湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年下学期高一数学3月第一次质检试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年下学期高一数学3月第一次质检试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 98.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
雅礼中学 2026 年上学期第一次质量检测试卷 高一数学
时间:120 分钟 分值:150 分
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。)
1. 已知集合 ，则
A. {1} B. C. D.
2. 若函数 是偶函数,则实数
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3. 已知菱形 的边长为 1,且 . 则
A. B. C. D.
4. 已知平面向量 . 设 ,则 与 的夹角为
A. B. C. D.
5. 设 且 ,函数 的定义域为 . 若 的值域为 ,则 的取值范围为
A. B. C. D.
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到新的图象. 已知这个新的图象关于原点中心对称,则 的最小值为
A. B. C. D.
7. 给出平面向量正交基底的概念: 若平面向量的基底 满足 ,则称 为平面向量的正交基底. 现在任取平面向量的一组基底 ，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是
A. B.
C. D.
8. 记 的内角 所对边的长度分别为 . 已知 , . 则 内切圆的半径为
A. 1 B. C. D. 2
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分。)
9.现给出下列四个函数，其中在区间 上单调递增的是
A. B. C. D.
10. 平面内有四边形 ,边 平行于 ,对角线 与 交于点 . 若 , ，且 的面积为 3，则
A.
B. 的面积为 6
C.
D.
11. 已知定义在 上的函数 (其中 ) 在区间 上有且仅有 3 个零点,且该函数的图象关于点 中心对称,也关于直线 轴对称. 现考虑函数 ,则函数 的零点可以是
A. B. C. D.
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 记 的内角 所对的边的长度分别为 . 已知 且 , 则 _____.
13. 已知平面向量 ，其中 . 则 的充要条件为 _____.
14. 已知平面向量 满足 ,则 的取值范围为_____.
四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(13分) 已知集合 ，集合 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
16.(15分) 已知函数 的部分图像如图所示. 图中最高点坐标为 ,与最高点相邻的一个零点坐标为 .
(1)求函数 的解析式;
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍 (纵坐标不变),得到函数 的图象. 求函数 在区间 上的最大值和最小值.
17.(15分)在 中,角 的对边分别是 ,且 .
(1)求角 ；
(2)若 的中线 ，求 面积的最大值.
18.(17分)如图, 是单位圆上的相异两定点 , 点 为单位圆上的动点，线段 交线段 于点 (点 异于点 、 )，记 的面积为s.
(1)记 ，求 的表达式；
(2)若
① 求 的取值范围;
② 设 ，记 ，求 的最小值.
19.(17分) 已知函数 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)在(1)问的条件下,解关于 的不等式 ;
(3)若 ,对任意的 ,函数 在区间 内总存在 使得 成立,求实数 的取值范围.
雅礼中学 2026 年上学期第一次质量检测试卷 高一数学
时间:120 分钟 分值:150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
将 移项得 ,即 ,因此 . 因此 . 2. 若函数 是偶函数，则实数
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】D
由偶函数定义知 恒成立,即 ,即 2) 对任意实数 成立,因此 ,即 .
3. 已知菱形 的边长为 1,且 . 则
A. B. C. D.
【答案】A
取 为基底. 则 .
所以 .
4. 已知平面向量 . 设 ,则 与 的夹角为
A. B. C. D.
【答案】B
,所以 7. 而 ,所以 ,因此夹角 . 5. 设 且 ，函数 的定义域为 . 若 的值域为 ，则 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
若 ,则 的取值范围是 .
当 时, ,分两种情形讨论:
若 ,则 在 单调递增,相应 的取值范围是 ,因此要使 的值域是 , 应当有 ,两端都取 为底可得 ,解得 .
当 ，则 在 单调递减，相应 的取值范围是 ，此时无法满足 的值域是 ,故舍去.
综上可得 .
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到新的图象. 已知这个新的图象关于原点中心对称,则 的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
. 设 图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象,则 .
因为函数 的图象关于原点中心对称,所以 ,即 ,
所以 ,即 .
当 时,有 ; 因此取 ,对应于 的最小值 .
7. 给出平面向量正交基底的概念: 若平面向量的基底 满足 ,则称 为平面向量的正交基底. 现在任取平面向量的一组基底 ，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是
A. B.
C. D.
【答案】D
A 选项 ,可考虑反例 ,此时该式 ,错误;
B 选项 ,当 不与 垂直时,
该结果就不等于 0 , 错误;
C 选项 ,该选项错误性与 A 选项同理;
D 选项 ,因此这两
个向量垂直,正确.
8. 记 的内角 所对边的长度分别为 . 已知 . 则 内切圆的半径为
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
对题中条件 使用正弦定理,可得 ,因此
. 而 ,所以化简得 ,因此 ,即 .
而 ,所以 .
又由余弦定理 ,得 ,因此 .
设 内切圆的半径为 . 过内切圆的圆心分别与三顶点相连,将 分割为三个三角形,由此可知三角形的面积为 .
又因为 ,所以 .
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9.现给出下列四个函数，其中在区间 上单调递增的是
A. B. C. D.
【答案】BCD
在区间 上单调递减, 错误; 在 上单调递增, 正确; 在 上单调递增,故正确; 在 上单调递增, D正确.
10. 平面内有四边形 ,边 平行于 ,对角线 与 交于点 . 若 ,
,且 的面积为 3,则
A.
B. 的面积为 6
C.
D.
【答案】AD
A 选项 ,则 ,正确.
B 选项, 的面积为 ,错误.
C 选项,注意到 与 具有共线的底边 ,且这两个底边对应的高相等,因此 ,因此 ，所以 ，错误.
D 选项，因为 与 相似，所以 ，因此 ，所以 ； 利用三角形两边之和大于第三边,可知 ,正确.
11. 已知定义在 上的函数 (其中 ) 在区间 上有且仅有 3 个零点,且该函数的图象关于点 中心对称,也关于直线 轴对称. 现考虑函数 ,则函数 的零点可以是
A. B. C. D.
【答案】BD
由 图象中心对称性可知 ,因此 ;
由 图象轴对称性可知 ,因此 ;
联立以上两式可得 .
设函数的最小正周期为 . 由于在区间 上有且仅有 3 个零点,所以 且 ,因此 ,结合前面 的可能取值,可知 .
由 可知 ，但考虑到 “ ”，所以 .
综上可知 . 经检验,其在区间 上的所有零点为 ,符合题意.
所以 .
由于 等价于 ,即 ,所以 的零点为 因此 BD 正确.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 记 的内角 所对的边的长度分别为 . 已知 且 ，则 _____. 【答案】
由正弦定理得 ,由此 . 由余弦定理得 .
13. 已知平面向量 ，其中 . 则 的充要条件为 _____.
【答案】 2
计算 .
由此可知: 若 ,则 ,因此 ;
若 ,则 ,因此 .
14. 已知平面向量 满足 ，则 的取值范围为_____.
【答案】[6,8]
解法一: 计算 ,其中 为 与 的夹角.
注意到 ,所以 .
又因为 ,可得 ,解得 .
解法二: 如图,作 ,由 ,可知 在以点 为圆心,5为半径的圆上,以 为邻边作矩形 .
由矩形的性质可知, ,可得 ,即点 在以点 为圆心,7为半径的圆上,
因此 .
四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15. (13分) 已知集合 ，集合 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 或 ；
(2) .
(1)当 时， ，而 ，则 ，
所以 或 .
(2)由 ，得 ，
当 ,即 时, ,满足 ,则 ;
当 时,由 ,得 ,解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
16. (15分) 已知函数 的部分图像如图所示. 图中最高点坐标为 , 与最高点相邻的一个零点坐标为 .
(1)求函数 的解析式;
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数 的图象. 求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】 ;
(2)最大值为 2，最小值为 -2 .
(1)由题意，函数 最高点坐标为 ，与最高点相邻的一个零点坐标为 ，
所以可得 ,解得 ,
所以函数 的解析式为 ;
(2)由(1)得 ，
将函数 的图象向左平移 个单位,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，可得
当 时, ,所以 ,即 ,
所以函数 在区间 上的最大值为 2,最小值为 -2 .
17. (15分) 在 中，角 的对边分别是 ，且 .
(1)求角 ；
(2)若 的中线 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
(1)因为 ,
由正弦定理可得 ,
在 中， ， ，
所以 ,
整理得 ,
所以 ,因为 ,
所以 .
(2)因为 的中线 ，
因为 ，
所以 ,
即 ,可得 ,当且仅当 时取等号,
所以 的面积 ,
所以 面积的最大值为 .
18.(17分)如图， ， 是单位圆上的相异两定点(O为圆心)， ( )，点 为单位圆上的动点，线段 交线段 于点 (点 异于点 、 )，记 的面积为 .
(1)记 ，求 的表达式；
(2)若
① 求 的取值范围;
② 设 ，记 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2) ① ; ②
(1)因为 ,
所以 .
(2)① 设 ， ，则 ，
所以 ,
又 ,所以 ,则 .
② 设 ，则 ，因为 ，
所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,即 ,
化简得, ,
所以
当且仅当 ,即 时,等号成立,
故 的最小值为 .
19. (17分)已知函数 .
(1)若 ,求实数 的值;
(2)在(1)问的条件下，解关于 的不等式 ；
(3)若 ,对任意的 ,函数 在区间 内总存在 使得 成立,求实数 的取值范围.
【答案】(1)4；
(2) ；
.
( 1 ) , ,
或 ,
当 ， 不满足真数大于 0，即 不成立，故 ；
(2) ,
的解为
转化为 ,
的解集为 ;
(3) ,
,
,
,
,设
的值域为 ,
设 ,
对称轴为 在 处取最大值为 ,
的值域为 ,
对任意的 ,函数 在区间 内总存在 使得 成立,
,
,
,
实数 的取值范围为 .
时间:120 分钟 分值:150 分
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。)
1. 已知集合 ，则
A. {1} B. C. D.
2. 若函数 是偶函数,则实数
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
3. 已知菱形 的边长为 1,且 . 则
A. B. C. D.
4. 已知平面向量 . 设 ,则 与 的夹角为
A. B. C. D.
5. 设 且 ,函数 的定义域为 . 若 的值域为 ,则 的取值范围为
A. B. C. D.
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到新的图象. 已知这个新的图象关于原点中心对称,则 的最小值为
A. B. C. D.
7. 给出平面向量正交基底的概念: 若平面向量的基底 满足 ,则称 为平面向量的正交基底. 现在任取平面向量的一组基底 ，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是
A. B.
C. D.
8. 记 的内角 所对边的长度分别为 . 已知 , . 则 内切圆的半径为
A. 1 B. C. D. 2
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分。)
9.现给出下列四个函数，其中在区间 上单调递增的是
A. B. C. D.
10. 平面内有四边形 ,边 平行于 ,对角线 与 交于点 . 若 , ，且 的面积为 3，则
A.
B. 的面积为 6
C.
D.
11. 已知定义在 上的函数 (其中 ) 在区间 上有且仅有 3 个零点,且该函数的图象关于点 中心对称,也关于直线 轴对称. 现考虑函数 ,则函数 的零点可以是
A. B. C. D.
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 记 的内角 所对的边的长度分别为 . 已知 且 , 则 _____.
13. 已知平面向量 ，其中 . 则 的充要条件为 _____.
14. 已知平面向量 满足 ,则 的取值范围为_____.
四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15.(13分) 已知集合 ，集合 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
16.(15分) 已知函数 的部分图像如图所示. 图中最高点坐标为 ,与最高点相邻的一个零点坐标为 .
(1)求函数 的解析式;
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍 (纵坐标不变),得到函数 的图象. 求函数 在区间 上的最大值和最小值.
17.(15分)在 中,角 的对边分别是 ,且 .
(1)求角 ；
(2)若 的中线 ，求 面积的最大值.
18.(17分)如图, 是单位圆上的相异两定点 , 点 为单位圆上的动点，线段 交线段 于点 (点 异于点 、 )，记 的面积为s.
(1)记 ，求 的表达式；
(2)若
① 求 的取值范围;
② 设 ，记 ，求 的最小值.
19.(17分) 已知函数 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)在(1)问的条件下,解关于 的不等式 ;
(3)若 ,对任意的 ,函数 在区间 内总存在 使得 成立,求实数 的取值范围.
雅礼中学 2026 年上学期第一次质量检测试卷 高一数学
时间:120 分钟 分值:150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】C
将 移项得 ,即 ,因此 . 因此 . 2. 若函数 是偶函数，则实数
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】D
由偶函数定义知 恒成立,即 ,即 2) 对任意实数 成立,因此 ,即 .
3. 已知菱形 的边长为 1,且 . 则
A. B. C. D.
【答案】A
取 为基底. 则 .
所以 .
4. 已知平面向量 . 设 ,则 与 的夹角为
A. B. C. D.
【答案】B
,所以 7. 而 ,所以 ,因此夹角 . 5. 设 且 ，函数 的定义域为 . 若 的值域为 ，则 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
若 ,则 的取值范围是 .
当 时, ,分两种情形讨论:
若 ,则 在 单调递增,相应 的取值范围是 ,因此要使 的值域是 , 应当有 ,两端都取 为底可得 ,解得 .
当 ，则 在 单调递减，相应 的取值范围是 ，此时无法满足 的值域是 ,故舍去.
综上可得 .
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到新的图象. 已知这个新的图象关于原点中心对称,则 的最小值为
A. B. C. D.
【答案】B
. 设 图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象,则 .
因为函数 的图象关于原点中心对称,所以 ,即 ,
所以 ,即 .
当 时,有 ; 因此取 ,对应于 的最小值 .
7. 给出平面向量正交基底的概念: 若平面向量的基底 满足 ,则称 为平面向量的正交基底. 现在任取平面向量的一组基底 ，则下列选项中，一定能构成平面向量正交基底的是
A. B.
C. D.
【答案】D
A 选项 ,可考虑反例 ,此时该式 ,错误;
B 选项 ,当 不与 垂直时,
该结果就不等于 0 , 错误;
C 选项 ,该选项错误性与 A 选项同理;
D 选项 ,因此这两
个向量垂直,正确.
8. 记 的内角 所对边的长度分别为 . 已知 . 则 内切圆的半径为
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
对题中条件 使用正弦定理,可得 ,因此
. 而 ,所以化简得 ,因此 ,即 .
而 ,所以 .
又由余弦定理 ,得 ,因此 .
设 内切圆的半径为 . 过内切圆的圆心分别与三顶点相连,将 分割为三个三角形,由此可知三角形的面积为 .
又因为 ,所以 .
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9.现给出下列四个函数，其中在区间 上单调递增的是
A. B. C. D.
【答案】BCD
在区间 上单调递减, 错误; 在 上单调递增, 正确; 在 上单调递增,故正确; 在 上单调递增, D正确.
10. 平面内有四边形 ,边 平行于 ,对角线 与 交于点 . 若 ,
,且 的面积为 3,则
A.
B. 的面积为 6
C.
D.
【答案】AD
A 选项 ,则 ,正确.
B 选项, 的面积为 ,错误.
C 选项,注意到 与 具有共线的底边 ,且这两个底边对应的高相等,因此 ,因此 ，所以 ，错误.
D 选项，因为 与 相似，所以 ，因此 ，所以 ； 利用三角形两边之和大于第三边,可知 ,正确.
11. 已知定义在 上的函数 (其中 ) 在区间 上有且仅有 3 个零点,且该函数的图象关于点 中心对称,也关于直线 轴对称. 现考虑函数 ,则函数 的零点可以是
A. B. C. D.
【答案】BD
由 图象中心对称性可知 ,因此 ;
由 图象轴对称性可知 ,因此 ;
联立以上两式可得 .
设函数的最小正周期为 . 由于在区间 上有且仅有 3 个零点,所以 且 ,因此 ,结合前面 的可能取值,可知 .
由 可知 ，但考虑到 “ ”，所以 .
综上可知 . 经检验,其在区间 上的所有零点为 ,符合题意.
所以 .
由于 等价于 ,即 ,所以 的零点为 因此 BD 正确.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 记 的内角 所对的边的长度分别为 . 已知 且 ，则 _____. 【答案】
由正弦定理得 ,由此 . 由余弦定理得 .
13. 已知平面向量 ，其中 . 则 的充要条件为 _____.
【答案】 2
计算 .
由此可知: 若 ,则 ,因此 ;
若 ,则 ,因此 .
14. 已知平面向量 满足 ，则 的取值范围为_____.
【答案】[6,8]
解法一: 计算 ,其中 为 与 的夹角.
注意到 ,所以 .
又因为 ,可得 ,解得 .
解法二: 如图,作 ,由 ,可知 在以点 为圆心,5为半径的圆上,以 为邻边作矩形 .
由矩形的性质可知, ,可得 ,即点 在以点 为圆心,7为半径的圆上,
因此 .
四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15. (13分) 已知集合 ，集合 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) 或 ；
(2) .
(1)当 时， ，而 ，则 ，
所以 或 .
(2)由 ，得 ，
当 ,即 时, ,满足 ,则 ;
当 时,由 ,得 ,解得 ,
所以实数 的取值范围是 .
16. (15分) 已知函数 的部分图像如图所示. 图中最高点坐标为 , 与最高点相邻的一个零点坐标为 .
(1)求函数 的解析式;
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数 的图象. 求函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】 ;
(2)最大值为 2，最小值为 -2 .
(1)由题意，函数 最高点坐标为 ，与最高点相邻的一个零点坐标为 ，
所以可得 ,解得 ,
所以函数 的解析式为 ;
(2)由(1)得 ，
将函数 的图象向左平移 个单位,再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，可得
当 时, ,所以 ,即 ,
所以函数 在区间 上的最大值为 2,最小值为 -2 .
17. (15分) 在 中，角 的对边分别是 ，且 .
(1)求角 ；
(2)若 的中线 ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
(1)因为 ,
由正弦定理可得 ,
在 中， ， ，
所以 ,
整理得 ,
所以 ,因为 ,
所以 .
(2)因为 的中线 ，
因为 ，
所以 ,
即 ,可得 ,当且仅当 时取等号,
所以 的面积 ,
所以 面积的最大值为 .
18.(17分)如图， ， 是单位圆上的相异两定点(O为圆心)， ( )，点 为单位圆上的动点，线段 交线段 于点 (点 异于点 、 )，记 的面积为 .
(1)记 ，求 的表达式；
(2)若
① 求 的取值范围;
② 设 ，记 ，求 的最小值.
【答案】(1)
(2) ① ; ②
(1)因为 ,
所以 .
(2)① 设 ， ，则 ，
所以 ,
又 ,所以 ,则 .
② 设 ，则 ，因为 ，
所以 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,即 ,
化简得, ,
所以
当且仅当 ,即 时,等号成立,
故 的最小值为 .
19. (17分)已知函数 .
(1)若 ,求实数 的值;
(2)在(1)问的条件下，解关于 的不等式 ；
(3)若 ,对任意的 ,函数 在区间 内总存在 使得 成立,求实数 的取值范围.
【答案】(1)4；
(2) ；
.
( 1 ) , ,
或 ,
当 ， 不满足真数大于 0，即 不成立，故 ；
(2) ,
的解为
转化为 ,
的解集为 ;
(3) ,
,
,
,
,设
的值域为 ,
设 ,
对称轴为 在 处取最大值为 ,
的值域为 ,
对任意的 ,函数 在区间 内总存在 使得 成立,
,
,
,
实数 的取值范围为 .
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