吉林省四平市2025-2026学年下学期高二数学3月第一次月考试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 吉林省四平市2025-2026学年下学期高二数学3月第一次月考试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 40.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
2025~2026 学年度下学期第一次月考试题 高二数学
考生注意:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版选择性必修第三册第六章 一第七章第 1 节。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座 3 张，一等座 8 张，商 务座 6 张, 则小张的购票方案种数为
A. 14 B. 17 C. 90 D. 144
2. 若 ,则
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
3. 的展开式中的第 2 项是
A. B. C. D. -80
4.5 名同学去听同时举行的 3 个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的 1 个讲座，则不同选择的种数是
A. 20 B. 60 C. 125 D. 243
5. 甲、乙两位旅游博主准备周末去 这 4 个景点中的某一个景点打卡,事件 表示甲、乙至少有 1 人去 景点,事件 表示甲、乙去相同的景点,则
A. B. C. D.
26-T-524B
6. 的展开式中仅有第 30 项的二项式系数最大,则展开式中的有理项有
A. 9 项 B. 10 项 C. 20 项 D. 21 项
7. 的展开式中的常数项为
A. 61 B. 29 C. 309 D. 308
8. 某车企为了更好地设计开发新车型,统计了近期购车的车主性别与购车种类 (新能源车或者燃油车)的情况，其中新能源车占销售量的 74%，男性占近期购车车主总数的 60%，女性购车车主有 80% 购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为
A.0.4 B.0.5 C. 0.6 D. 0.7
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 ,则
B.
C. D.
10. 若随机事件 满足 ,则下列说法正确的是
A. 若 ,则 相互独立
B. 若 ,则 相互独立
C. 若 ,则 相互独立
D. 若 相互独立,则
11. 已知 ,关于方程 ,则下列说法正确的是
A. 当 时,该方程有 15 组解
B. 当 时,该方程的解满足 的概率为
C. 当 时,该方程有 35 组解
D. 当 时,该方程有 495 组解
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 若 6 件不同产品中有 4 件正品, 2 件次品, 从中抽取 2 件, 则至少有 1 件是正品的抽取方法种数为_____
13. 若 ,则 的值为_____.
14. 为丰富同学们的劳动体验,增强劳动技能,认识到劳动最光荣、劳动最伟大,高二年级在社会实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛. 某小组 7 名同学积极参加, 若每名同学必须参加且只能参加 1 个项目, 每个项目至少有 1 人参加, 则这 7 名同学有_____种不同的参加方法.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
已知 的展开式中前 3 项的二项式系数之和等于 29 .
(1)求 的值；
(2)若展开式中 的系数为 56，求实数 的值.
16. (本小题满分 15 分)
某学校高中部举行成人礼仪式，邀请学生家长参加，仪式后，4 位学生与这 4 位学生的爸爸站成一排照相.
(1)如果要求 4 位学生站在一起，那么这 8 人有多少种不同的排法
(2)如果要求每对父子都不分开，那么这 8 人有多少种不同的排法？
17. (本小题满分 15 分)
某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为 0.04 , 当火灾发生时系统正确发出警报的概率为 0.95 , 当火灾没有发生时,系统错误发出警报的概率为 0.02 .
(1)求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率；
(2)若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率(精确到 0.01).
18. (本小题满分 17 分)
杨辉三角是我国南宋数学家杨辉的一项重要研究成果, 比欧洲早 500 年左右, 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质,利用这些性质,可以解决很多数学问题,图 1 为杨辉三角的部分内容.
(1)求图 1 中第 31 行中的所有数字之和被 9 除所得余数；
(2)观察图 1，确定第 63 行的第 列(从左往右)与第 64 行的第 列(从左往右)的关系式，并求 的值; (用整数指数幂表示结果)
(3)把杨辉三角中的每一个数 都换成 ，得到图 2 所示的莱布尼茨三角，证明:
图 2
1 ……第 0 行……
1 1 ……第 1 行……
……第 2 行……
……第 3 行……
......第 4 行……
图 1
19. (本小题满分 17 分)
作为江苏省内最高规格的业余足球赛事, 苏超联赛自 2025 年 5 月开赛以来, 凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议. 为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系, 某机构在全市随机抽取了 500 名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为 3 :2 ，在抽取的男性居民中，有 的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有 100 人没有观看这场苏超联赛.
(1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取 1 人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率;
(2)现定义: ，其中 ， 是随机事件，从这 500 人中任选 1 人， 表示 “居民观看了这场苏超联赛”, 表示“居民是女性”,设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标 ,请利用样本数据求出 的值;
(3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取 5 名居民，若再从这 5 名居民中随机抽取 2 人进行访谈，设这 2 名被访谈的居民中恰有 名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为 ,求 的值.
2025~2026 学年度下学期第一次月考试题 · 高二数学 参考答案、提示及评分细则
1.B 按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为 . 故选 B.
2. C 由题意得 ,解得 . 故选 C.
3. A 展开式中的第 2 项为 . 故选 A.
4. D 5 名同学去听同时举行的 3 个课外知识讲座, 每名同学可自由选择听其中的 1 个讲座, 由于这 5 名同学每名都可以有 3 种选择,所以共有 种选择. 故选 D.
5. A ,所以 . 故选 A.
6.B 因为展开式中仅有第 30 项的二项式系数最大,所以 ,所以当 为 6 的整数倍时, 为有理项,所以 的取值依次为0,6,12, 18,24,30,36,42,48,54,共 10 项. 故选 B.
7. 的展开式中的常数项为 . 故选 C.
8. D 设男性中有 %购买了新能源车，则 ，解得 ，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是 0.7 . 故选 D.
9. BC 令 ,得 ,故 A 错误; 令 ,得 ,故 B 正确; 令 -1,得 ,故 C 正确; 将 与 这两式的左右两边分别相加,得 ,解得 ,故 D 错误. 故选 BC.
10. 对于 ,因为 ,所以 ,即 相互独立,故 正确; 对于 ,由 ,可得 ,即 相互独立,故 正确; 对于 ,又 1,所以 ,故 不相互独立,故 错误; 对于 ,当 相互独立时, 也相互独立,所以 ,因此 ,故 D 正确. 故选 ABD.
11.BCD 对于 ,当 时, 中有 3 个 2,2 个 1,所以该方程解的组数为 ,故 错误; 对于 ,因为 中有 3 个2,2个 1,且 ,所以 , 中有 2 个是 1,1 个是 2,所以所求概率为 ,故 B 正确; 对于 ,当 时,相当于在 8 个 1 之间的 7 个空隙中选 4 个插入 4 个隔板,把 8 个 1 分为 5 部分,各部分 1 的个数分别为 的值,所以解的组数为 ,故 正确; 对于 ,当 时,设 ,则 ,且 13，相当于在 13 个 1 之间的 12 个空隙中选 4 个插入 4 个隔板，把 12 个 1 分为 5 部分，各部分 1 的个数分别为 的值,所以解的组数为 ,故 正确. 故选 BCD.
12.14 至少有 1 件是正品的抽取方法种数为 .
13. 3 或 8 因为 ,所以 或 .
14.8400 先将 7 名同学分成四组,有 和1,2,2,2这三种情况,当分组为1,1,1,4时,不同的参加方法有 ; 当分组为1,1,2,3时,不同的参加方法有 ; 当分组为1,2,2,2时,不同的参加方法有 . 综上所述,满足题意的不同的参加方法有 种.
15. 解: (1) 由题设, ,即 , 3 分
整理得 ,
解得 或 ,
因为 ,故 . 6 分
(2)由(1)知，二项式展开式通项为 ,
令 ,得 ,则 , 10 分
又展开式中 的系数为 56,则 ,得 . 13 分
16. 解:(1)先把 4 位学生看作 1 个元素与 4 位学生的爸爸进行排列，排法种数为 ， 3 分
4 个学生之间再进行排列,排法种数为 , 6 分
由分步乘法计数原理可得学生站在一起的排法种数为 . 8 分
(2)先把每对父子看作 1 个元素进行排列，排法种数为 ， 10 分
再把每对父子进行排列,排法种数为 , 13 分
由分步乘法计数原理可得每对父子都不分开的排法种数为 . 15 分
17. 解:(1)用 表示炎热干燥天气条件下该保护区某天发生火灾，用 表示系统发出警报，
则 , 2 分
4 分
由全概率公式,得 . 8 分
(2)由(1)知 , 11 分所以炎热干燥天气条件下智能监控系统某天发出警报，保护区该天实际发生火灾的概率为 15 分
18.(1)解:图 1 中第 31 行中的所有数字之和为 ， 2 分
,所以展开式中除最后一项 1 外,其余各项均有因数 9 , 能被 9 整除, 且这些项和为正数,
所以 被 9 除余数为 1, 4 分
所以 被 9 除余数为 2 . 5 分
(2)解:第 63 行的第 列(从左往右)为 ，第 64 行的第 列(从左往右)为 ， 7 分
,所以 , 9 分
所以 . 11 分
(3)证明:因为
17 分
19. 解:(1)由题意，得样本中男性居民与女性居民的人数分别为 300 人，200 人，在 300 名男性居民中，有 200 人观看了这场苏超联赛，在 200 名女性居民中，有 100 人观看了这场苏超联赛，所以样本中，观看了这场苏超联赛的频率为 . 2 分
用频率估计概率,样本估计总体,从全市居民中随机抽取 1 人,估计此人观看了这场苏超联赛的概率为 .
4 分
(2)因为 ,
所以 . 6 分
因为 ,
所以 . 8 分所以 . 9 分
(3)由分层随机抽样知, 抽取的 5 名居民中, 男性居民有 3 人，女性居民有 2 人. 10 分
根据频率估计概率知,男性居民中观看了这场苏超联赛的概率为 ,没有观看这场苏超联赛的概率为 .
11 分 ,
设 3 名被抽取的男性居民中,恰好抽到 人被访谈为事件 ,则 12 分
设被访谈的 2 名居民中观看了这场苏超联赛的男性居民恰好为 人为事件 ,
则 , 13 分
所以 14 分
, 15 分 16 分
所以 . 17 分
考生注意:
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版选择性必修第三册第六章 一第七章第 1 节。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 小张需要乘坐某班次高铁去北京，已知此次高铁列车车票还剩下二等座 3 张，一等座 8 张，商 务座 6 张, 则小张的购票方案种数为
A. 14 B. 17 C. 90 D. 144
2. 若 ,则
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
3. 的展开式中的第 2 项是
A. B. C. D. -80
4.5 名同学去听同时举行的 3 个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的 1 个讲座，则不同选择的种数是
A. 20 B. 60 C. 125 D. 243
5. 甲、乙两位旅游博主准备周末去 这 4 个景点中的某一个景点打卡,事件 表示甲、乙至少有 1 人去 景点,事件 表示甲、乙去相同的景点,则
A. B. C. D.
26-T-524B
6. 的展开式中仅有第 30 项的二项式系数最大,则展开式中的有理项有
A. 9 项 B. 10 项 C. 20 项 D. 21 项
7. 的展开式中的常数项为
A. 61 B. 29 C. 309 D. 308
8. 某车企为了更好地设计开发新车型,统计了近期购车的车主性别与购车种类 (新能源车或者燃油车)的情况，其中新能源车占销售量的 74%，男性占近期购车车主总数的 60%，女性购车车主有 80% 购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为
A.0.4 B.0.5 C. 0.6 D. 0.7
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知 ,则
B.
C. D.
10. 若随机事件 满足 ,则下列说法正确的是
A. 若 ,则 相互独立
B. 若 ,则 相互独立
C. 若 ,则 相互独立
D. 若 相互独立,则
11. 已知 ,关于方程 ,则下列说法正确的是
A. 当 时,该方程有 15 组解
B. 当 时,该方程的解满足 的概率为
C. 当 时,该方程有 35 组解
D. 当 时,该方程有 495 组解
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 若 6 件不同产品中有 4 件正品, 2 件次品, 从中抽取 2 件, 则至少有 1 件是正品的抽取方法种数为_____
13. 若 ,则 的值为_____.
14. 为丰富同学们的劳动体验,增强劳动技能,认识到劳动最光荣、劳动最伟大,高二年级在社会实践期间开展“拔草”“翻土”“播种”“浇水”这四个项目的劳动技能比赛. 某小组 7 名同学积极参加, 若每名同学必须参加且只能参加 1 个项目, 每个项目至少有 1 人参加, 则这 7 名同学有_____种不同的参加方法.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
已知 的展开式中前 3 项的二项式系数之和等于 29 .
(1)求 的值；
(2)若展开式中 的系数为 56，求实数 的值.
16. (本小题满分 15 分)
某学校高中部举行成人礼仪式，邀请学生家长参加，仪式后，4 位学生与这 4 位学生的爸爸站成一排照相.
(1)如果要求 4 位学生站在一起，那么这 8 人有多少种不同的排法
(2)如果要求每对父子都不分开，那么这 8 人有多少种不同的排法？
17. (本小题满分 15 分)
某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该保护区每天发生火灾的概率为 0.04 , 当火灾发生时系统正确发出警报的概率为 0.95 , 当火灾没有发生时,系统错误发出警报的概率为 0.02 .
(1)求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报的概率；
(2)若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生火灾的概率(精确到 0.01).
18. (本小题满分 17 分)
杨辉三角是我国南宋数学家杨辉的一项重要研究成果, 比欧洲早 500 年左右, 杨辉三角本身包含了很多有趣的性质,利用这些性质,可以解决很多数学问题,图 1 为杨辉三角的部分内容.
(1)求图 1 中第 31 行中的所有数字之和被 9 除所得余数；
(2)观察图 1，确定第 63 行的第 列(从左往右)与第 64 行的第 列(从左往右)的关系式，并求 的值; (用整数指数幂表示结果)
(3)把杨辉三角中的每一个数 都换成 ，得到图 2 所示的莱布尼茨三角，证明:
图 2
1 ……第 0 行……
1 1 ……第 1 行……
……第 2 行……
……第 3 行……
......第 4 行……
图 1
19. (本小题满分 17 分)
作为江苏省内最高规格的业余足球赛事, 苏超联赛自 2025 年 5 月开赛以来, 凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议. 为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系, 某机构在全市随机抽取了 500 名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为 3 :2 ，在抽取的男性居民中，有 的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有 100 人没有观看这场苏超联赛.
(1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取 1 人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率;
(2)现定义: ，其中 ， 是随机事件，从这 500 人中任选 1 人， 表示 “居民观看了这场苏超联赛”, 表示“居民是女性”,设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标 ,请利用样本数据求出 的值;
(3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取 5 名居民，若再从这 5 名居民中随机抽取 2 人进行访谈，设这 2 名被访谈的居民中恰有 名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为 ,求 的值.
2025~2026 学年度下学期第一次月考试题 · 高二数学 参考答案、提示及评分细则
1.B 按照分类加法计数原理可得小张的购票方案种数为 . 故选 B.
2. C 由题意得 ,解得 . 故选 C.
3. A 展开式中的第 2 项为 . 故选 A.
4. D 5 名同学去听同时举行的 3 个课外知识讲座, 每名同学可自由选择听其中的 1 个讲座, 由于这 5 名同学每名都可以有 3 种选择,所以共有 种选择. 故选 D.
5. A ,所以 . 故选 A.
6.B 因为展开式中仅有第 30 项的二项式系数最大,所以 ,所以当 为 6 的整数倍时, 为有理项,所以 的取值依次为0,6,12, 18,24,30,36,42,48,54,共 10 项. 故选 B.
7. 的展开式中的常数项为 . 故选 C.
8. D 设男性中有 %购买了新能源车，则 ，解得 ，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是 0.7 . 故选 D.
9. BC 令 ,得 ,故 A 错误; 令 ,得 ,故 B 正确; 令 -1,得 ,故 C 正确; 将 与 这两式的左右两边分别相加,得 ,解得 ,故 D 错误. 故选 BC.
10. 对于 ,因为 ,所以 ,即 相互独立,故 正确; 对于 ,由 ,可得 ,即 相互独立,故 正确; 对于 ,又 1,所以 ,故 不相互独立,故 错误; 对于 ,当 相互独立时, 也相互独立,所以 ,因此 ,故 D 正确. 故选 ABD.
11.BCD 对于 ,当 时, 中有 3 个 2,2 个 1,所以该方程解的组数为 ,故 错误; 对于 ,因为 中有 3 个2,2个 1,且 ,所以 , 中有 2 个是 1,1 个是 2,所以所求概率为 ,故 B 正确; 对于 ,当 时,相当于在 8 个 1 之间的 7 个空隙中选 4 个插入 4 个隔板,把 8 个 1 分为 5 部分,各部分 1 的个数分别为 的值,所以解的组数为 ,故 正确; 对于 ,当 时,设 ,则 ,且 13，相当于在 13 个 1 之间的 12 个空隙中选 4 个插入 4 个隔板，把 12 个 1 分为 5 部分，各部分 1 的个数分别为 的值,所以解的组数为 ,故 正确. 故选 BCD.
12.14 至少有 1 件是正品的抽取方法种数为 .
13. 3 或 8 因为 ,所以 或 .
14.8400 先将 7 名同学分成四组,有 和1,2,2,2这三种情况,当分组为1,1,1,4时,不同的参加方法有 ; 当分组为1,1,2,3时,不同的参加方法有 ; 当分组为1,2,2,2时,不同的参加方法有 . 综上所述,满足题意的不同的参加方法有 种.
15. 解: (1) 由题设, ,即 , 3 分
整理得 ,
解得 或 ,
因为 ,故 . 6 分
(2)由(1)知，二项式展开式通项为 ,
令 ,得 ,则 , 10 分
又展开式中 的系数为 56,则 ,得 . 13 分
16. 解:(1)先把 4 位学生看作 1 个元素与 4 位学生的爸爸进行排列，排法种数为 ， 3 分
4 个学生之间再进行排列,排法种数为 , 6 分
由分步乘法计数原理可得学生站在一起的排法种数为 . 8 分
(2)先把每对父子看作 1 个元素进行排列，排法种数为 ， 10 分
再把每对父子进行排列,排法种数为 , 13 分
由分步乘法计数原理可得每对父子都不分开的排法种数为 . 15 分
17. 解:(1)用 表示炎热干燥天气条件下该保护区某天发生火灾，用 表示系统发出警报，
则 , 2 分
4 分
由全概率公式,得 . 8 分
(2)由(1)知 , 11 分所以炎热干燥天气条件下智能监控系统某天发出警报，保护区该天实际发生火灾的概率为 15 分
18.(1)解:图 1 中第 31 行中的所有数字之和为 ， 2 分
,所以展开式中除最后一项 1 外,其余各项均有因数 9 , 能被 9 整除, 且这些项和为正数,
所以 被 9 除余数为 1, 4 分
所以 被 9 除余数为 2 . 5 分
(2)解:第 63 行的第 列(从左往右)为 ，第 64 行的第 列(从左往右)为 ， 7 分
,所以 , 9 分
所以 . 11 分
(3)证明:因为
17 分
19. 解:(1)由题意，得样本中男性居民与女性居民的人数分别为 300 人，200 人，在 300 名男性居民中，有 200 人观看了这场苏超联赛，在 200 名女性居民中，有 100 人观看了这场苏超联赛，所以样本中，观看了这场苏超联赛的频率为 . 2 分
用频率估计概率,样本估计总体,从全市居民中随机抽取 1 人,估计此人观看了这场苏超联赛的概率为 .
4 分
(2)因为 ,
所以 . 6 分
因为 ,
所以 . 8 分所以 . 9 分
(3)由分层随机抽样知, 抽取的 5 名居民中, 男性居民有 3 人，女性居民有 2 人. 10 分
根据频率估计概率知,男性居民中观看了这场苏超联赛的概率为 ,没有观看这场苏超联赛的概率为 .
11 分 ,
设 3 名被抽取的男性居民中,恰好抽到 人被访谈为事件 ,则 12 分
设被访谈的 2 名居民中观看了这场苏超联赛的男性居民恰好为 人为事件 ,
则 , 13 分
所以 14 分
, 15 分 16 分
所以 . 17 分
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