2025-2026学年安徽合肥一中高三下学期数学3月质检试卷（含答案）

合肥一中滨湖校区高三年级3月质量检测 数 学
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分.每小题给出的四个选项中, 只有一 个选项是正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知复数 ，则 ()
A. 2 B. -2 C. D.
2. 的解集为( )
A. B.
C. D.
3. 记等差数列 的前 项和为 ,且 ,则 ( )
A. B. C. -1 D. -2
4. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点，作 于点 ，若 为等边三角形，则 点的横坐标为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知钝角三角形 中,角 的对边分别为 ,若 ,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 是定义在 上的偶函数， 关于 中心对称，则下列说法正确的是( )
A. 的一个周期为 6
B.
C.
D.
7. 已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8. 已知 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列有关说法正确的是( )
A. 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
B. 若随机变量 ,则
C. 直线 的一个方向向量为
D. 双曲线 的离心率为
第 10 题
10. 如图,在直三棱柱 中， ，点 、 、 、 分别是 的中点，则( )
A. 四点共面
B. 线段 为直三棱柱 外接球的直径
C. 三棱锥 的体积为
D. 直线 与 所成角余弦值为
11. 若 ,则下列说法正确的是 ( )
A. 的最小正周期是
B. 的对称轴方程为
C. 存在实数 ,使得对任意的 ,都存在 且 ,满足
D. 若函数 ( 是实常数),有奇数个零点 , 则
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分.
12. 曲线 在点 处的切线方程为_____.
13. 已知 ,若存在 使得 ,则 的最大值为_____.
14. 已知实数 满足 且 ，则 的最大值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为 ,当语音输入的问题表达不清晰时,智能语音客服的回答被采纳的概率为 . 已知语音输入的问题表达清晰的概率为 ，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响.
(1)求智能语音客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了 4 个问题，设 表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求 的分布列、数学期望和方差.
16.(15分)
记数列 的前 项和为 ，已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，若 ， ，求 的取值范围.
17. (15 分)
如图,三棱台 中, 平面 分别是棱 的中点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)已知三棱台 的体积大于 2，且直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，求平面 与平面 所成角的余弦值.
18. (17分)
在平面直角坐标系 中,已知点 ,点 满足 . 记 的轨迹为曲线 C.
(1)求曲线 的方程;
(2)设曲线 的左顶点为 ,动直线 与曲线 交于 两点.
(i) 设直线 的斜率分别为 ,且满足 ,证明直线 恒过定点;
(ii) 若直线 经过点 ,且 关于原点对称,是否存在直线 ,使得四边形 的面积为 若存在,求出直线 的条数; 若不存在,请说明理由.
19. (17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2) ， 成立，求实数 的取值范围；
(3)若 时， 与 的图象有三个交点，横坐标分别为 ,求证: .
选择题:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D C C C B D C ABC BCD AD
14、15
填空题:
12、3x-2y-5=0 13、39
详解:
8. 已知 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】C
,
设 ,则 ,
当 时, 在 上单调递增,
,即 ,
,又 ,
设 ,
则 ,
令 ,
则 ,
在 上单调递减,
当 时, ,
在 上单调递减, ,
故选: C.
11. 若 ，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期是
B. 的对称轴方程为
C. 存在实数 ,使得对任意的 ,都存在 且 ,满足
D. 若函数 ( 是实常数),有奇数个零点 , 则
【答案】AD
由题设 ,
所以 ,故 ,
由 的最小正周期为 ,则 的最小正周期为 ,
同理 的最小正周期为 ,则 的最小正周期为 , A 正确;
对于 ,令 ,则对称轴方程为 且 错误;
对任意 有 且 满足 且 ,而 的 图象如下:
所以 ,则 ,
所以 或 ,无解,即不存在这样的 错误;
由 可转化为 与 交点横坐标,而 上 图象如下:
函数有奇数个零点,由图知: ,此时共有 9 个零点,
, ,
所以 , D 正确.
故选: AD
14. 已知实数 满足 且 ，则 的最大值是_____. 【答案】
由 乘以 ,得 ,解得 . 令 ,即 .
所以 ,
当且仅当 ,即 时,等号成立,
故 的最大值是 .
15. (13 分)
某公司研发了一种智能语音客服系统，在测试时，当语音输入的问题表达清晰时，智能语音客服的回答被采纳的概率为 ,当语音输入的问题表达不清晰时,智能语音客服的回答被采纳的概率为 . 已知语音输入的问题表达清晰的概率为 ，且智能语音客服每次回答是否被采纳相互没有影响.
(1)求智能语音客服的回答被采纳的概率；
(2)在某次测试中输入了 4 个问题，设 表示智能语音客服的回答被采纳的次数，求 的分布列、数学期望和方差.
解:(1)设 表示事件“智能语音客服的回答被采纳”； 表示事件“语音输入的问题表达清晰”,
由题意可知, , 3 分
所以 ,
即智能语音客服的回答被采纳的概率为 . 6 分
(2)依题意得， 的所有可能取值为0,1,2,3,4，且 . 7 分所以 ,
9 分
所以 的分布列为 11 分
0 1 2 3 4
256 27 128 27 64 81 256
13 分
16. (15 分)
记数列 的前 项和为 ,已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，若 ， ，求 的取值范围.
解: (1) 因为 ,所以 , 2 分当 时, ,
所以 ,即 , 4 分
则 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,
所以 的通项公式为 . 7 分
(2)易知 , 9 分
所以 , 11 分
因为 ,
13 分
所以 的取值范围为 . 15 分
17. (15 分)
如图，三棱台 中， 平面 分别是棱 的中点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)已知三棱台 的体积大于 2，且直线 与平面 所成的角的正弦值为 ， 求平面 与平面 所成角的余弦值.
解: (1) 证明: 因为 平面 平面
所以 ,又因为 ,都在平面 内,
所以 平面 ,又因为 平面
所以平面 平面 7 分
(2)解:在三棱台 中， 分别是棱 的中点， 所以 且相等， 且相等，
所以 四点共面 9 分
由(1)知 平面 平面 ，
在平面 内,
得:
所以 为平面 与平面 所成角, 11 分
设 ,点 到平面 的距离为
由 可得:
所以
所以 或
又因为
所以 ，所以 13 分
所以在 中, 所以平面 与平面 所成角的余弦值为 . 15 分
(备注:本题用建系法也可以解决，可参照上述标准适当给分)
18. (17 分)
在平面直角坐标系 中,已知点 ,点 满足 . 记 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)设曲线 的左顶点为 ,动直线 与曲线 交于 两点.
(i) 设直线 的斜率分别为 ,且满足 ,证明直线 恒过定点;
(ii) 若直线 经过点 ，且 ， 关于原点对称，是否存在直线 ，使得四边形 的面积为 若存在,求出直线 的条数; 若不存在,请说明理由.
解: (1) 因为 >> ,
由椭圆的定义可知 的轨迹 是 为焦点的椭圆, 2 分
设 的方程为 ,根据题意 ,
解得 ,
的方程为 4 分
(2)如图，(i) 由 ，设直线 ，
直线 的斜率分别为 ,且足 ,
联立 ,得 .
7 分
,即
. 化简可得: ,
解得: ,则直线 过定点 . 10 分
(ii) 满足题意的直线条数有三条,证明如下: 由题意可知直线 的斜率不为 0,
设 ,联立 ,
可得 ① 12 分
因为四边形 的面积为 ,
所以 ,故 ,
代入①可得 或
代入②式可得 或
14 分
当
所以 ,即 或 ,
令 ,则 ,令 ,因为 恒成立,
所以 ,即 在 单调递增,因为 ,由零点存在性定理可知: 所以 在 上有唯一零点.
当 ,发现把 式中代入 即可,故此时 . 综上所述，满足题意的直线 有三条. 17 分
19. (17 分)
已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2) ， 成立，求实数 的取值范围；
(3)若 时， 与 的图象有三个交点，横坐标分别为 ， ， ,求证: .
(1)解:当 时,可得 ,可得 ,
令 ,可得 ,
当 时, ,可得 ,
即 单调递减; 2 分
当 时, ,所以 单调递增,
则 ,即 单调递增,
所以函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 . 4 分
(2)解:令 ，
可得 ,令 ,
则 ,
当 时, ,故 ,
当 时, ,故 ,
所以当 时,可得 单调递增,
即 单调递增, , 6 分
当 时, ,则 在 上单调递增,
所以 ,所以 成立,满足题意;
当 时,存在 ,使得 ,
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
当 时, ,不满足题意,
综上可得,实数 的取值范围为 . 9 分
(3)解:当 时， ，可得 ，
设 ,可得 ,
设 ,可得 ,
设 ,可得 ,
当 时, ,可得 ,
则 在 上单调递增, 11 分
因为 ,
所以存在唯一 ,使得 ,
可得 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以存在唯一的 ,使得 ,
且 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
由 ,
又由
因为 ,可得 ,
可得 ,所以 ,
则存在唯一 ,使得 ,
且 在 上单调递增,在 上单调递减, 13 分
当 时, ,则 在 上单调递增,
则 ,则存在唯一 ,使得 ,
当 时, ,当 时, ,
当 时, ,可得 ,
在 上单调递增, ,
综上可得,函数 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增, 要使得 与 的图像有三个交点,
则 , 15 分
,则 ,
又因为 ,则 ,则 ,
所以 ,得证. 17 分