河北保定2025-2026学年下学期高二数学3月月考试卷（含答案）

2024 级高二 3 月月考数学试题
姓名:_____ 班级:_____ 考号:_____
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的)
1. 若 ,则 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2. 设随机变量 的分布列为 ,则 的值为( )
A. B. C. D.
3. 的展开式中 项的系数为( )
A. 10 B. -10 C. -20 D. 20
4. 某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这5个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为( )
A. B. C. D.
5. 用 4 种不同的颜色给图中 6 个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有( )
A. 384 种 B. 168 种
C. 192 种 D. 108 种
6. 甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈, 成为春节假期旅游城市中的“顶流”. 甲、乙等 6 名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊 4 个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独 1 人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有( )
A. 96 种 B. 132 种 C. 168 种 D. 204 种
7. 一袋中装有编号分别为1,2,3,4的 4 个球,现从中随机取出 2 个球,用 表示取出球的最大编号，则 ( )
A. 2 B. 3
C. D.
8. 一袋中装有 4 个白球和 2 个红球, 现从袋中往外取球, 每次任取一个不放回, 取出后记下颜色, 若为红色停止,若为白色则继续抽取,停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量 ,则 ( )
A. B. C. D.
二、选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 部分选对的得部分分)
9. 已知 ，且第 5 项与第 8 项的二项式系数相等，则( )
A. B. 展开式的二项式系数和为
C. 展开式的各项系数和为 D.
10. 已知随机变量 的分布列如下，则( )
- 1 0 1 2
1 3
A. B.
C. D.
11. 甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由 三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序 的概率分别为0.5,0.3,0.2，当他负责工序 时，该项目达标的概率分别为0.6,0.8,0.7,则下列结论正确的是( )
A. 该项目达标的概率为 0.68
B. 若甲不负责工序 ,则该项目达标的概率为 0.54
C. 若该项目达标，则甲负责工序 的概率为
D. 若该项目未达标，则甲负责工序 的概率为
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知 的展开式中二项式系数和为 32，则展开式中的常数项为_____.
13. 我校举行英语演讲比赛，参加决赛的甲、乙、丙等七人分别上台演讲，其中甲、乙演讲的顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个演讲，则不同的安排方法共有_____. 种
14. 盒子中有 4 个红球, 6 个白球, 从盒中每次取 1 个球, 取出后将原球放回, 再加入 2 个同色球, 所有的球除颜色外其它均相同，则第 2 次取到红球的概率为_____；在第 2 次取到红球的前提下， 第 3 次取到白球的概率为_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13 分) 已知 的二项展开式有 7 项.
(1)求 ，并求出所有二项式系数之和；
(2)求展开式中含 项的系数；
(3)求展开式中的有理项.
16.(15分)某次文艺晚会上计划演出 7 个节目，其中 2 个歌曲节目，3 个舞蹈节目，2 个小品节目, 需要制作节目单:
(1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？
(2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？
(3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目:一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》 和一个快板节目, 但是不能改变原来节目的相对顺序, 有多少种排法
17. (15 分)2024 年初，OpenAI 公司发布了新的文生视频大模型:“Sora”，Sora 模型可以生成最长 60 秒的高清视频. Sora 一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮. 为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营. 选拔考试分为“Python 编程语言” 和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束. “Python 编程语言”考试合格得 4 分, 否则得 0 分; “数据结构算法”考试合格得 6 分, 否则得 0 分. 已知甲同学参加“Python 编程语言”考试合格的概率为 0.8 ，参加“数据结构算法”考试合格的概率为 0.7 .
(1)若甲同学先进行“Python 编程语言”考试，记 为甲同学的累计得分，求 的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由.
18.(17 分)某超市为了吸引顾客，在“五一”期间进行有奖促销活动，规定凡在该超市购物满 300 元的顾客，均可获得一次摸奖机会. 摸奖规则如下:奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的 4 个球 (红、黄、白、黑). 顾客不放回地每次摸出 1 个球, 若摸到黑球, 则摸奖停止, 否则就继续摸球. 按规定:摸到红球奖励 20 元，摸到白球或黄球奖励 10 元，摸到黑球不奖励.
(1)如果 1 名顾客第 3 次摸到黑球，求该顾客第 1 次摸到红球的概率；
(2)记随机变量 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额，求 的分布列和数学期望.
19. (17 分) 设 .
(1)求 的展开式中系数最大的项；
(2) 时，化简 ；
(3)求证: .
2024 级高二 3 月月考数学答案
1. A 2. B 3. D 4. B 5. C 6. C 7. D 8.A
9.AD 10. AD 11ACD.
6.依题意其余4位主播有两种情况:①3位主播去一个景点，1位主播去另外一个景点；② 分别都是 2 位主播去一个景点; 所以不同游玩方法 (种).
8.令 表示前 个球为白球,第 个球为红球,
此时 ,
则 .
11.记甲负责工序 为事件 ，甲负责工序 为事件 ，甲负责工序 为事件 ，该项目达标为事件 . 对于选项 ,该项目达标的概率为
,故 A 正确； ,故 B 错误;
对于选项 ,所选项 正确;
对于选项 ,所以选项 正确
三、12.10 13. 960 14.
13.将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个演讲，则丙的位置有 4 个，将剩余 5 个元素再排序有 种方法,故不同的安排方法共有 种.
14.记事件 “第 次取到红球”,则 , ,所以 ,即第 2 次取到红球的概率为 ; ,所以 ,即在第 2 次取到红球的前提下,第 3 次取到白球的概率为 .
15.(1)因为 的二项展开式有 7 项,所以 ,所以所有二项式系数之和为 ;
(2)由(1)知 ，所以 的二项展开式的通项为 ， 令 ，解得 ，所以展开式中含 项的系数为 ；
(3)因为 的二项展开式的通项为 ，因为 ，且 ，所以能使 为整数的 ,所以展开式中的有理项分别为
16.(1)将 3 个舞蹈节目看成整体，优先排布，有 种排法. 再将剩下 4 个节目全排列， 有 种排法.最后,将舞蹈节目整体放入剩下 4 个节目排布时产生的不含两端的 3 个空中, 有 3 种排法，故共有 种排法;
(2)将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有 种排法. 再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中,有 种排法. 则共有 种排法.
(3)将新增两个节目放入 7 个节目排布产生的 8 个空中. 若两个节目放入同一个空，有 种排法,若两个节目不放入同一个空,有 种排法,故共有 种排法.
17.(1)由题意 的所有可能取值为0，4，10，所以 ，
0 4 10
0.2 0.24 0.56
所以 的分布列为:
(2)甲同学选择先回答“Python 编程语言”考试这类问题，理由如下:
由(1)可知 ，甲同学先进行“数据结构算法”考试，记 为甲同学的累计得分,则 的所有可能取值为 0,6,10, , ,所以 的分布列为: ,所以 , 所以甲同学选择先回答“Python 编程语言”考试这类问题.
Y 0 6 10
0.3 0.14 0.56
18.(1)设“第 3 次摸到黑球”为事件 ，“第 1 次摸到红球”为事件 ，可知 ,可知 .
(2) 的可能结果有0,10,20,30,40.
当 时,第一个就是黑球 ,
当 时,第一个是白球或者黄球,第二个是黑球 ,
当 时,前两个是白球和黄球,第三个是黑球,或者第一个是红球,第二个是黑球
当 时,第一个是白球或者黄球,第二个是红球,第三个是黑球,或者,第一个是红球,第二个是白球或者黄球,第三个是黑球 ,
当 时,前三个是白球和黄球和红球,第四个是黑球 ,
0 10 20 30 40
1 4 1 6 1 6 1 6 1 4
故 分布列为:
数学期望 .
19.解: (1) ,通项为: ,
故各项的系数即为二项式系数,故系数最大的项为 ;
(2)
;
(3)证明:令 ①，
则 ，
所以 ②,
①+②得: ， .