河南周口2025-2026学年下学期高三数学3月联考试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 河南周口2025-2026学年下学期高三数学3月联考试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 141.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
高三数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容: 高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则集合 的子集个数为
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
2. 已知命题 ; 命题 ,则
A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
3. 直线 是曲线 的一条切线,则
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 某地面站通过天线接收一颗低轨道卫星发送的数据. 卫星每次过顶时, 会发送 10 个独立的数据包. 由于大气干扰，每个数据包在传输过程中有 20% 的概率丢失(收不到)，有 80% 的概率被成功接收，且每个数据包在传输过程中被接收成功与否相互独立. 随机变量 表示卫星一次过顶中成功接收的数据包个数,则
A. 26 B. 24 C. 22 D. 20
5. 已知点 是函数 图象的一个对称中心,则 的最小值为
A. B. C. D.
6. 已知函数 是定义在 上的偶函数,当 且 时,不等式 . 恒成立,设 ,则
A. B. C. D.
7. 如图,数表中的每一行从左至右均是等差数列,每一列从上至下也均是等差数列,则
A. 176
B. 208
C. 272
D. 304
8. 已知双曲线 ，直线 交 于 ， 两点， 为 上另一点，满足 ， 为平面直角坐标系的原点. 若 ， ， 的重心分别为 ， ,则直线 斜率的乘积为
A. 16
B.
C. 4
D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如图,已知正方体 -EFGH 的棱长为 2,则
A. 直线 与 所成夹角的余弦值为 0
B. 直线 与 所成夹角的余弦值为
C. 三棱锥 的表面积为
D. 三棱锥 的外接球的表面积为
10. 已知动点 到点 的距离与点 到直线 的距离相等,记动点 的轨迹为曲线 ,直线 交曲线 于 两点,过线段 的中点 作直线 的垂线,垂足为 . 若 ,则
A. 曲线 为抛物线 B. 的最大值为 1
C. 的最大值为 1 D. 的最小值为
11. 定义复数数列 满足 ，其中 为 的共轭复数，且 ，则
A.
B.
C. 在复平面内对应的点随着 的增大,将会越来越靠近一个定点
D. 在复平面内对应的点随着 的增大,将不会越来越靠近一个定点
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 在平行四边形 中, 为 的中点,若 ,则 _____▲_____.
13. 已知 满足 ，则 的最大值为_____▲_____.
14. 随机抛一枚质地均匀的硬币 8 次,定义数列 满足: 记事件 : 对于任意 ,均有 ,且 _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本,将样本的成绩分成 , 125]这五组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计样本成绩的平均数及方差;(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)
(2)已知落在 内的平均成绩是 80 分，方差是 4 分，落在 内的平均成绩是 88 分,方差是 6 分,求两组成绩合并后的平均数 和方差 .
附:设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为 ,记两组数据总体的样本平均数为 ,则总体样本方差 .
16. (15 分)
如图，在四棱锥 中， 底面 ，且底面 为正方形， ， 分别是 ， 的中点.
(1)证明: 平面 .
(2)若 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
17. (15分)
在 中,角 的对边分别为 ,已知 .
(1)证明: .
(2)若 ， ， ， 是边 上的两个点，且 ，求 的面积的最小值.
18.(17分)
已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 在 上只有一个解,求 的取值范围;
(3)若 和 是 的两个零点，证明: .
19.(17分)
已知椭圆 ，过椭圆 上一点 为( 0 ) 作曲线 的切线，交 轴于点 分别是椭圆 的左、右焦点, 分别为其左、右顶点.
(1)证明:切线 的方程为 .
(2)证明: 为 的外角平分线.
(3)过点 ， 分别作 ， ，垂足分别为 ， . 证明: ， ， ， 四点共圆.
高三数学参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 B C D C A A D B BCD AC AD
【评分细则】
【1】第 题,凡与答案不符的均不得分.
【2】第 9 ～11 题，全部选对的得 6 分，有选错的不得分，部分选对的得部分分(第 9 题，每选对一个得 2 分，第 10，11 题，每选对一个得 3 分).
【3】第 12 题的结果还可以写成 0.5 .
1.B
由 解得 或 所以 ,有 2 个元素,所以集合 的子集个数为 4 .
2.C
对于 而言, ,故 是真命题, 是假命题.
对于 而言,当 时, ,故 是假命题, 是真命题.
综上, 和 都是真命题.
3.D
对于 ,其导数为 ,因为直线 是曲线 的切线,直线的斜率为 -1 ,
令 ,解得 ,将 代入切线方程 ,可得 ,
所以切点坐标为 ,因为切点 在曲线 上,
所以 ,解得 .
4. C
,则 ,所以 .
5.A
根据正切函数的性质, 图象的对称中心的横坐标满足 , 即 ,则 时, 最小,最小值是 .
6. A 因为 是偶函数，所以 ， 因为 ,所以 ,
又因为当 且 时,不等式 恒成立,所以 在 上单调递增,则 ,即 .
7.D
记第 行第 列的数为 ,则 ,设第一行、第一列的公差分别为 ,则 ,由 ,所以 得 通过计算,每行每列如图所示,所以 304, 故选 D.
0 37 74 111 148
76 78 80 82 84
152 119 86 53 20
228 160 92 24 -44
304 201 98 -5 -108
8.B
设 为 的中点,则 ,即
,这表明 中, 边上中线的斜率与 的斜率之积为 ,
,
,
又 ,
,故选 B.
9.BCD
对于 选项,以 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 , ,
,故 B 正确, 错误.
对于 选项,三棱锥 的表面积为 ,故 C 正确.
对于 选项,三棱锥 的外接球即为正方体 的外接球,其半径为正方体体对角线的一半,正方体的棱长为 2,则体对角线为 ,故半径 ,外接球的表面积为 ,故 正确.
10. AC 对于 选项,由已知条件知点 到点 的距离与到直线 的距离相等,
由抛物线的定义可知点 的轨迹为以 为焦点,直线 为准线的抛物线.
设抛物线的方程为 ,则 ,得 ,
点 的轨迹方程为 . 即曲线 为抛物线,故 正确.
对于 选项,易知 可以取任意正实数,故 错误.
对于 选项,过 分别作直线 的垂线,垂足为 ,则
在 中,由余弦定理得
当 时,等号成立, ,即 的最大值为 1, C 正确.
对于 选项, .
令 ,则 ,
根据对勾函数的性质, ,则 无最小值, 故 D 错误.
11. AD ,
注意到 ,
又 ,
,
故 A 正确, B 不正确.
当 时,
,
,
.
当 越来越大时, 在复平面内对应的点将会越来越靠近定点 .
当 时,
,
当 越来越大时, 在复平面内对应的点将会越来越靠近定点 .
故 C 错误, D 正确.
12. ,所以 ,故 .
由 ,可得 ,令 , 所以 的最大值为 .
14. 共有 种等可能情况,且正面向上与反面向上的次数均为 4,但对于 ,正面向上的次数总是大于或等于反面向上的次数，所以第 1 次必为正面向上，第 8 次必为反面向上，即 ,只需在中间 6 次中各填 3 个 1 与 3 个一 1 即可,所有的可能情况共 14 种，如表所示:
1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
-1 1 -1 -1
-1 1 -1
-1 1
-1 1 1 -1 -1
-1 1 -1
-1 1
-1 1 1 -1
-1 1
-1 1 1 1 -1 -1
-1 1 -1
-1 1
-1 1 1 -1
-1 1
故 .
15.解:(1)成绩的平均数 100. 3 分
方差 .
据此估计样本成绩的平均数约为 100 分, 方差约为 104. 6 分
(2)由频率分布直方图知,成绩在 内的市民人数为 , 7 分成绩在 内的市民人数为 , 8 分
所以 , 10 分
13 分
16.(1)证明:连接 为正方形， . 1 分
平面 . 2 分
平面 . 3 分
又 分别为 的中点, , 4 分
平面 . 6 分
(2)解: 平面 ， ，又 为正方形， .
以 为原点, 的方向分别为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, , . 8 分
设平面 的法向量为 ,
令 ,则 ,
平面 的一个法向量为 . 10 分设平面 的法向量为 ,
令 ,则 ,
平面 的一个法向量为 . 12 分设平面 与平面 所成的二面角为 ,
则 . 14 分
,
平面 与平面 所成二面角的正弦值为 . 15 分
17.(1)证明:由二倍角公式及正弦定理得 ,
即 , 2 分
又 ,所以 , 3 分
则 , 4 分所以 或 (舍去),即 . 6 分
(2)解:由 ，可知 . 7 分
如图，设 ，
在 中, , 8 分
由正弦定理 ,得 , 9 分
在 中,由正弦定理可得 , 10 分
得 , 11 分
所以 12 分
13 分 , 14 分
所以当且仅当 ,即 时, 面积的最小值为 . 15 分
18.(1)解: . 1 分
当 时, ,则 在 上单调递增, 3 分
当 时,令 ,解得 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增. 5 分
(2)解:显然 是方程 的一个解,故方程 在 上无解. 6 分
① 当 时， ，得 ， 7 分
令 ,则 ,
所以 在 上为增函数,所以 .
若函数 在 上没有零点，则 . 8 分
② 当 时， ，
因为当 时, ,所以曲线 在点 处的切线斜率为 . 9 分
要想使得函数 的图象在 上与直线 没有交点,需要满足 ,解得 . 10 分
综上, 的取值范围为 . 11 分
(3)证明:因为 和 是 的两个零点，所以 ， ，
,两式相减得 , 12 分
不妨设 ,则 ,要证 ,即证 : 13 分设 ,则 ,即证 . 14 分
设 ,则 ,所以 在 , 上单调递增,所以 ,即 .
综上, . 17 分
19.证明: (1) 依题意易得 . 由 消去 ,整理得 1 分又 , 2 分 3 分
直线 与椭圆 有且仅有一个交点, 4 分
又点 的坐标满足 , 切线 的方程为 . 5 分
(2)直线 的方程为 ，令 ，则 ，得 . 6 分
已知 ,直线 的方程为 ,即 ,直线 的方程为 ,即 , 7 分点 到直线 的距离 8 分
点 到直线 的距离 为 的外角平分线. 9 分
(3)设 ， ， 为坐标原点， ， ， 直线 和直线 的方程分别为 . 10 分由 解得 , 11 分 12 分由 解得 , 13 分 14 分
,
,
同理 . 16 分
,
,
四点共圆. 17 分
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容: 高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知集合 ,则集合 的子集个数为
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
2. 已知命题 ; 命题 ,则
A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
3. 直线 是曲线 的一条切线,则
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 某地面站通过天线接收一颗低轨道卫星发送的数据. 卫星每次过顶时, 会发送 10 个独立的数据包. 由于大气干扰，每个数据包在传输过程中有 20% 的概率丢失(收不到)，有 80% 的概率被成功接收，且每个数据包在传输过程中被接收成功与否相互独立. 随机变量 表示卫星一次过顶中成功接收的数据包个数,则
A. 26 B. 24 C. 22 D. 20
5. 已知点 是函数 图象的一个对称中心,则 的最小值为
A. B. C. D.
6. 已知函数 是定义在 上的偶函数,当 且 时,不等式 . 恒成立,设 ,则
A. B. C. D.
7. 如图,数表中的每一行从左至右均是等差数列,每一列从上至下也均是等差数列,则
A. 176
B. 208
C. 272
D. 304
8. 已知双曲线 ，直线 交 于 ， 两点， 为 上另一点，满足 ， 为平面直角坐标系的原点. 若 ， ， 的重心分别为 ， ,则直线 斜率的乘积为
A. 16
B.
C. 4
D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 如图,已知正方体 -EFGH 的棱长为 2,则
A. 直线 与 所成夹角的余弦值为 0
B. 直线 与 所成夹角的余弦值为
C. 三棱锥 的表面积为
D. 三棱锥 的外接球的表面积为
10. 已知动点 到点 的距离与点 到直线 的距离相等,记动点 的轨迹为曲线 ,直线 交曲线 于 两点,过线段 的中点 作直线 的垂线,垂足为 . 若 ,则
A. 曲线 为抛物线 B. 的最大值为 1
C. 的最大值为 1 D. 的最小值为
11. 定义复数数列 满足 ，其中 为 的共轭复数，且 ，则
A.
B.
C. 在复平面内对应的点随着 的增大,将会越来越靠近一个定点
D. 在复平面内对应的点随着 的增大,将不会越来越靠近一个定点
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 在平行四边形 中, 为 的中点,若 ,则 _____▲_____.
13. 已知 满足 ，则 的最大值为_____▲_____.
14. 随机抛一枚质地均匀的硬币 8 次,定义数列 满足: 记事件 : 对于任意 ,均有 ,且 _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本,将样本的成绩分成 , 125]这五组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计样本成绩的平均数及方差;(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)
(2)已知落在 内的平均成绩是 80 分，方差是 4 分，落在 内的平均成绩是 88 分,方差是 6 分,求两组成绩合并后的平均数 和方差 .
附:设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为 ,记两组数据总体的样本平均数为 ,则总体样本方差 .
16. (15 分)
如图，在四棱锥 中， 底面 ，且底面 为正方形， ， 分别是 ， 的中点.
(1)证明: 平面 .
(2)若 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
17. (15分)
在 中,角 的对边分别为 ,已知 .
(1)证明: .
(2)若 ， ， ， 是边 上的两个点，且 ，求 的面积的最小值.
18.(17分)
已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 在 上只有一个解,求 的取值范围;
(3)若 和 是 的两个零点，证明: .
19.(17分)
已知椭圆 ，过椭圆 上一点 为( 0 ) 作曲线 的切线，交 轴于点 分别是椭圆 的左、右焦点, 分别为其左、右顶点.
(1)证明:切线 的方程为 .
(2)证明: 为 的外角平分线.
(3)过点 ， 分别作 ， ，垂足分别为 ， . 证明: ， ， ， 四点共圆.
高三数学参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 B C D C A A D B BCD AC AD
【评分细则】
【1】第 题,凡与答案不符的均不得分.
【2】第 9 ～11 题，全部选对的得 6 分，有选错的不得分，部分选对的得部分分(第 9 题，每选对一个得 2 分，第 10，11 题，每选对一个得 3 分).
【3】第 12 题的结果还可以写成 0.5 .
1.B
由 解得 或 所以 ,有 2 个元素,所以集合 的子集个数为 4 .
2.C
对于 而言, ,故 是真命题, 是假命题.
对于 而言,当 时, ,故 是假命题, 是真命题.
综上, 和 都是真命题.
3.D
对于 ,其导数为 ,因为直线 是曲线 的切线,直线的斜率为 -1 ,
令 ,解得 ,将 代入切线方程 ,可得 ,
所以切点坐标为 ,因为切点 在曲线 上,
所以 ,解得 .
4. C
,则 ,所以 .
5.A
根据正切函数的性质, 图象的对称中心的横坐标满足 , 即 ,则 时, 最小,最小值是 .
6. A 因为 是偶函数，所以 ， 因为 ,所以 ,
又因为当 且 时,不等式 恒成立,所以 在 上单调递增,则 ,即 .
7.D
记第 行第 列的数为 ,则 ,设第一行、第一列的公差分别为 ,则 ,由 ,所以 得 通过计算,每行每列如图所示,所以 304, 故选 D.
0 37 74 111 148
76 78 80 82 84
152 119 86 53 20
228 160 92 24 -44
304 201 98 -5 -108
8.B
设 为 的中点,则 ,即
,这表明 中, 边上中线的斜率与 的斜率之积为 ,
,
,
又 ,
,故选 B.
9.BCD
对于 选项,以 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 , ,
,故 B 正确, 错误.
对于 选项,三棱锥 的表面积为 ,故 C 正确.
对于 选项,三棱锥 的外接球即为正方体 的外接球,其半径为正方体体对角线的一半,正方体的棱长为 2,则体对角线为 ,故半径 ,外接球的表面积为 ,故 正确.
10. AC 对于 选项,由已知条件知点 到点 的距离与到直线 的距离相等,
由抛物线的定义可知点 的轨迹为以 为焦点,直线 为准线的抛物线.
设抛物线的方程为 ,则 ,得 ,
点 的轨迹方程为 . 即曲线 为抛物线,故 正确.
对于 选项,易知 可以取任意正实数,故 错误.
对于 选项,过 分别作直线 的垂线,垂足为 ,则
在 中,由余弦定理得
当 时,等号成立, ,即 的最大值为 1, C 正确.
对于 选项, .
令 ,则 ,
根据对勾函数的性质, ,则 无最小值, 故 D 错误.
11. AD ,
注意到 ,
又 ,
,
故 A 正确, B 不正确.
当 时,
,
,
.
当 越来越大时, 在复平面内对应的点将会越来越靠近定点 .
当 时,
,
当 越来越大时, 在复平面内对应的点将会越来越靠近定点 .
故 C 错误, D 正确.
12. ,所以 ,故 .
由 ,可得 ,令 , 所以 的最大值为 .
14. 共有 种等可能情况,且正面向上与反面向上的次数均为 4,但对于 ,正面向上的次数总是大于或等于反面向上的次数，所以第 1 次必为正面向上，第 8 次必为反面向上，即 ,只需在中间 6 次中各填 3 个 1 与 3 个一 1 即可,所有的可能情况共 14 种，如表所示:
1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
-1 1 -1 -1
-1 1 -1
-1 1
-1 1 1 -1 -1
-1 1 -1
-1 1
-1 1 1 -1
-1 1
-1 1 1 1 -1 -1
-1 1 -1
-1 1
-1 1 1 -1
-1 1
故 .
15.解:(1)成绩的平均数 100. 3 分
方差 .
据此估计样本成绩的平均数约为 100 分, 方差约为 104. 6 分
(2)由频率分布直方图知,成绩在 内的市民人数为 , 7 分成绩在 内的市民人数为 , 8 分
所以 , 10 分
13 分
16.(1)证明:连接 为正方形， . 1 分
平面 . 2 分
平面 . 3 分
又 分别为 的中点, , 4 分
平面 . 6 分
(2)解: 平面 ， ，又 为正方形， .
以 为原点, 的方向分别为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系, , . 8 分
设平面 的法向量为 ,
令 ,则 ,
平面 的一个法向量为 . 10 分设平面 的法向量为 ,
令 ,则 ,
平面 的一个法向量为 . 12 分设平面 与平面 所成的二面角为 ,
则 . 14 分
,
平面 与平面 所成二面角的正弦值为 . 15 分
17.(1)证明:由二倍角公式及正弦定理得 ,
即 , 2 分
又 ,所以 , 3 分
则 , 4 分所以 或 (舍去),即 . 6 分
(2)解:由 ，可知 . 7 分
如图，设 ，
在 中, , 8 分
由正弦定理 ,得 , 9 分
在 中,由正弦定理可得 , 10 分
得 , 11 分
所以 12 分
13 分 , 14 分
所以当且仅当 ,即 时, 面积的最小值为 . 15 分
18.(1)解: . 1 分
当 时, ,则 在 上单调递增, 3 分
当 时,令 ,解得 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增. 5 分
(2)解:显然 是方程 的一个解,故方程 在 上无解. 6 分
① 当 时， ，得 ， 7 分
令 ,则 ,
所以 在 上为增函数,所以 .
若函数 在 上没有零点，则 . 8 分
② 当 时， ，
因为当 时, ,所以曲线 在点 处的切线斜率为 . 9 分
要想使得函数 的图象在 上与直线 没有交点,需要满足 ,解得 . 10 分
综上, 的取值范围为 . 11 分
(3)证明:因为 和 是 的两个零点，所以 ， ，
,两式相减得 , 12 分
不妨设 ,则 ,要证 ,即证 : 13 分设 ,则 ,即证 . 14 分
设 ,则 ,所以 在 , 上单调递增,所以 ,即 .
综上, . 17 分
19.证明: (1) 依题意易得 . 由 消去 ,整理得 1 分又 , 2 分 3 分
直线 与椭圆 有且仅有一个交点, 4 分
又点 的坐标满足 , 切线 的方程为 . 5 分
(2)直线 的方程为 ，令 ，则 ，得 . 6 分
已知 ,直线 的方程为 ,即 ,直线 的方程为 ,即 , 7 分点 到直线 的距离 8 分
点 到直线 的距离 为 的外角平分线. 9 分
(3)设 ， ， 为坐标原点， ， ， 直线 和直线 的方程分别为 . 10 分由 解得 , 11 分 12 分由 解得 , 13 分 14 分
,
,
同理 . 16 分
,
,
四点共圆. 17 分
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