2025-2026学年下学期安徽省示范高中皖北协作区2高三数学3月联考试卷（含答案）

2026 年安徽省示范高中皖北协作区第 28 届联考 数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 若复数 满足 ，则 的虚部为
A. 1 B. i C. -1 D.
2. 在平行四边形 中, ,则
A. 1 B. 4 C. 6 D. 11
3. 已知集合 ,若 ,且 ,则 的取值范围是
A. B. C. D.
1. 从1,2,3,4,5,6这 6 个数中随机选取 3 个不同的数,则这 3 个数的中位数为 4 的概率为
A. B. C. D.
5. 龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔. 某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度,开展了一次实地测量的活动. 他们在塔底 所在的水平地面上选取 两点,测得 米, ,在点 处测得塔顶 的仰角为 ，则龙辰塔的高度 约为
A. 48 米B. 50 米 C. 52 米D. 54 米
6. 若 是抛物线 上的动点,点 ,则 的最小值为
A. B. 5 C. 7 D.
7. 已知某圆台的上、下底面的半径分别为 4 和 2，且该圆台有内切球(球与圆台的侧面及两个底面均相切),在圆台上底面圆 的圆周上取一点 ,在圆台下底面圆 的圆周上取一点 ，且 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为
A. B.
C. D.
8. 已知函数 ,若函数 恰有 3 个零点,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ,则
A. 的图象都关于点 对称
B. 的图象都关于直线 对称
C. 将 的图象向左平移 个单位长度,得到函数 的图象
D. 将 图象上每个点的横坐标变为原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 的图象
10. 已知圆 经过双曲线 的两个焦点 ，且 为双曲线 上异于顶点的任意一点,点 ,则
A. 点 在双曲线 上
B. 当 在圆 上时, 的面积为 8
C. 点 到双曲线 的两条渐近线的距离之积为 3
D. 双曲线 上存在定点 ,使得直线 和 的斜率之积为定值
11. 若 ,且 ,则
A. 当 时， B.
C. 当 取得最大值时, D. 当 取得最小值时,
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 若某正三棱柱的表面积是侧面积的两倍, 且底面的边长为 2 , 则该正三棱柱的体积为_____▲_____.
13. 已知函数 的值域为 ，则 的取值范围是_____▲_____.
14. 将一个正 边形顶点分别与其中心相连接,把这个多边形分成 个不同的三角形区域,现给这些区域涂色. 相邻区域涂不同颜色. 若有 3 种颜色可供选择, 记所有不同涂色方案的种数为 . 则 _____▲_____， _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
某市高三学生学习强度指数 的概率分布情况如下表所示.
学习强度指数 20
概率 0.2 0.5 0.3
应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对
(1)从该市随机选取 3 名高三的学生，记学习强度指数 的人数为 ,求 及 的数学期望.
(2)定义 为在事件 发生的条件下事件 发生的相对风险比. 记事件 “该学生学习有压力” (勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力, 轻松应对被认为是学习无压力),事件 “该学生困难应对”,求在事件 发生的条件下事件 发生的相对风险比.
16. (15 分)
已知椭圆 的短轴长为 4,离心率为 .
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于 两点，且 ，求 的取值范围.
17. (15 分)
已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若不等式 恒成立，求 的取值范围；
(3)证明:函数 的最小值小于函数 的最小值.
18.(17分)
在 中, ,点 分别在边 上,且 , 将 沿 折起,点 落在点 的位置,连接 ,得到如图所示的四棱锥 ，点 在线段 上，且 .
(1)证明:DF//平面 .
(2)设 .
(i)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(ii)设直线 与平面 相交于点 ,求 的值.
19.(17分)
在数列 中, ,若存在自然数 ,使得对于任意正整数 ,数列 是以 为公差的等差数列,则称 为 “ 组差数列”.
(1)若 ，判断 是不是 1-2 组差数列”,并说明理由.
(2)若 是“5-18 组差数列”,且 为定值，证明: .
(3)记 的前 项和为 ，且 为 “ 组差数列”，证明:存在常数 ，使得 恒成立.
2026 年安徽省示范高中皖北协作区第 28 届联考 数学参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 A C C B C B D A AC ABD BCD 1 [-7,0) 18;4086
15.解:(1) ， 1 分
由题可知 , 3 分
则 , 6 分
. 8 分
(2)由题知 ， ， 10 分
所以 ,即在事件 发生的条件下事件 发生的相
对风险比为 0.6 . 13 分
16.解:(1)由题知 2 分
解得 , 4 分
所以椭圆 的方程为 . 5 分
(2)将 代入 ，整理得 ， 7 分
则 ,得 . 8 分
设 ,则 , 10 分
所以 , 13 分
解得 ,又 ,所以 的取值范围为 . 15 分
17.(1)解:因为 , 1 分
所以 , 2 分
当 时, , 3 分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,即 . 4 分
(2)解: 的定义域为 ， 5 分
令 ,得 单调递减, 6 分
令 ,得 单调递增, 7 分
所以 . 8 分
因为不等式 恒成立,所以 , 9 分
解得 ,即 的取值范围为 . 10 分
(3)证明:设 ，则 ，当 时， . 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 11 分
所以 ,由 (2) 知, 的最小值为 . 12 分
因为 , 13 分
所以 的最小值为 , 14 分
由 (2) 知, ,故 的最小值小于 的最小值. 15 分
18.
(1)证明:如图1，在线段 上取点 ，使得 ，连接 . 1 分因为 ,所以 ,且 ,
图 1
又 ,且 ,所以 且 , 2 分所以四边形 为平行四边形,所以 , 3 分
因为 平面 平面 ,所以 平面 . 4 分
图 2
(2)解:(i)因为 ， ， ，所以 ，
所以 ,则 . 5 分
因为 ,所以 平面 .
又 ,所以 平面 . 6 分
以 为坐标原点,建立如图 2 所示的空间直角坐标系,
则 ,
7 分
则 . 8 分
设平面 的法向量为 ,
则 9 分
令 ,可得 . 10 分
设平面 的法向量为 ,
则 11 分
令 ,可得 . 12 分
所以 , 13 分
故平面 与平面 夹角的余弦值为 . 14 分
图 3
(ii)延长 交直线 于 ,连接 ,则 ,如图 3 所示. 15 分
因为 ,且 ,所以 ,
又 ,所以 ,且 , 16 分
所以 . 17 分
19.(1)解: 是 “1-2 组差数列”. 1 分
理由如下: 由 可知 .
当 时， ，则数列 以 2 为公差的等差数列，且 2 >0，故 是“1-2 组差数列”. 3 分
(2)证明:因为 是“5-18 组差数列”,所以数列 是以 18 为公差的等差数列,则 . 4 分因为 为定值,所以可设 ,则 , 5 分
所以 ,即 ,所以 是等差数列, 6 分
因为 ,所以 的公差为 ,又 ,所以 . 7 分设 ,则 ,
所以 , 8 分
则 , 9 分
所以 . 10 分
(3)证明:因为 为“ 组差数列”,所以 ,即 ,令 ,则 . 11 分
对任意正整数 ,均存在非负整数 和整数 ,使得 ,此时 qd. 12 分
设 这 项中的最小值为 ,因为 ,所以 ,从而 14 分
则 . 16 分
令 ,由 对于任意实数 恒成立,得 ,命题得证. 17 分