江西五市十校2025-2026学年下学期高三数学3月联考试卷（含答案）

数学试卷
(考试时间:120 分钟，试卷满分:150 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 设集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 在复平面内,复数 对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知 ,且 ,则 “ ” 是 “ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 将函数 图象上的所有点向左平移 个单位后,得到的函数图象关于点 中心对称,则 ( )
A. B. c. D.
5. 设 是定义在 上的偶函数,且满足 ,当 时, ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 设数列 满足 ，则 的前 2026 项和为( )
A. B. C. D.
7. 已知双曲线 与椭圆 的焦点重合，其离心率为椭圆离心率的 8 倍,设 分别为双曲线 的左,右焦点, 为右支上任意一点,则 的最小值为 ( )
A. B. 4
C. D. 3
8. 已知实数 ,则 的最小值为( )
A. 1 B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列结论正确的是( )
A. 一组数据7,8,8,9,11,13,15,18,20,22的第 80 百分位数为 18
B. 若随机变量 满足 ,则
C. 若随机变量 ，且 ，则
D. 若回归方程为 ，则变量 与 成负相关
10. 若 ，数列 的前 项和为 ，且 ，则下列说法正确的是( )
A. 关于点 成中心对称 B. 数列 是等差数列
c. D. 数列 的通项公式为
11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱 组合而成, 是 上的动点. 则()
A. 为 的中点时,平面 平面
B. 为 的中点时,异面直线 与 之间的距离为
C. 三棱锥 体积的最大值为
D. 为 所在直线上的动点，则 的最大值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 设 ，则 _____.(用数字作答)。
13. 已知向量 ，则 的最大值是_____.
14. 已知 是函数 的极小值点，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知锐角 的三个内角 所对的边分别为 ,
.
(1)求角 的大小；
(2)求 的取值范围.
16. (本小题满分 15 分)
2025 年举办的江西省城市足球联赛(简称“赣超”)深受广大市民的喜爱，66 个场次累计 123 万人次现场观看了比赛.为了解喜欢观看“赣超”联赛与性别是否有关系，随机抽取了部分市民，调查他们是否喜欢观看“赣超”联赛的情况，得到如下表格:
性别 不喜欢观看“赣超”联赛 喜欢观看“锁超”联赛
男性 25 150
女性 50 75
(1)是否有99%的把握认为喜欢观看“赣超”联赛与性别有关；
(2)用频率估计概率，从喜欢观看“赣超”联赛的市民中随机抽取 3 人参加抽奖活动，记这 3 人中女性人数为 ,求 的分布列和数学期望.
附:
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17. (本小题湖分 15 分)
如图，在直三棱柱 中， ， 为 的中点，已知
(1)求证:无论 取何值， 与 不可能垂直；
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，
求 .
18.(本小题满分 17 分)
已知函数 ,
(1)求函数 的极值;
(2)若 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，函数 ，若存在 ， ，使得 ， 求证: .
19. (本小题满分 17 分)
已知点 与 关于直线 对称,点 在抛物线 上,点 是抛物线 的焦点.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)直线 与抛物线的另一个交点为 ，直线 与直线 交于点 (异于 )，与抛物线交于点 ,连接 并延长,交抛物线于点 ,直线 与 轴相交于点 ,直线 与直线 相交于点 ,线段 的中点为 ,线段 的中点为 .
(i) 求证: 三点共线;
(ii) 设 的面积为 的面积为 ,若 ,求 的取值范围.
数学试卷参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C D B B A C
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 CD ABC ABD
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 60 13. 3
14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
解: (1)
,
,由正弦定理得,
所以 ,又 ,所以 6 分
(2)因为 为锐角三角形，所以 ， 8 分 . 11 分
所以 的取值范围是 3 分
16.(本小题满分 15 分)
【解】( 1 ) 列联表如下:
性别 不喜欢观看“赣超”联赛 喜欢观看“藏超”联赛 合计
男性 25 150 175
女性 50 75 125
合计 75 225 300
2 分
经计算 . 6 分
有99%的把握认为喜欢观看“标进口依赛与出别有关 7 分
(2)从喜欢观看“模超”联赛的市民中随机抽取 1 人，抽到女性的概率为 , 易知 可取0,1,2,3. 9 分
13 分
的分布列为:
父 0 1 2 3
8 27 4 9 2 9
. 15 分
17. (本小题满分 15 分)
(1)证明:假设 . ，
因为三棱柱 是直三棱柱，
又 ， 为 的中点，
所以 ，所以 ，又 ，
有 ，所以 ，因为 ，
所以 平面 , 4 分
因为 平面 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,这与 矛盾,所以假设不成立, 所以无论 取何值， 与 不可能垂直. 句分
(2)由题可得，分别以 ， 所在直线为 轴，过点 且垂直平面 向上为 轴,建立如图空间直角坐标系.
所以 ,
所以 8 分
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ,即 ,
取 ,可得 , 10 分
设平面 的一个法向量为 ,
所以 ,即 ,
取 ,可得 , 12 分
记平面 与平面 夹角为 ,所以
解得: . 15 分
18.(本小题湖分 17 分)
解: (1)
当 时, 在 上单调递增, 无极值; 1 分
当 时,令 得, ; 令 得, ,
故 在 . 上单调递增,在 上单调递减
有极大值 ,无极小值
综上: 当 时, 无极值;
当 时, 有极大值 ,无极小值. 4 分
(2)因为 ，所以 ，
所以
令
, 分外
所以 在 上单调递增,
当 时， ， 在 上单调递增，
,符合题意; 7 分
当 时， ， ，
所以存在 ,使得 ,当 时, ,
在 上单调递减， ，不合题意，舍去.
综上,实数 的取值范围是 10 分
(3)由圆意得 .
由 ,得 ,
所以 ,
两边同除以 ,得 , 12 分
所以 令 ,
得 ，所以 ， 14 分因为 ,
所以 ,
因为 ,不妨设 .
易知 ,所以 ,又 ,所以 , 故 ，所以 . 17 分
19.(本小题满分 17 分)
解(1) 与 关于直线 对称，设 则
所以 的方程为 . 2 分
(2)(i)由题意可得 ， ，推立 与 ，可得 ， 由于 ，故 ，故 ，
则 ,化简可得 ,
联立 与 ,可得 ,
故 ,进而可得 ,故 4 分
. 故直线 ,
联立 与 ,得 ,
因此 , 6 分
故 ,即 ,
直线 ,令 ,则 ,故 , .8 分
,因此 ,又 有公共点,
故 三点共线. 10 分
(ii) 由题意 . 11 分设 , 则 ,
14 分
由 得
和 ,
得 ,
得 ,得 ,
得 ，得 ，又因 ，得 16 分
又直线 不经过点 ,故 ,所以 的取值范围为 17 分