山东枣庄2025-2026学年下学期高三数学3月二模试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东枣庄2025-2026学年下学期高三数学3月二模试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 70.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
2026 届高三模拟考试 数学试题
2026.03
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若 ,则
A. B. C. 37 D. 65
3. 已知向量 ,若 ,则
A. B. 1
C. D. 6
4. 在平面直角坐标系 中,已知圆 ,圆 , 若圆 与圆 相交,则 的值可以为
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
5. 已知 是定义在 上且周期为 2 的奇函数,当 时, ,则
A. -1 B. 1 C. D.
6. 已知等差数列 中, ,其前 项和为 . 等比数列 中, . 则满足 的 的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 函数 的最小正周期为
A. B. C. D.
8. 如图，以正四面体 的四个顶点为球心，以棱长为半径分别作四个球，它们的公共部分形成的几何体叫做“勒洛四面体”. 若正四面体 的棱长为 4，则
A. 此“勒洛四面体”外接球的体积是
B. 此“勒洛四面体”的内切球的半径是
C. 此“勒洛四面体”表面上交线弧 的长度为
D. 过 三点的截面面积是
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列命题正确的是
A. 若同等容量且足够大的 两组成对数据的样本相关系数分别为 , 则 组数据比 组数据的线性相关性更强
B. 数据1,2,4,5,6,8,9的第 60 百分位数为 6
C. 总体划分为 2 层,通过分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为: ,记总的样本平均数为 ,总的样本方差为 ,则有
D. 根据分类变量 与 的成对样本数据,计算得到 ,依据小概率值 的 独立性检验 ，可判断 与 有关联，此时推断犯错误的概率不大于 0.001
10. 已知函数 ,则
A. 是 的极小值点 B. 有三个不同零点
C. 当 时, D. 当 时,
11. 在锐角 中,角 的对边分别为 ,且 . 则
A. 的面积为 B.
C. 若 ,则 D. 的取值范围为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 过抛物线 的焦点 ，且斜率为 1 的直线交 于 ， 两点，则 _____.
13. 在 中,已知 边上的两条中线 相交于点 ，则 _____.
14. 已知 ， . 则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
设数列 的前 项和为 ,若 .
(1)证明:数列 是等比数列；
(2)设 ，数列 的前 项和记为 ，求 .
16.(15分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，平面 平面 为 的中点,点 为线段 上的动点.
(1)求证:平面 平面 ；
(2)记平面 与平面 的夹角为 ，求 的取值范围.
17. (15 分)
某人工智能实验室要对一款新型学习智能体进行 轮测试(每轮测试的结果相互独立)， 每轮测试中智能体会随机接受 类与 类任务中的一个. 已知该智能体每轮成功完成 类任务的概率均为 ,每轮成功完成 类任务的概率均为 . 成功完成一次 类任务得 1 分,成功完成一次 类任务得 2 分,不成功均得 0 分. 记智能体在第 1 轮测试后的得分为 .
(1)求 的分布列；
(2).记智能体经过 2 轮测试后的总得分为 ，求 ；
(3)每轮测试中智能体成功完成 类或 类任务就称为“过关”. 记 轮测试中智能体过关的次数为 ,求 和 .
18.(17分)
已知椭圆 的右焦点为 ，左，右顶点分别为 ， 并且 上的点到 的最大距离是最小距离的 3 倍.
(1)求 的方程；
(2)若点 是 上异于 ， 的任意一点，直线 与 分别交直线 于 ， 两点.
(i) 求 ;
(ii) 若直线 交 于另一点 ,设点 的纵坐标分别为 ,求证:
19. (17分)
已知 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 有两个实数根 ，证明: ；
(3)若方程 有实根，设 的最大值为 ，证明: .
2026 届高三模拟考试
数学参考答案及评分标准
2026.03
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1-4. B A C B 5-8. A C C D
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。
9. BC 10. ACD 11. ACD
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.8
13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解: (1) 证明: 当 时, ,所以 . 1 分
当 时, ①, ②
②-①得， . 3 分
所以 ,即 . 5 分
又因为 ,
所以，数列 是以 -3 为首项， 为公比的等比数列. 6 分
(2)由(1)知， ，即 . 8 分
所以 . 9 分
记 ③,
④,
③-④得，
11 分
12 分
所以 . 13 分
16. 解:(1)证明:因为底面 为正方形，所以 . 1 分
因为平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 平面 , 3 分
又因为 平面 ,
所以平面 平面 . 4 分
(2)因为 为 的中点，所以 . 5 分
又因为平面 平面 ,平面 平面
所以, 平面 . 6 分
取 的中点为 ,以点 为坐标原点,分别以 , 所在的直线为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则点 ,设点 7 分 ,设平面 的一个法向量 ,则 ,即 ,
令 ,则 ,所以 . 9 分
,设平面 的一个法向量为 ,则 ,即 ,
令 ,则 ,所以 . 11 分
所以 . 13 分
因为 ,
① 当 时， ；
② 当 时， ， . 14 分
综上, 的取值范围是 . 15 分
17. 解: 记“智能体在第 轮测试中接受 类任务”为事件 ;
“智能体在第 轮测试中接受 类任务”为事件 ;
“智能体在第 轮测试中成功完成任务”为事件 .
则 . 2 分
(1)由题意得 的可能取值为 0,1,2 . 3 分
4 分
5 分
6 分
所以 的分布列为
0 1 2
7 12
(2)由题意知 .
7 分
8 分
9 分
所以 . 10 分
所以 . 11 分
(3)记智能体在每轮测试中过关的概率为 ，由题意知 . 12 分
且 . 13 分
所以 . 15 分
18. 解:(1)设 的方程为 ，
由题意知 ,解得 . 1 分
所以, . 2 分
所以 的方程为 . 3 分
(2)(i)设点 ，因为 ， 所以, .
因为 ,所以 ,
所以 . 5 分
同理: ,
所以 ,
所以 . 7 分
所以, , 8 分
又因为点 在 上,所以 ,
所以, . 9 分
所以 . 10 分
(ii) 设 ,由 (i) 知 ,
所以, . 13 分
设直线 的方程为: ,由 得 .
所以, . 14 分
所以 . 15 分
又因为 ,
所以 . 17 分
19. 解: (1) 由题意知, , 1 分
所以, ,又因为 , 2 分
所以,曲线 在 处的切线方程为 ,
即 . 3 分
(2)法一 当 时,方程 可化为 ,
则 ①， ②， 5 分
①-②得 ，即 .
因为 ,所以 . 7 分
又因为 ,
所以 . 9 分
所以 . 10 分
法二 当 时,方程 可化为 ,
原命题等价于当 时,函数 与函数 的图象在 轴右侧有两个交点 ,且 . 5 分
因为 ,
所以,当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增, 6 分
所以, ,于是 . 7 分
设 .
则 8 分
所以,当 时, .
又 ,所以 . 9 分
又因为 在 上单调递增,
所以 ,即 . 10 分
(3)①当 时,方程 可化为 ,
当 时, .
设 ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,又 ,所以 .
所以 ,此时,方程 无解. 12 分
②当 时，方程 可化为 ,
原问题等价于 有解.
设 ,
则 ,
所以, 在 上单调递增. 又因为 ,
所以, 在 上存在唯一的零点 ,且 ,
所以,当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
所以, 在 处取得最小值. 14 分
又因为,当 时, ,当 时,
所以 的取值范围是 的取值范围是
所以 . 15 分
因为当 时, 单调递增, ,所以 .
所以, . 17 分
2026.03
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 若 ,则
A. B. C. 37 D. 65
3. 已知向量 ,若 ,则
A. B. 1
C. D. 6
4. 在平面直角坐标系 中,已知圆 ,圆 , 若圆 与圆 相交,则 的值可以为
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
5. 已知 是定义在 上且周期为 2 的奇函数,当 时, ,则
A. -1 B. 1 C. D.
6. 已知等差数列 中, ,其前 项和为 . 等比数列 中, . 则满足 的 的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 函数 的最小正周期为
A. B. C. D.
8. 如图，以正四面体 的四个顶点为球心，以棱长为半径分别作四个球，它们的公共部分形成的几何体叫做“勒洛四面体”. 若正四面体 的棱长为 4，则
A. 此“勒洛四面体”外接球的体积是
B. 此“勒洛四面体”的内切球的半径是
C. 此“勒洛四面体”表面上交线弧 的长度为
D. 过 三点的截面面积是
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列命题正确的是
A. 若同等容量且足够大的 两组成对数据的样本相关系数分别为 , 则 组数据比 组数据的线性相关性更强
B. 数据1,2,4,5,6,8,9的第 60 百分位数为 6
C. 总体划分为 2 层,通过分层随机抽样,各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为: ,记总的样本平均数为 ,总的样本方差为 ,则有
D. 根据分类变量 与 的成对样本数据,计算得到 ,依据小概率值 的 独立性检验 ，可判断 与 有关联，此时推断犯错误的概率不大于 0.001
10. 已知函数 ,则
A. 是 的极小值点 B. 有三个不同零点
C. 当 时, D. 当 时,
11. 在锐角 中,角 的对边分别为 ,且 . 则
A. 的面积为 B.
C. 若 ,则 D. 的取值范围为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 过抛物线 的焦点 ，且斜率为 1 的直线交 于 ， 两点，则 _____.
13. 在 中,已知 边上的两条中线 相交于点 ，则 _____.
14. 已知 ， . 则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
设数列 的前 项和为 ,若 .
(1)证明:数列 是等比数列；
(2)设 ，数列 的前 项和记为 ，求 .
16.(15分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，平面 平面 为 的中点,点 为线段 上的动点.
(1)求证:平面 平面 ；
(2)记平面 与平面 的夹角为 ，求 的取值范围.
17. (15 分)
某人工智能实验室要对一款新型学习智能体进行 轮测试(每轮测试的结果相互独立)， 每轮测试中智能体会随机接受 类与 类任务中的一个. 已知该智能体每轮成功完成 类任务的概率均为 ,每轮成功完成 类任务的概率均为 . 成功完成一次 类任务得 1 分,成功完成一次 类任务得 2 分,不成功均得 0 分. 记智能体在第 1 轮测试后的得分为 .
(1)求 的分布列；
(2).记智能体经过 2 轮测试后的总得分为 ，求 ；
(3)每轮测试中智能体成功完成 类或 类任务就称为“过关”. 记 轮测试中智能体过关的次数为 ,求 和 .
18.(17分)
已知椭圆 的右焦点为 ，左，右顶点分别为 ， 并且 上的点到 的最大距离是最小距离的 3 倍.
(1)求 的方程；
(2)若点 是 上异于 ， 的任意一点，直线 与 分别交直线 于 ， 两点.
(i) 求 ;
(ii) 若直线 交 于另一点 ,设点 的纵坐标分别为 ,求证:
19. (17分)
已知 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 有两个实数根 ，证明: ；
(3)若方程 有实根，设 的最大值为 ，证明: .
2026 届高三模拟考试
数学参考答案及评分标准
2026.03
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1-4. B A C B 5-8. A C C D
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求。全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有选错的得 0 分。
9. BC 10. ACD 11. ACD
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.8
13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解: (1) 证明: 当 时, ,所以 . 1 分
当 时, ①, ②
②-①得， . 3 分
所以 ,即 . 5 分
又因为 ,
所以，数列 是以 -3 为首项， 为公比的等比数列. 6 分
(2)由(1)知， ，即 . 8 分
所以 . 9 分
记 ③,
④,
③-④得，
11 分
12 分
所以 . 13 分
16. 解:(1)证明:因为底面 为正方形，所以 . 1 分
因为平面 平面 ,平面 平面 ,
所以 平面 , 3 分
又因为 平面 ,
所以平面 平面 . 4 分
(2)因为 为 的中点，所以 . 5 分
又因为平面 平面 ,平面 平面
所以, 平面 . 6 分
取 的中点为 ,以点 为坐标原点,分别以 , 所在的直线为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则点 ,设点 7 分 ,设平面 的一个法向量 ,则 ,即 ,
令 ,则 ,所以 . 9 分
,设平面 的一个法向量为 ,则 ,即 ,
令 ,则 ,所以 . 11 分
所以 . 13 分
因为 ,
① 当 时， ；
② 当 时， ， . 14 分
综上, 的取值范围是 . 15 分
17. 解: 记“智能体在第 轮测试中接受 类任务”为事件 ;
“智能体在第 轮测试中接受 类任务”为事件 ;
“智能体在第 轮测试中成功完成任务”为事件 .
则 . 2 分
(1)由题意得 的可能取值为 0,1,2 . 3 分
4 分
5 分
6 分
所以 的分布列为
0 1 2
7 12
(2)由题意知 .
7 分
8 分
9 分
所以 . 10 分
所以 . 11 分
(3)记智能体在每轮测试中过关的概率为 ，由题意知 . 12 分
且 . 13 分
所以 . 15 分
18. 解:(1)设 的方程为 ，
由题意知 ,解得 . 1 分
所以, . 2 分
所以 的方程为 . 3 分
(2)(i)设点 ，因为 ， 所以, .
因为 ,所以 ,
所以 . 5 分
同理: ,
所以 ,
所以 . 7 分
所以, , 8 分
又因为点 在 上,所以 ,
所以, . 9 分
所以 . 10 分
(ii) 设 ,由 (i) 知 ,
所以, . 13 分
设直线 的方程为: ,由 得 .
所以, . 14 分
所以 . 15 分
又因为 ,
所以 . 17 分
19. 解: (1) 由题意知, , 1 分
所以, ,又因为 , 2 分
所以,曲线 在 处的切线方程为 ,
即 . 3 分
(2)法一 当 时,方程 可化为 ,
则 ①， ②， 5 分
①-②得 ，即 .
因为 ,所以 . 7 分
又因为 ,
所以 . 9 分
所以 . 10 分
法二 当 时,方程 可化为 ,
原命题等价于当 时,函数 与函数 的图象在 轴右侧有两个交点 ,且 . 5 分
因为 ,
所以,当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增, 6 分
所以, ,于是 . 7 分
设 .
则 8 分
所以,当 时, .
又 ,所以 . 9 分
又因为 在 上单调递增,
所以 ,即 . 10 分
(3)①当 时,方程 可化为 ,
当 时, .
设 ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,又 ,所以 .
所以 ,此时,方程 无解. 12 分
②当 时，方程 可化为 ,
原问题等价于 有解.
设 ,
则 ,
所以, 在 上单调递增. 又因为 ,
所以, 在 上存在唯一的零点 ,且 ,
所以,当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
所以, 在 处取得最小值. 14 分
又因为,当 时, ,当 时,
所以 的取值范围是 的取值范围是
所以 . 15 分
因为当 时, 单调递增, ,所以 .
所以, . 17 分
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