广东惠州一中2025-2026学年下学期高三数学3月阶段考试试卷（含答案）

惠州一中2026届高三(下)3月阶段考试 数 学
考试时长: 120 分钟 满分: 150 分
一、单选题(本大题共8小题，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. {1} C. D.
2. 已知复数 是实数，则 ( )
A. 0 B. -1 C. 2 D. -2
3.养鸡是农业养殖的一个重要组成部分，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速.如 图为某小型养鸡场2017-2023年每年养鸡数量(单位:百只)的统计图:
则该养鸡场这7年养鸡数量的第60百分位数是( )
A. 45 B. 60 C. 80 D. 85
4. 已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 函数 的部分图象大致为 ( ).
A.
6. 的展开式中的常数项是 ()
A. 352 B. -352 C. 1120 D. - 1120
7.传说国际象棋发明于古印度, 为了奖赏发明者, 古印度国王让发明者自己提出要求, 发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒, 规则为: 第一个格子放一粒, 第二个格子放两粒, 第三个格子放四粒, 第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为( )吨.
(1 吨麦子大约 粒麦子, )
A. 105 B. 107 C. 1012 D. 1015
8. 已知函数 ,若 ,则 的取值范围是( )
A. B. c. D.
二、多选题(本大题共3小题, 每小题6分, 共18分。在每小题给出的选项中, 有多项是符合题目要求的, 全部 选对得6分, 部分选对得部分分, 选错或不选得0分。)
9. 如图, 在三棱锥P-EDF 的平面展开图中, E, F分别是AB, BC 的中点, 正方形ABCD 的边长为2, 则在三棱锥 P-EDF 中( )
A. △PEF 的面积为 B. PD LEF
C. 平面PEF⊥平面DEF
D. 三棱锥P-EDF 的体积为
10. 如图，已知抛物线 的焦点为F，以D(p,0)为圆心，DF 为半径得到圆D，圆上有一点 (p, 1).过点F 的直线与E 交于P, Q两点，与圆D的另一个交点为M, 则()
A.
B. 当IPFI=2IFQI时，P的横坐标为
C. 当 时，
D.
11. 已知数列 满足 ,定得 ,并记该集合的元素个数为 ,则以下说法正确的是 () 义: 集合 ,使
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 存在数列 ,其中有一项 能使得 且
D. 若任取数列 的两项an, a 恰好是 中元素的概率大于 则 三、填空题(本大题 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知向量 ， ，且 ，则 _____.
13. 已知函数 满足: . 若函数 在区间 上单调,且 ,则 _____.
14. 已知四面体 中， ， _____. ，则动点P的轨迹截四面体A-BCD 所得截面的面积为_____.
四、解答题(本大题共5小题, 共77分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题 13 分) 在 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1)求A；
(2)若 ，求 的面积.
16. (本小题 15 分)如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面 是菱形， ，Q为 的中点，M 为棱 PC 上一点.
(1)当 时，求证:DM //平面 PQB；
17. (本小题 15 分) 已知双曲线 的右顶点为 . 请从条件①、②、③中选择两个条件作为已知,使得 存在且唯一.
条件①: 的离心率为 2; 条件②: 的渐近线方程为 ; 条件③: 的右焦点与点 的距离为 1 .
(1)求C的方程；
(2)若过点 的直线 的右支于点 ，且 的面积为3，求1的方程.
注: 如果选择的条件不符合要求, 第(1)问得0分; 如果选择多组符合要求的条件分别解答, 按第一组解答计分.
18. (本小题17分)由mn个小正方形构成的长方形网格有m行和n列，每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止.
(1)第一行中的n个小球颜色互不相同，其余行都由这n个小球以不同的顺序组成，如果要使任意两行的顺序都不相同,求 的最大值;
(2)长方形网格中只放白球或黑球，每个小正方形内放白球的概率为P，放黑球的概率为 .
( i ) 若 ,记在每列都有黑球的条件下,含白球的行数为随机变量 ,求 的分布列和数学期望;
()设事件 “不是每一列都有黑球”,求 ,并证明: .
19. (本小题 17 分) 已知函数 .
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2)设 .
( i ) 证明: ;
(ii) 证明: .
惠州一中2026届高三(下)3月阶段考试 数 学
考试时长:120分钟 满分:150分
一、单选题(本大题共8小题，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集 ，则 ( )
A. B. {1} C. {0} D.
【答案】B依题意， ，解得 ，即 ，而 ，所以 .
2. 已知复 是实数，则 ( )
A. 0 B. -1 C. 2 D. -2
【答案】B因为 是实数，所以 .
3.养鸡是农业养殖的一个重要组成部分，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速. 如图为某小型养鸡场2017—2023年每年养鸡数量(单位:百只)的统计图:
则该养鸡场这7年养鸡数量的第60百分位数是( )
A. 45 B. 60 C. 80 D. 85
【答案】C将样本数据从小到大排列为44, 45, 60, 60, 80, 85, 110.
因为 ,所以第 60 百分位数是第 5 个数,即 80 .
4. 已知 ,则 ( )
A. B. c. D.
【答案】 由 凭 ,解得 故 ,结合 ,故 由于 ,故 , 5. 函数 的部分图象大致为 ( ).
A.
【答案】 由 ,得 ,则 的定义域是 ,排除B;
由 ,得 ,
所以函数 是奇函数,排除(C: ,排除D. 6. 的展开式中的常数项是()
A. 352 B. - 352 C. 1120 D. - 1120
【答案】C法一:原式
,所以其常数项为 .
法二: 原式 , 由 ,得 ,所以常数项为 .
7. 传说国际象棋发明于古印度，为了奖赏发明者，古印度国王让发明者自己提出要求，发明者希望国王让人在他发明的国际象棋棋盘上放些麦粒, 规则为: 第一个格子放一粒, 第二个格子放两粒, 第三个格子放四粒, 第四个格子放八粒……依此规律，放满棋盘的64个格子所需小麦的总重量大约为( )吨.
(1吨麦子大约 粒麦子， )
A. 105 B. 107 C. 1012 D. 1015
【答案】C64个格子放满麦粒共需 ，1 吨麦子大约 粒，
,故选C。
8. 已知函数 ，若 ，则 的取值范围是( )
A. B. c. D.
【答案】D ,可以看作点_____与点 连线的斜率,点 在圆 上，点 在直线 上，结合图形分析可得，当过点 作圆 的切线,此时两条切线的斜率分别是 的最大值和最小值.圆心(-1,-1)与点 所在直线的夹角均为 ,两条切线的倾斜角分别为 ,故所求直线的斜率的范围为 .
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分。)
9. 如图，在三棱锥 P - EDF 的平面展开图中，E，F分别是AB，BC的中点，正方形ABCD的边长为2，则在三棱锥 P-EDF 中()
A. 的面积为 B. PD EF
C. 平面 平面 D. 三棱锥 的体积为
【答案】ABD
对于 ,易知 ,故 正确;
对于B，连接BD交EF于G，根据正方形的性质易知 ，
所以有 ,
又PG, GD平面PGD,所以EF⊥平面GPD,
PD 平面 GPD,所以EF⊥PD,故B正确;
对于C，由上可知 为平面PEF 与平面DEF 的夹角，
易知 ，则 PG，DG 不垂直，故 C 错误；
对于D，由题意可知PD，PE，PF两两垂直，
则 ，故D 正确. 故选:ABD
10. 如图，已知抛物线 的焦点为F，以D(p,0)为圆心，DF为半径得到圆D，圆上有一点 . 过点 的直线与 交于 两点，与圆 的另一个交点为 ，则( )
A.
B. 当 时，P 的横坐标为
C. 当 时，
D.
【答案】AC
抛物线 的焦点为 ,圆 方程为 , 对于 ,由点 在圆 上,得 ,而 ,则 , 正确;
抛物线 的焦点为 ,
设直线 方程为 ，由对称性不妨令点 在第一象限， 由 ,得 ,则 ,
对于 ，由 ，得 ，解得 ， ， 错误；
对于 ,由选项 得点 ,直线 斜率 ,即 ,
则 ，而 ，因此 ， 正确；
对于 , ,又 ，且圆 的弦 ， 因此 不一定小于 0，D 错误. 故选:
11. 已知数列 满足 ，定义:集合 ，使得 ， 并记该集合的元素个数为 ,则以下说法正确的是 ( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 存在数列 ，其中有一项 能使得 且
D. 若任取数列 的两项。a1, a3(i【答案】BCD
对于 ,则可能是集合 中的元素的有 ,因为 ,所以 ,因为 ,不存在 ,所以 ,同理,可得 , 故 ,故 错误. 对于 ,则可能是集合 中的元素的有 . 因为 只可能为2,4,6,故 ,从而 ,即: ,故 B 正确. 对于 ,
解法 1 取 ,则 ,即 且 ,故 C 正确.
解法 2 若 ,则存在 ap, a。使得 ,又 ,所以 ,两 式 相加 ,得 ,所 以
,即 ,所以只需一个递增数列中存在一项 ,则可使得 且 ,且这样的; 至多有一个. 比如数列 即可满足，故 正确. 对于 ,
由 知,使 同时属于 Mi 其中 的 至多只有 1 个,所以至少有 个 . 又因为 ,所以至少有 个 ,所以 恰好是 中的元素的概率 ,而 ,所以 ,即 . 因为 ,所以 ,
故 D 正确.
故选: BCD
三、填空题(本大题3小题，每小题5分，共15分)
12. 已知向量 ， ，且 ，则 _____.
【答案】
因 ,所以 ,解得 ,
所以 ，故 .
13. 已知函数 满足: ,若函数 在区间 上单调,且 ，则 _____.
【答案】
因为 ,由辅助角公式得 , 其中 ,因为 ,则 , 则 ，所以 ，易知 以 为对称中心，
根据题意函数 在区间 上单调,且 ,则
所以 . 故答案为: .
14. 已知四面体 中， ，空间中的动点 满足 ，则动点 的轨迹截四面体 所得截面的面积为_____.
【答案】6
由于 对棱相等, 把它放到长方体中. 设长方体
别为 ,
则有
以点 为原点建立空间直角坐标系,如图所示.
则 ,
设点 ,因为 ,
所以 ,
解得 则所求截面为四面体 的四条棱 ,的中点 连成的平行四边形.
由题可知, ,且 为向量 与 所成的角或其补角,
所以 ,
所以 ,
所以平行四边形EFGH 的面积为 .
四、解答题(本大题共5小题, 共77分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15.(本小题 13 分)在 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求A；
(2)若
【答案】(1)
【小问1】因为 ,由正弦定理得 , 故 ,即 ,解得 ,
又 ，所以 ；
【小问 2 】(方法一) 由 (1) 知 ,所以 即 , 所以 ,所以 或 ，又 ， 所以 ,或 所以 的面积 .
(方法二) 由 (1) 知 ,所以 .
根据正弦定理, ,
根据余弦定理， ，因为 ，所以 ，所以 ，即
，解得 . 所以 的面积为 .
16.(本小题 15 分)如图，在四棱锥 P - A B C D 中，底面ABCD是菱形， BAD=60°，Ω 为AD的中点，M为棱 上一点.
(1)当 时，求证: 平面 ；
(2)已知平面 平面 ，当二面角 的大小为60° .
【小问 1 】由条件得, M是PC的中点, 取 PB 的中点N, 连接 DM, MN, NQ (如图 1), 则 ,
在菱形 中, 为 的中点,所以 ,
所以 ,且 ,所以四边形 是平行四边形,
则 ，而 平面 平面 ，
所以 平面 .
【小问2】
由 为 的中点， ，
而平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 所以 平面 是菱形， ，
图1
图2
图3
(方法一)底面ABCD是菱形， ，
以 为原点，QA，QB，QP 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图2)，
则 ,
设 ，其中 ，则 ，
设平面MQB的法向量为 ,所以 ,
即 ,取 ,可得 ,
又平面ABCD即平面CBQ的法向量为 ，
由二面角 的大小为 ,则 ,
即 ，化简得 ，
又 ，所以 ，即 .
(方法二) 作
依题意， 平面 ,
故 平面MEF，从而 ，故 ，
设 ,则 ,
而 ,故 ,
又 ,故 ，解得 ，即 .
17. (本小题 15 分) 已知双曲线 的右顶点为A. 请从条件①、②、③中选择两个条件作为已知，使得C存在且唯一.
条件①: C的离心率为2; 条件②: C的渐近线方程为 ; 条件③: C的右焦点与点 的距离为1.
(1)求 的方程；
(2)若过点 的直线 交 的右支于点 ，且 的面积为3，求 的方程.
注:如果选择的条件不符合要求，第(1)问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分. 【答案】(1)选择条件①和③和选择条件②和③时，C的方程 ，选择条件①和②时，C存在且不唯一 (2) 或
【小问1】选择条件①和③: 因为 的离心率为2,点 到 的右焦点的距离为1,所以
解得 又因为 ,所以 ,所以 的方程为 .
选择条件②和③:因为 的渐近线方程为 ，点 到 的右焦点的距离为 1，
所以由 可得 所以 的方程为
选择条件①和②:因为C的离心率为2，
所以 ,
所以 的渐近线方程为 ,
由①能推出②，所以 存在但是不唯一，不符合题意；
综上所述: 选择条件①和③和选择条件②和③时，C的方程 ,选择条件①和②时，C存在且不唯一.
【小问 2 】由 (1) 知,点 坐标为 ,又由 可得直线 的方程为 ,且
设点 到直线 的距离为 ，
因为 面积为 3,所以 ,所以 .
设过点 且与直线 平行的直线为 .
则 与直线 的距离为 ,故 ,解得. 或 ,
所以直线 方程为 或 ,
直线 与直线 关于原点中心对称,
与双曲线左支有两个交点,不合题意,舍去. 由 得 或
故点 坐标为 或 ,
当 坐标为 时,点 ,所以直线 的方程为 ,
当 坐标为 时,点 ,直线 的方程为 ,
所以直线 的方程为 或
(方法二) 由 (1) 知,点 坐标为 ,且点 在 上.
当直线 斜率不存在时, 面积为 3,直线 的方程为 ,符合题意.
当直线 斜率存在时,设其方程为 .
1 得 ,设
则
故 ,又因为 到直线 的距离 ,
故 面积为 .
所以 ,解得 或 ,因为该双曲线的渐近线方程为 , 所以 ,因此此时直线不与双曲线的右支相交,因为 , 所以此时直线与双曲线的右支相交,
故直线 的方程为 ,综上,直线 的方程为 或 .
18.(本小题17分)由mn个小正方形构成的长方形网格有m行和n列，每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止.
(1)第一行中的n个小球颜色互不相同，其余行都由这n个小球以不同的顺序组成，如果要使任意两行的顺序都不相同，求m的最大值；
(2)长方形网格中只放白球或黑球，每个小正方形内放白球的概率为P，放黑球的概率为 .
( i ) 若 ，记在每列都有黑球的条件下，含白球的行数为随机变量，求 5 的分布列和数
学期望;
(ii) 设事件 “不是每一列都有黑球”,求 ,并证明: .
【答案】( 1 ) 分布列见解析， ；( ii )证明见解析.
【小问1】将 个颜色互不相同的小球全排列,共有 种排法,故 的最大值为 .
【小问 2 】(i) 的所有可能取值为0,1,2,
记 “含白球的行数为 ” 为事件 ,记 “每列都有黑球” 为事件B,
,
故答的分布列为
5 0 1 2
P 1 4 5 8
数学期望为 .
(ii) 因为每一列都至少有一个黑球的概率为 ,则不是每一列都有黑球的概率为 ,
记 “每行都至少有一个白球” 为事件D,所以 ,
因为 ,所以 ,即 ,故 .
19. (本小题 17 分)已知函数 .
(1)若 ，讨论 的单调性；
(2) 设 .
( i ) 证明: ;
(ii) 证明:
(1)由题意得函数 的定义域为 ,对函数 求导得
情形一:当 时，令 ，解得
单调递 单调递增;
情形二: 当 时, 单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增；
当 时， 在 单调递增。
(2) 由 可知:当 时，
整理可得:
情形一；当 中有一个大于或等于 1 ,此时 显然成立；
情形二:当 时，由①式可知，令
则有: 再代入①式可得: 同理可得. ,
则有
综上所述: 。
(ii) 由 (i) 知: 变形为 ②,令
代入②式得: ，则有:
于是