化为：3x+2=0是一元一次方程，故本选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、是分式方程，故本选项错误．
故选C．
2．C
A． x1=1，x2=﹣1 B． x1=x2=1 C． x1=x2=﹣1 D． 无解
解：根据题意得m2+1=2
∴m=±1
又m=﹣1不符合题意
∴m=1
把m=1代入原方程得2x2+4x+2=0
解得x1=x2=﹣1．
故选C．
3．B
A．① B．② C．③ D．④
解：①未知数的最高次数是1，故本选项错误；
②符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
③方程含有两个未知数，故本选项错误；
④不是整式方程，故本选项错误；
故选B．
4．D
解：由定义直接可得出二次项系数，一次项系数，常数项分别为1，﹣4，﹣ ．
故选：D
5．C
A． a≠﹣1 B． a≠2 C． a≠﹣1且a≠2 D． a≠﹣1或a≠2
解：根据题意，得a2﹣a﹣2≠0，即（a+1）（a﹣2）≠0，
解得，a≠﹣1且a≠2．
故选C．
二、综合训练
6．解：mx2+3x=x2+4，
mx2﹣x2+3x﹣4=0，
（m﹣1）x2+3x﹣4=0，
∵关于x的方程mx2+3x=x2+4是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，∴m≠1，
故答案为：m≠1．
7．解：由一元二次方程根的定义，得，∵，∴，即，因此应补充，故选③。
8．解：∵此方程是一元二次方程，
∴ ，
解得a=﹣1．
故答案为：﹣1．
9．解：根据题意，知
，
解得，k=﹣2．
故答案为：﹣2．
10． 解：由原方程可知，∴原方程可变形如下 ，由方程根的定义，21世纪教育网版权所有
将a、b分别代入得 ， ，因此.
11．解：根据题意，得
|m|﹣2=2，且m+4≠0，
解得，m=4；
故答案是：4．
12．解：答案不惟一，例如：依据－1＜ x ＜1，取另一个根为0，则有一元二次方程为，即；依据－1＜ x ＜1，取另一个根为2，则有一元二次方程为，即． 21教育网
三、拓展应用
13．解：（1）解：若方程是一元二次方程，则m2+1=2，
∴m=±1．
显然m=﹣1时m+1=0
故m=1符合题意．
当m=1时，原方程可化简为2x2﹣2x﹣1=0，
即：（x﹣1）（2x+1）=0，
∴x1=，x2=．
因此m=1，方程的两根为x1=，x2=．
（2）当m+1=0时，解得：m=﹣1，
此时方程为﹣4x﹣1=0．
当m2+1=1时，解得m=0，
此时方程为﹣2x﹣1=0，
∴当m=﹣1或m=0时，方程为一元一次方程．
14．解：∵x2a+b﹣2xa+b+3=0是关于x的一元二次方程，
∴①，解得；
②，解得；
③，解得；
④，解得；
⑤，解得．
综上所述，，，，．
15.【答案】设小正方形边长为x,则大正方形边长为3x+1.根据“两正方形面积和为53” 可列方程为(3x+1)2+x2=53,化简得10x2+6x-52=0.21·cn·jy·com
(2)2014年某超市销售一种品牌童装,平均每天可售出30件,每件盈利40元.面对下半年市场竞争激烈,超市采用降价措施,每件童装每降价2元,平均每天就多售出6件.要使平均每天销售童装利润为1 000元,那么每件童装应降价多少元 www.21-cn-jy.com
【答案】设每件童装降价x元,则每天多售出3x件.
降价后每天销售件数为(30+3x),则每件利润为(40-x)元.
根据题意可列方程为(30+3x)(40-x)=1000,化简得3x2-90x-200=0.
16. 已知:方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,求a的值.
【答案】∵方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,∴解得故a=9.
注意:二次项系数不为0是一元二次方程的前提条件,本题容易忽视a≠-9这一个条件,而导致错误.
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认识一元二次方程
【义务教育教科书北师版九年级上册】
学校：________
教师：________
导入新课
5x-15=0
这是一个什么样的方程？
只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程.
导入新课
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2 ，则花边有多宽？
挑战自我
解：如果设花边的宽为xm ，那么地毯中央长方形图案的长为 m，宽为 m，根据题意，可得方程：
你能化简这个方程吗？
（8－2x）
（5－2x）
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18.
做一做
2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
你能行吗
观察下面等式： 10２＋11２＋12２＝13２＋14２
你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： ， ， ， ．
想一想
你能化简这个方程吗？
x＋1
x＋2
x＋3
x＋4
根据题意，可得方程：
(x＋1)2
(x＋ 2)2
＋
(x＋3)2
(x＋4)2
＝
＋
x2
＋
x2 － 8x － 20＝0.
生活中的数学
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m.
如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙 m；根据题意，可得方程：
你能化简这个方程吗？
做一做
6
x＋6
72＋(x＋6)2＝102
xm
8m
10m
7m
6m
10m
1m
x2 ＋12 x －15 ＝0.
一元二次方程的概念
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
x2 － 8x － 20＝0.
x2 ＋12 x －15 ＝0.
上述三个方程有什么共同特点？
新课讲解
(1)方程类型:方程两边都是整式方程。
(2)方程中未知数个数:只含有一个未知数（一元）。
(3)方程中未知数最高指数：2（二次）。
上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为 的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
一元二次方程的概念
(1) 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
(2) x2 － 8x － 20＝0.
(3) x2 ＋12 x －15 ＝0.
ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数， a≠０)
新课讲解
ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数， a≠０)
新课讲解
二次项
二次项系数a≠０
一次项
一次项系数
常数项
把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数，a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．
下列方程中是一元二次方程的是 ( )
探究理解
议一议
D,F
探究理解
把下列写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：
二次项系数、一次项系数及常数项分别为：5、﹣4、﹣1.
二次项系数、一次项系数及常数项分别为：4、0、﹣ 81.
探究理解
二次项系数、一次项系数及常数项分别为：4、8、﹣25.
新课讲解
二次项系数、一次项系数及常数项分别为： 、﹣7、4.
1.根据题意列出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长.
答：根据题意，设：直角三角形的三边长分别为：x，x+1，x+2，又因为： x< x+2，所以：
化得：
求得：
又由题意可知x大于0，所以它的
三边长分别为：3、4、5.
课堂练习1
2.把方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
答：化成一元二次方程的一般形式为：
二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为﹣32
课堂练习1
在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？
1.一元二次方程的概念.
一元二次方程的定义要求的三个条件.要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围.
2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念.
课堂小结
1.当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么 当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程
当a≠1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b；当a=1，b≠0时是一元一次方程.
课堂拓展
一元一次方程 一元二次方程
一般式
相同点
不同点
2.一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
课堂拓展
达标测评
1.食堂存煤mt，计划每天用煤nt，实际每天节约用煤2t，则节约后多用的天数是（ ）
A． B． C. D．
2．电影院第一排有m个座位，后面一排都比前一排多1个座位．第n排有（ ）个座位．
A．m+n B．m+n+1 C．m+n-1 D．mn
3．若某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数可表示为 .
B
C
100c+10b+a
4、把方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
5、请写出一个一次项系数与常数项互为相反数的一元二次方程________
6、关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程吗？
达标测评
x2-x+1=0, (答案不唯一)
二次项系数为1、一次项系数为1和常数项为12。
不一定。当a=0不是。
8、关于x的方程3x2+6+x=mx2是一元二次方程的条件是什么？是一元一次方程的条件呢
7、关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0，当k ___时，是一元二次方程。
9、关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0，当k 时，是一元二次方程，当k 时，是一元一次方程。
≠3
≠±1
＝－1
达标测评
m=0或m ≠3是方程是一元二次方程；m=3是方程是一元一次方程。
教材32页习题第1、2题。
布置作业
