广东深圳2025-2026学年下学期高三数学3月阶段检测试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 广东深圳2025-2026学年下学期高三数学3月阶段检测试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 72.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
标准学术能力诊断性测试 2026 年 3 月测试 数学试卷
本试卷共 150 分
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知抛物线 ,则其焦点坐标为
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
3. 若复数 满足 (其中 为虚数单位),则
A. B. C. 4 D. 5
4. 在 的展开式中, 的系数为
A. 120 B. 80 C. 40 D. -40
5. 已知定义在 上的奇函数 满足 ,当 时, ,则 间的大小关系为
A. B. C. D.
6. 若 均为单位向量,且 ,则实数 的值可以是
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
7. 将 4 个黑球和 6 个红球随机排成一列,事件 “第 个球是黑球” ,则
A. B.
C. D.
8. 在三棱锥 中, , ，则实数 的取值可能为
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对但不全得 3 分, 有错选的得 0 分.
9. 已知复数 满足 ，复数 ( ， 为虚数单位)，则下列选项正确的是
A. 若 ，则 在复平面内对应的点位于第一象限
B. 复数 在复平面内对应点的轨迹是圆心为 ,半径为 1 的圆
C. 的最大值为 3
D. 若 的实部与虚部互为相反数,则
10. 已知函数 ,将其图象向右平移 个单位后得到 的图象, 的最小正周期为 ,则下列选项正确的是
A. 函数 的图象关于 对称
B. 函数 在区间 上单调递增
C. 若 且 ，则
D. 函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
11. 已知数列 的前 项和为 ,若 ,对于 ,有 恒成立,则称数列 的前 项和是有上界的. 下列数列的通项公式中,哪些数列的前 项和存在上界
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则 _____.
13. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 和 ,过 作直线 交椭圆于 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为_____.
14. 某闯关游戏设置了 3 个关卡，每关玩家先从道具 、 中随机选择 1 个(不同关卡可选同一个道具),再进行闯关. 已知使用道具 通过对应关卡的概率为 ,使用道具 通过对应关卡的概率为 ; 且每个关卡的道具选择、闯关结果均相互独立. 若玩家必须按 “关卡 1 → 关卡 2 → 关卡 3 ” 的顺序挑战,且只有通过前一关才能进入下一关,记该玩家最终恰好通过 2 个关卡的概率为 , 则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 如图所示，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ， ， ,点 在线段 上.
(1)若 ，求证: 平面 ；
(2)若平面 平面 ，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ， 求线段 的长度.
16. (15 分)和差化积公式，包括正弦、余弦和正切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式， 其中有 . 已知锐角 内角 所对的边分别是 , 且 .
(1)求 的最小值；
(2)若 ，求 的面积 的取值范围.
17. (15 分) 已知双曲线 的中心为坐标原点,左焦点为 ,离心率为 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与双曲线有两个不同的交点 、 ，设 ，直线 与双曲线的另一个交点为 ， 直线 与双曲线的另一个交点为 ,若直线 过定点 ,求直线 的斜率.
18. (17 分) 某足球队的 5 人围成一圈进行单球传球训练，甲与乙相邻，每阶段第 1 次都由甲将球传出. 第一阶段进行短传练习,每次传球时传球者等可能地将球传给相邻的人; 第二阶段进行长传练习，每次传球时传球者等可能地将球传给不相邻的人，规定球传回到甲或传到乙时结束长传练习. 记 “第一阶段经过 次传球后球在甲脚下”, “第二阶段结束时共进行了 次传球”, “第二阶段结束时球在甲脚下”.
(1)求 及 ；
(2)求 及 .
19.(17分)已知函数 满足 ， ， ， 在区间 上单调递减.
(1)设函数 ，求证 是周期函数并求 的最大值；
(2)给定 ，证明:对 ，使得 ；
(3)若 ，使得 对 恒成立，求实数 的最小值.
标准学术能力诊断性测试 2026 年 3 月测试
数学 参考答案
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
B A B D A C C A
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对但不全的得 3 分, 有错选的得 0 分.
9 10 11
BCD ACD ABD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
(1)如图所示，连接 与 相交于点 ，连接 ，
,
3 分
平面 ， 平面 ，
平面 5 分
(2)如上图所示，因为平面 平面 ，平面 平面 ，过点 在平面 内作 的垂线 ，可得垂线 垂直于平面 ，则以 为坐标原点，以向量 方向为 轴，以平面 内与 垂直的方向为 轴,以 为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ,记直线 与平面 所成角为 ,
设 ,则 7 分
设平面 的法向量为 ,则 , ,
取 10 分
12 分
即 ,解得 13 分
16. (15 分)
(1)
2 分
则 ,即 ,
即 ,
由 ,有 ,则 5 分
,当 时取等号,
综上, 有最小值 7 分
(2)由(1)知， ，
在 中,由正弦定理有 ,则 9 分
则 ,
即 12 分
由函数 在 上单调递减,有 ,
15 分
17. (15 分)
(1)由题意得 ，双曲线的离心率为 ，则 ， 双曲线的方程为 5 分
(2)设 ，
则直线 ,联立 7 分
消去 整理得 ,
将 代入上式整理得 10 分
由 得 ,
同理得 13 分
因为直线 过定点 ,所以 ,化简得 , 15 分
18.(17分)
(1)当 时，实现 的方法为向左传 5 次或向右传 5 次，共有 种，
所以 2 分
当 时,
解法一: 列举法
实现 的方法有 3 种,
①向左传 5 次，向右传 5 次，概率为 ；
②向左传 10 次，概率为 ；
③向右传 10 次，概率为 ；
所以 5 分
解法二: 构造法
规定向右传为正方向, 为第 次传球所对应的值,若第 次传球向左传,则 ,若第 次传球向右传,则 . 对于进行了 次传球后传回甲,等价于
对于 即进行了 10 次传球后球传回甲，则 或 ，所以在 中,有 10 个 1、10 个-1 或者 5 个 1 和 5 个-1,共有 种.
所以 5 分
当 时,
实现 的方法数为 解的数量, 可能的取值为 个 个 1 和 5 个 个 1 和 10 个 个-1，共有 种情况,所以 7 分
(2)如图1，将甲、乙、……、戊 5 人依次用 1、2、...、5 表示，按照长传规则，甲(1)只能将球等可能传给丙(3)或丁(4)，如此类推.
当 时, 表示 4 次长传后球传回给甲,由图 2 画出树状图知只有 1 种方法: , 所以 10 分
图 1
图 2
解法一: 列举法
在图 2 基础上继续往后列举, 如图 3:
图 3
2 次传球后球传回到甲有 2 种可能: ,概率为 ;
4 次传球后球传回到甲有 1 种可能: ,概率为 ;
6 次传球后球传回到甲有 1 种可能: ,概率为 ;
......
不难发现 次传球后球传回到甲有唯一的可能,概率为 ;
所以球传回到甲的概率为 15 分
由题意知 ,则 ,所以 17 分
解法二: 概率递推
如图 1,将甲、乙、 、戊 5 人依次用 表示,记事件 “从第 人将球传出,若干次传球后球传回到甲 (1)” 的概率为 ,
因为球到乙(2)脚下后停止，球最终不能传回给甲(1)，所以 ；
按照长传规则，甲(1)将球等可能传给 3 或 4，则 ；
丙(3)将球等可能传给 1 或 5，则 ；
丁(4)将球等可能传给 1 或 2，则 ；
戊(5)将球等可能传给 2 或 3，则 ；
解得 17 分
解法三: 整体思想
记事件 “球从甲(1)传出,最终回到甲(1)”, “球从戊(5)传出,最终回到甲(1)”, 分解事件 ,可能的情况是 ,
将 视作整体量,则 .
再分解 ,可能的情况是 ,则 ,
联立方程解得 ,
所以结束时球在甲脚下的概率为 17 分
19. (17 分)
(1)由题 ,所以 ,
所以 是以 4 为周期的偶函数 1 分
因为 ,
且
所以 是以 4 为周期的偶函数 2 分
要考虑其最大值,不妨设 ,
3 分
由 在区间 上单调递减,得 ,
所以令 ,则 ,又因为 , 所以 或 ,即 或 ,
所以 在 或 或 或 2 时取得最大值 5 分
因为 ,得 且 ,
所以 ,
所以 7 分
(2)根据 的周期性，不妨设 8 分
区间 长度为 ,
若 ,取 ,有 9 分
若 ,则 且 ,
当 时,取 ,有 ,
当 时,取 ,有 11 分
同理可证, 时, ,使得 ,
综上,对 ,使得 12 分
(3)当 时，由(1)知 ，所以 13 分
当 时,下面证明 ,使得 成立,
令 ,则 ,此时 恒成立,
由(2)知， ，使 成立 16 分
所以 有 成立,所以 ,
综上, 17 分
本试卷共 150 分
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知抛物线 ,则其焦点坐标为
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
3. 若复数 满足 (其中 为虚数单位),则
A. B. C. 4 D. 5
4. 在 的展开式中, 的系数为
A. 120 B. 80 C. 40 D. -40
5. 已知定义在 上的奇函数 满足 ,当 时, ,则 间的大小关系为
A. B. C. D.
6. 若 均为单位向量,且 ,则实数 的值可以是
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
7. 将 4 个黑球和 6 个红球随机排成一列,事件 “第 个球是黑球” ,则
A. B.
C. D.
8. 在三棱锥 中, , ，则实数 的取值可能为
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对但不全得 3 分, 有错选的得 0 分.
9. 已知复数 满足 ，复数 ( ， 为虚数单位)，则下列选项正确的是
A. 若 ，则 在复平面内对应的点位于第一象限
B. 复数 在复平面内对应点的轨迹是圆心为 ,半径为 1 的圆
C. 的最大值为 3
D. 若 的实部与虚部互为相反数,则
10. 已知函数 ,将其图象向右平移 个单位后得到 的图象, 的最小正周期为 ,则下列选项正确的是
A. 函数 的图象关于 对称
B. 函数 在区间 上单调递增
C. 若 且 ，则
D. 函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到
11. 已知数列 的前 项和为 ,若 ,对于 ,有 恒成立,则称数列 的前 项和是有上界的. 下列数列的通项公式中,哪些数列的前 项和存在上界
A. B.
C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 ， ，且 与 的夹角为 ，则 _____.
13. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 和 ,过 作直线 交椭圆于 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为_____.
14. 某闯关游戏设置了 3 个关卡，每关玩家先从道具 、 中随机选择 1 个(不同关卡可选同一个道具),再进行闯关. 已知使用道具 通过对应关卡的概率为 ,使用道具 通过对应关卡的概率为 ; 且每个关卡的道具选择、闯关结果均相互独立. 若玩家必须按 “关卡 1 → 关卡 2 → 关卡 3 ” 的顺序挑战,且只有通过前一关才能进入下一关,记该玩家最终恰好通过 2 个关卡的概率为 , 则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 如图所示，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ， ， ,点 在线段 上.
(1)若 ，求证: 平面 ；
(2)若平面 平面 ，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ， 求线段 的长度.
16. (15 分)和差化积公式，包括正弦、余弦和正切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式， 其中有 . 已知锐角 内角 所对的边分别是 , 且 .
(1)求 的最小值；
(2)若 ，求 的面积 的取值范围.
17. (15 分) 已知双曲线 的中心为坐标原点,左焦点为 ,离心率为 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与双曲线有两个不同的交点 、 ，设 ，直线 与双曲线的另一个交点为 ， 直线 与双曲线的另一个交点为 ,若直线 过定点 ,求直线 的斜率.
18. (17 分) 某足球队的 5 人围成一圈进行单球传球训练，甲与乙相邻，每阶段第 1 次都由甲将球传出. 第一阶段进行短传练习,每次传球时传球者等可能地将球传给相邻的人; 第二阶段进行长传练习，每次传球时传球者等可能地将球传给不相邻的人，规定球传回到甲或传到乙时结束长传练习. 记 “第一阶段经过 次传球后球在甲脚下”, “第二阶段结束时共进行了 次传球”, “第二阶段结束时球在甲脚下”.
(1)求 及 ；
(2)求 及 .
19.(17分)已知函数 满足 ， ， ， 在区间 上单调递减.
(1)设函数 ，求证 是周期函数并求 的最大值；
(2)给定 ，证明:对 ，使得 ；
(3)若 ，使得 对 恒成立，求实数 的最小值.
标准学术能力诊断性测试 2026 年 3 月测试
数学 参考答案
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
B A B D A C C A
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对但不全的得 3 分, 有错选的得 0 分.
9 10 11
BCD ACD ABD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
(1)如图所示，连接 与 相交于点 ，连接 ，
,
3 分
平面 ， 平面 ，
平面 5 分
(2)如上图所示，因为平面 平面 ，平面 平面 ，过点 在平面 内作 的垂线 ，可得垂线 垂直于平面 ，则以 为坐标原点，以向量 方向为 轴，以平面 内与 垂直的方向为 轴,以 为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ,记直线 与平面 所成角为 ,
设 ,则 7 分
设平面 的法向量为 ,则 , ,
取 10 分
12 分
即 ,解得 13 分
16. (15 分)
(1)
2 分
则 ,即 ,
即 ,
由 ,有 ,则 5 分
,当 时取等号,
综上, 有最小值 7 分
(2)由(1)知， ，
在 中,由正弦定理有 ,则 9 分
则 ,
即 12 分
由函数 在 上单调递减,有 ,
15 分
17. (15 分)
(1)由题意得 ，双曲线的离心率为 ，则 ， 双曲线的方程为 5 分
(2)设 ，
则直线 ,联立 7 分
消去 整理得 ,
将 代入上式整理得 10 分
由 得 ,
同理得 13 分
因为直线 过定点 ,所以 ,化简得 , 15 分
18.(17分)
(1)当 时，实现 的方法为向左传 5 次或向右传 5 次，共有 种，
所以 2 分
当 时,
解法一: 列举法
实现 的方法有 3 种,
①向左传 5 次，向右传 5 次，概率为 ；
②向左传 10 次，概率为 ；
③向右传 10 次，概率为 ；
所以 5 分
解法二: 构造法
规定向右传为正方向, 为第 次传球所对应的值,若第 次传球向左传,则 ,若第 次传球向右传,则 . 对于进行了 次传球后传回甲,等价于
对于 即进行了 10 次传球后球传回甲，则 或 ，所以在 中,有 10 个 1、10 个-1 或者 5 个 1 和 5 个-1,共有 种.
所以 5 分
当 时,
实现 的方法数为 解的数量, 可能的取值为 个 个 1 和 5 个 个 1 和 10 个 个-1，共有 种情况,所以 7 分
(2)如图1，将甲、乙、……、戊 5 人依次用 1、2、...、5 表示，按照长传规则，甲(1)只能将球等可能传给丙(3)或丁(4)，如此类推.
当 时, 表示 4 次长传后球传回给甲,由图 2 画出树状图知只有 1 种方法: , 所以 10 分
图 1
图 2
解法一: 列举法
在图 2 基础上继续往后列举, 如图 3:
图 3
2 次传球后球传回到甲有 2 种可能: ,概率为 ;
4 次传球后球传回到甲有 1 种可能: ,概率为 ;
6 次传球后球传回到甲有 1 种可能: ,概率为 ;
......
不难发现 次传球后球传回到甲有唯一的可能,概率为 ;
所以球传回到甲的概率为 15 分
由题意知 ,则 ,所以 17 分
解法二: 概率递推
如图 1,将甲、乙、 、戊 5 人依次用 表示,记事件 “从第 人将球传出,若干次传球后球传回到甲 (1)” 的概率为 ,
因为球到乙(2)脚下后停止，球最终不能传回给甲(1)，所以 ；
按照长传规则，甲(1)将球等可能传给 3 或 4，则 ；
丙(3)将球等可能传给 1 或 5，则 ；
丁(4)将球等可能传给 1 或 2，则 ；
戊(5)将球等可能传给 2 或 3，则 ；
解得 17 分
解法三: 整体思想
记事件 “球从甲(1)传出,最终回到甲(1)”, “球从戊(5)传出,最终回到甲(1)”, 分解事件 ,可能的情况是 ,
将 视作整体量,则 .
再分解 ,可能的情况是 ,则 ,
联立方程解得 ,
所以结束时球在甲脚下的概率为 17 分
19. (17 分)
(1)由题 ,所以 ,
所以 是以 4 为周期的偶函数 1 分
因为 ,
且
所以 是以 4 为周期的偶函数 2 分
要考虑其最大值,不妨设 ,
3 分
由 在区间 上单调递减,得 ,
所以令 ,则 ,又因为 , 所以 或 ,即 或 ,
所以 在 或 或 或 2 时取得最大值 5 分
因为 ,得 且 ,
所以 ,
所以 7 分
(2)根据 的周期性，不妨设 8 分
区间 长度为 ,
若 ,取 ,有 9 分
若 ,则 且 ,
当 时,取 ,有 ,
当 时,取 ,有 11 分
同理可证, 时, ,使得 ,
综上,对 ,使得 12 分
(3)当 时，由(1)知 ，所以 13 分
当 时,下面证明 ,使得 成立,
令 ,则 ,此时 恒成立,
由(2)知， ，使 成立 16 分
所以 有 成立,所以 ,
综上, 17 分
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