2025-2026学年下学期安徽芜湖一中高三数学3月月考试卷（含答案）

3 月数学
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. 若集合 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知 ,若点 满足 ,则点 的坐标为( )
A. B. C. D. (5.5)
3. 若 ，则 的最大值是( )
A. B. C. D.
4. 箕舌线是平面曲线的一种,因其状如舌而得名. 若箕舌线 的部分图象如图所示,则 的解析式可能为( )
A. B. C. D.
5. 已知 ,若向量 与向量 互相垂直, 则 ( )
A. B. C. 5 D.
6. 已知函数 若函数 恰有 2 个零点,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知球与圆台的上下底面和侧面都相切. 若圆台的侧面积为 ；上、下底面的面积之比为 1:9, 则球的表面积为 ( ).
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 和圆 分别为椭圆 和圆 上的动点,若 为椭圆 的左焦点,则 的最小值为( )
A. 6 B. 5 C. 9 D. 8
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 . 则下列结论正确的是( )
A. B. 函数 在 上单调递减
C. 函数 有极大值 D. 函数 在 上的最小值为
10. 已知定义在 上的函数 ,当 时, ,且 , ,则下列说法正确的是 ( )
A. B. 若 ,则
C. 若 ，则 在 上恰有 5 个零点
D. 若 在区间 有最大值，则
11. 已知数列 ，其前 项和为 ，数列 ，其前 项和为 ，则下列说法正确的是( )
A. 若 为等差数列,则数列 也是等差数列
B. 若 ，则数列 为等比数列
C. 若 ，则 时 取到最小值
D. 若 为等比数列,且 ,则
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 在 中,内角 的对边分别为 ,若 的平分线 交 于点 ,且 ，则 _____.
13. 在公比不为 1 的等比数列 中,若 ,且有 成立, 则 _____.
14. 一个正八面体, 八个面分别标以数字 1 到 8 , 任意抛掷一次这个正八面体, 观察它与地面接触的面上的数字. 事件 ,事件 ,若事件 满足
,则满足条件的事件 的个数
为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)记 的内角 、 、 的对边分别为 ，已知 .
(1)求A；
(2)若 ，求 的面积.
16. (15 分)体育是培养学生高尚人格的重要途径之一. 足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了 100 名学生作为样本，统计得到如下的列联表:
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 a
女生 b 25
合计 100
已知从这 100 名学生样本中随机抽取 1 个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为 .
(1)求 ；
(2)根据小概率值 的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取 30 名，记其中男生的人数为 ,求使事件 “ ” 概率最大的 的值.
附: ,
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
17. (15 分) 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧面 是边长为 2 的正三角形,平面 平面 , 为侧棱 的中点, 为 的中点, 为线段 上一点.
(1)若点 为线段 的中点，求证:直线 平面 ；
(2)若 ，且点 到平面 的距离为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
18.(17分)已知函数 .
(1)设过点 且与曲线 过此点的切线垂直的直线叫做曲线 在点 处的法线. 若曲线 在点 处的法线与直线 平行,求实数 的值; (2)当 时，若对任意 ，不等式 恒成立，求 的最小值； (3)若 存在两个不同的极值点 ，且 ，求实数 取值范围.
19.(17 分)在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，动点 满足 ，
记点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率不为 0 的直线 与 相交于两点 ， ( 在 的左侧). 设直线 ， 的斜率分别为 .
① 求证: 为定值；
②设直线 相交于点 ,求证: 为定值.
数学学科参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. B。 ,所以 。
2. A。设点 ,则 ,又 ,所以 ,所以点 的坐标为 。
3. B。由 可得 ,所以 且 , 故 ,当且仅当 时取到等号。
4. B。 ,排除 既不是奇函数,也不是偶函数,排除 . 在 上单调递减,排除C. 的图象符合题中图象, B 正确。
5. C。因为 ,显然 均不为 0,
所以 ,即 ,所以 ,
所以 ,因为向量 与向量 互相垂直,所以 ,则 ,又 ,解得 。
6. B。易知当 时,函数 单调递增,且 ; 当 时,函数 ,易知 ,显然当 时, 恒成立,即 在 上单调递增;
当 时, ; 当 时, ,此时函数 的图象大致如下图所示:
若函数 恰有 2 个零点，即函数 的图象与 有两个交点，由上图可知 ;
当 时,根据对勾函数性质可知 ,当且仅当 时,等号成立; 此时其图象大致如下图:
显然函数 的图象与 没有交点，不合题意；综上可知，实数 的取值范围是 。
7. A。依据题意，球内切与圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形 ,如图所示,
过 点作 的垂线,垂足为 ,设球的半径为 ,则 ,设圆台的母线为 ,即 , 上、下底面的面积之比为1:9,即 ,由圆的切线长定理可知,
,圆台的侧面积为 ,解得 ,则
,即 ,则球的表面积 。
8. A。易知椭圆 中 ,即可得 ,又圆 的圆心为 , 半径 ,易知椭圆右焦点 ,显然 在圆 上,如下图:
易知椭圆上一点 到圆 上任意一点 的最小距离为 ，因此可将 的最小值转化为求 的最小值,由椭圆定义可得
; 此时点 在 处,使得 的最小值为 6 。
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. BC。由题意可得 ,因 ,则 ,故 A 不正确; 由 得 或 ,由 得 ,则 在 和 上单调递增,在 上单调递减,则 在 处取得极大值 ，故 正确， 正确， ，则函数 在 上的最小值为 ,故 不正确。
10. ACD。对于 ,由题意可知: 当 时,有 ,故 正确; 对于 ,当 时,有 ,又因为 ,所以有 ,故 B 错误; 对于 ,当 时, , 当 时,由于 , ,所以 作出分段函数 和函数 的图象如下:
由于 ,直线 经过点 ,而函数 不经过点 ,则由图象可得,它们只有 5 个交点,即 在 上恰有 5 个零点,故 正确; 对于 ,根据当 时,由于 要满足对 在区间 有
最大值,则只需要 在 上存大最大值,即满足 或 ,解得 或 ,综上可得: ,故 正确。
11. AC。因为 为等差数列,所以前 项和 , 所以 ,所以 , 所以数列 是等差数列,故 正确; 因为 ,若 ,则所有项都为 0,所以数列 不是等比数列,故 错误; 因为 ,所以 ,所以 为等差数列,首项为 -13,公差为 3,所以 ,此二次函数开口向上,对称轴为 ,因为 ,所以当 时, 取到最小值,故 正确; 因为 为等比数列,且 ,故公比 不为 1,所以 ,所以 ,所以 ,故 错误。
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 。由面积相等,可得 , 即 ,化简得 ,又 . 由余弦定理可得 .
13.10 或 4049。设等比数列 的公比为 ,且 ,由 ,则 ,故 , 又 ,即 ,又 , , 化简整理得 ,即 ,解得 或 ,均满足 .
14.8 。 事件 ,事件 ,故 ,又 ,故 ,即 ,因为 ,所以 ,故 ,即 ,又 ,故 ,所以 ,即 ,所以 ,故 , 其中 ,则 或2,若 ,则 ,又 , 故 ,故 ,若 ,可令 或 或 或 ; 若 ,可令 或 或 或 ,事件 ,事件 若 ,则 ,此时 ,此时 ,故 ,不合要求,舍去,综上,满足条件的事件 的个数为 8 。
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分) (1)
(1)因为 ，则 即为 ，整理可得 ， 由余弦定理可得 ，且 ，所以 .
(2)由正弦定理可得 ，则 ， 可得 ,即 ,由 (1) 可得 ,则 , 即 ,可得 ,所以 的面积 .
16.(15 分)(1) (2)没有 的把握认为喜爱足球运动与性别有关(3)
(1)因为从这 100 名学生样本中随机抽取 1 个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为 ， 所以 ;
(2)零假设 : 喜爱足球运动与性别无关. 作出列联表如下:
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男生 40 15 55
女生 20 25 45
合计 60 40 100
由题 ,根据小概率值 的独立性检验,我们推断 成立, 也就是说没有99%的把握认为喜爱足球运动与性别有关.
(3)现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取 1 名学生，该学生是男生的概率是 ，
从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取 30 名时,记其中男生的人数为 ,则 ,
所以 ,
令 ,解得 ,
故使事件“ ”概率最大的 的值为 20 .
17. (15 分) (1)证明见解析 (2)
(1)
如图，取 的中点 ，连接 ，因点 为线段 的中点，故 ， 因底面 为矩形， 为 的中点，则 ，
故有 ，即得 ，则 ，
因 平面 平面 ，故有直线 平面 ；
(2)
如图，因平面 平面 ，平面 平面 ，
为等边三角形,且 为 的中点,则 ,故 平面 ,
取 中点 ,连接 ,则 ,故可以 分别为 轴建立空间直角坐标系 . 设 ,则 ,因 为侧棱 的中点,则 ,于是, ,设平面 的法向量为 ,则 ,故可取 ,又 ,则点 到平面 的距离为 ,解得 . 因 ,则 ,因 ,
设平面 的法向量为 ,则 ,故可取 , 设直线 与平面 所成角为 ,则 .
(3)
(1)由 得: ，则 ，又由直线 的斜率为 ,根据题意可知: ;
(2)当 时，不等式可化为 ， 变形为 同构函数 ,求导得 ,所以 在 上是增函数,而原不等式可化为 ,根据单调性可得: 再构造 ,则 当 时, ,则 在 上单调递增, 当 时, ,则 在 上单调递减, 所以 ,即满足不等式成立的 ,所以 的最小值为 ;
(3)因为 存在两个不同的极值点 ，所以由 可得: ,因为 ,而 的对称轴是 ,所以可得 ,根据对称性可得另一个零点 ,此时有 ,
故 ，又由 可得 ，
而
令 ,
则 ,
,即 ,则 ,
即 在区间 上单调递减,
所以有 ,即 ,所以实数 取值范围 .
19.(17分)(1) (2)①证明见解析；②证明见解析
(1)由 ， ，
所以点 在以 为焦点,4为长轴长的椭圆上,设椭圆方程为 ，焦距为 ,则 ,所以 ,所以 的方程为 .
(2)①由 ，直线 的斜率存在且不为0 . 设直线 的方程为 ， ， ,联立 ,得 ,则 , ,所以 . 又 ,所以 , 所以 .
2) 由 ① 知 ,所以 . 作 关于 轴的对称点 ,则 三点共线.
,设 . 则直线 方程即为直线 方程 . 又直线 方程为 ,作差,得 ,所以 ,所以 ,由 ,得 . 又因为 ,所以 ,即 ,即 , 所以点 在以 为焦点,1为实轴长的双曲线的左支 (椭圆内部) 上运动,所以 .