江苏苏州市第三中学2025-2026学年下学期高一数学3月月考试卷（含答案）

苏州市第三中学 2025-2026 学年第二学期高一数学三月采点
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小 6 分, 共 40 分.
1. 的值为( )
A. B. C. D.
2. 已知点 在角 的终边上,则 的值为( )
A. B. C. D.
3. 已知 不共线, ,若 三点共线,则 ( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 在 中, 为 上一点,且 ,则实数 值为( )
A. B. C. D.
5. 若 ,则 的值为
A. B. C. D.
6. 已知向量 ，满足 ， ， ，则 在 方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
7. 已知方程 的两根为 ，且 ，则 的值为( )
A. B. C. -2 D. 或 -2
8. 已知 中满足: ，过点 的直线 与线段 、 分别交于 ， ， ， ，则 的最小值为( )
A. B. C. 3 D. 6
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
9. 下列叙述中错误的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ，则 且
C. 若 且 ,则
D. 对任一非零向量 是一个单位向量
10. 在 中, 则 ( )
A. B.
C. D.
11. 已知函数 ,若函数 的部分图像如图所示,则关于函数 下列结论正确的是( )
A. 函数 的图像关于直线 对称
B. 函数 的图像关于点 对称
C. 函数 在区间 上单调递增
D. 函数 的图像可由函数 的图像向左平移 个单位长度得到
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 ，则 的值为_____.
13. 已知, 为互相垂直的单位向量,向量 与 的夹角为锐角,则实数 的取值范围为_____.
14. 已知 满足 ，当 取到最大值时， 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 ，满足 ，向量 的夹角为 .
(1)求 的值；
(2)求向量 与 的夹角 的余弦值.
16. 已知 ,且 ,求:
(1) 的值；
(2)求 的值.
17. 已知函数 .
(1)求函数 的周期、单调增区间、对称中心；
( 2 )当 时，求函数 的值域；
(3)当 时,方程 有 3 个不同的实数根,求实数 的取值范围.
18. 如图,线段 都垂直于线段 ,
(1)求线段 的长度；
(2)点 为线段 上一个动点且点 与点 、点 不重合,当 长为多少时, 最大
19. 如图，在梯形 中， ， ， ，点 分别为线段 ， 上的三等分点,点 是线段 上的一点.
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)直线 分别交线段 于 两点,若 三点在同一直线上,求 的值.
1. B
2. D
则 .
3. A
,
,
因为 三点共线,所以 ,即 ,
因为 不共线,故 ,
解得 .
故选: A
4. B
,
因此 ,
因为 三点共线,所以 ,
故选: B.
5. A
解: ,
.
故选: .
6. B
由 ,得 ,即 ,
将 代入上式可得: ,即 ,
根据投影向量的计算公式, 在 方向上的投影向量为 ,
则 .
故选: B.
7. C
由题可得 ,则 ,且 . 又 ,则 ,所以 . 则 .
8. D
如图:
由 ,得
所以 ,又 三点共线,所以 .
所以 ,
因为 ,故 ,当且仅当 时,
即 时等号成立,所以
9. ABC
向量不能比大小,故 错误;
若 ,则不 且 ,故 错误;
若 ,则满足 且 ,但 不一定成立,故 错误;
对任一非零向量 是一个与 同向的单位向量,故 正确.
10.
解: 对于 ,因为 所以点 为 的中点,
所以 ,所以 错误,
对于 ,因为点 为 的中点,所以 ,所以 正确,
对于 ,所以 正确,
对于 ,因为 ,所以
，所以 D 正确，
故选: BCD
11. AC
由函数 的图像,
可得函数 的最大值为3,满足 ,所以 ,
又因为函数 的图像过点 ,可得 ,即 ,
因为 ,所以 ,所以 且 ,
对于 ,令 ,可得 ,
令 ,可得 ,所以 的图像关于直线 对称,所以 正确;
对于 ,当 时,可得 ,
所以 不是函数 图像的对称中心,所以 错误;
对于 ,由 ,可得 ,因为函数 在 上为单调递增函数,
所以 在 上单调递增,所以 正确;
对于 ,由函数 ,可得 ,
将其图像向左平移 个单位长度,可得 ,所以 错误.
12.
展开得 ,即 ,
因为 且 ，
所以 ,即 ,故 ,
因此 ,
因为 ，所以 ，
13.
14.
解: ,
即 ,
故 ,当且仅当 时等号成立,
此时 ,
当 ,即 时, 取得最小值 .
15.
(2)
(1)由题意可得， ，
则 ;
(2)由已知， ，
则向量 与 的夹角 的余弦值为 .
16.
(2)
(1)由 ，得 ，
则 ,
所以 .
(2) ，
因为 ,
所以
,
则 .
17. (1) 周期 ; 单调增区间为 ; 对称中心
(2)
(3)
(1)先化简函数:
.
所以函数 的周期 .
由 ,
所以单调增区间为 .
由横坐标为 ,纵坐标为 ,
所以对称中心为 .
( 2 )由 ，得 ， ， 所以 .
(3) ，解得 ，
所以当有 3 个实数根时,依次为 ;
当有 4 个实数根,此时 为临界点,
由条件可知 临界点为开区间,为满足条件,可知 .
18. (1) 6
(2)
(1)如图，作 ，设 ，则 .
因 ,则 ,又 ,
则 . 又 ,则 .
又 ,则 .
由正弦定理: ,
得:
,则 ;
(2)设 ，其中 .
则 ,
,令 ,
则
,当且仅当 时取等号.
则此时 最小,从而 最大.
19. (1)16
(2)
(3)