河南商丘2025-2026学年下学期高一数学3月质量检测试卷（含答案）

2025-2026 学年度第二学期三月份质量检测 高一数学试题
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 命题 的否定是( )
A. B.
C. D.
3. 已知 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
4. 若 ,则大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
5. 若函数 与函数 图像的对称中心完全一致，则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 . 对于 ,都有 成立,则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 已知非零向量 满足 ,则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8. 定义在 上的偶函数 满足 ,且当 时,
,若关于 的方程 至少有 8 个实数解,则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列结论正确的是( )
A. 若 ,则 的最小值为 7
B. 当 时, 的最小值是 4
C. 设 ,且 ,则 的最小值是
D. 当 时, 的最小值是 3
10. 设函数 ，已知 在 上有且仅有 4 个零点，则()
A. 的取值范围是
B. 的图象与直线 在 上的交点恰有 2 个
C. 的图象与直线 在 上的交点恰有 2 个
D. 在 上不单调
11. 已知函数 ,若方程 的四个由小到大的实数根分别为 , ,则下列说法正确的是 ( )
A. B.
C. D. 最大值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 定义平面斜坐标系 ,记 分别是与 轴, 轴正方向相同的单位向量, ,则记向量 的斜坐标为 . 已知在斜坐标系中,向量 的斜坐标分别为 ， ，且 与 的夹角为 ，则 等于_____.
13. 若 时， 取得最大值，则 _____.
14. 已知函数 ,若不等式 对任意 均成立，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。
15.(13分)已知 ， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 的夹角为 ，求 ；
(3)若 ，求 与 的夹角为 .
16. (15 分)已知函数 ，若函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 1 .
(1)求函数 解析式；
(2)当 ，求函数 的最值，并求出取得最值时对应的 的值；
17. (15分)有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放 个单位的该洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 (克/升)随着时间 (分钟)变
化的函数关系式近似为 ,其中 ,若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和, 根据经验, 当水中洗衣液的浓度不低于 6 (克/升)时，它才能起到有效去污的作用.
(1)若只投放一次 个单位的洗衣液，当 3 分钟时水中洗衣液的浓度为 2.5 克/升，求 的值；
(2)若只投放一次 6 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
(3)若第一次投放 3 个单位的洗衣液，9 分钟后再投放 3 个单位的洗衣液，问能否使接下来的 6 分钟内持续有效去污 说明理由.
18.(17分)已知函数
(1)求 的单调递增区间；
(2)当 时，求 的值域；
(3)已知 为锐角,且 ，求 的值.
19. (17分)已知定义在 上的函数 满足
(1)求值:
(2)当 时
(i) 证明: 在 上单调递增;
(ii) 设 为锐角,求 的最大值.
2025-2026学年度第二学期三月份质量检测
《高一数学》参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A B C A A D
二、多选题
题号 9 10 11
答案 BC ACD ABD
三、填空题
12. 13. 14.
四、解答题
15.(1)若 ，则 与 的夹角为0或 .
所以 或 . .3 分
(2)因为
,
所以 . .8 分
(3)若 ，则 ，即 ，
所以 ，
即 ,所以 ,
又 ,所以 . .13 分
16.(1)当 时，函数 单调递增，
函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ,
由题意可得: ..3 分此时区间为 ; 当 时,此时 ,显然区间 不成立, .6 分综上所述: ,即 ; .7 分
(2) .9 分令 ,因为 ,所以 ,
所以 , .12 分
所以 ,
, .14 分
所以当 时,函数 有最小值 ,当 时,函数 有最大值 0 ; .15 分
17.(1)由 ，
则当 3 分钟时水中洗衣液的浓度为 2.5 克/升时,
可得 ，即 ，解得 ； .3 分
(2)由题意可得 ，则 ，
则当 时,由 ,解得 ,即 ,
当 时,由 ,解得 ,即 , .9 分
综上所述,得 ,即有效去污时间可达 12 分钟;
(3)则当 时，
,
当且仅当 时，等号成立，
即 9 分钟后再投放 3 个单位的洗衣液能使接下来的 6 分钟内持续有效去污 .15 分
18.(1) ......... .2 分令 , .4 分
所以 的单调递增区间为 ; .5 分
(2)当 时，所以 ， .7 分
所以 ,所以 的值域为 ; 10 分
(3)设 ，则 ， .12 分
由于 ,故 ，所以 ， .14 分
所以 , .15 分
故 .17 分
19.(1)由已知 .1 分
所以 .2 分
有 ,故 .3 分
所以 .4 分
(2)(i) 由已知 .5 分
设 ,则
结合 可知 .7 分
因为 ,所以 . .
所以 ,所以 在 上单调递增. .9 分
(ii) 设 ,
由已知 ,
所以 . 11 分
设 ,则
.13 分
由基本不等式
取等 ,即 或 ,所以 . .14 分
由于 单调递增,所以 ,故 的最大值为
由已知 . .15 分
所以 . .16 分
所以 的最大值为 .17 分