陕西咸阳2025-2026学年下学期高三数学3月二模试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 陕西咸阳2025-2026学年下学期高三数学3月二模试卷（含答案） |
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|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 75.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
咸阳市 2026 年高考模拟检测(二) 数学试题
注意事项:
1. 本试卷共 4 页，满分 150 分，时间 120 分钟.
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
学校
3. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 涂写在本试卷上无效.
4. 作答非选择题时,将答案书写在答题卡上,书写在本试卷上无效.
5. 考试结束后, 监考员将答题卡按顺序收回, 装袋整理;试卷不回收.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
1. 已知 ,则 的虚部为
A. 4 B. -4 C. 4i D.
2. 已知全集 ,集合 ,则
A. B. C. D.
3. 若双曲线 的一个焦点到两渐近线的距离之和为 ,则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
4. 已知 是三个不同的平面, 是两条不同的直线,且 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 窗花是中国古老的传统民间艺术之一, 如图 1 是一个正八边形窗花, 正八边形边长为 2 , 图 2 是该窗花的几何示意图形,则
(第 5 题图)
A. B. -2 C. D.
6. 一组数据1,2,2,3,5,8,10,11,13,15的第 80 百分位数为 ,从这组数据中随机取两个数,这两个数都小于 的概率为
A. B. C. D.
7. 内角 所对边分别为 ,若 ,则 的值为
A. 2 B. 6 C. 4 D. 8
8. 已知 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知点 在抛物线 上, 为其焦点,则
A. 抛物线 的准线方程为 B. 的坐标为
C. 若 ,则 D.
(第 10 题图)
10. 如图所示,在正方体 中,点 是棱 上的一个动点 (不包括端点),平面 交棱 于点 ,则下列说法正确的是
A. 存在点 ，使得 为直角
B. 对于任意点 ，都有直线 平面
C. 对于任意点 ,都有平面 平面
D. 三棱锥 的体积为定值
11. 将函数 图象向右平移 个单位长度得到 图象,若 , ,则下列说法正确的是
A. 当 时, 值域为
B. 若 图象关于点 对称，则 的最小值为 1
C. 若 对于任意实数 都成立，则 的最小值为
D. 若 在 上单调递增，则 的取值范围为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知曲线 在点 处的切线与直线 平行,则 _____.
13. 行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具, 最简单的二阶行列式的运算定义如下: . 已知 是各项为正的等比数列, 是其前 项和,若 ,则 的值为_____.
14. 已知 ,若对于任意 ,不等式 恒成立,则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知数列 都是等差数列,公差分别为 ,数列 满足 .
(1)证明:数列 是等差数列；
(2)若 ，设 ，求数列 的前 项和 .
16. (本小题满分 15 分)
2026 年央视马年春晚节目《武 BOT》将传统武术与现代科技完美融合，“人机共武”完成了棍术攻防、醉拳互动、双节棍对练及极限空翻等高难度表演动作，不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新，其中高空弹射空翻转体完成后，稳准落地让人震撼. 研究人员将机器人极限空翻动作划分为空翻转体和稳准落地两个环节，在空翻转体环节中，每个机器人完成空翻转体的概率均为 0.9 ；在落地环节，机器人的表现存在差异:若空翻转体完成，则稳准落地的概率为 0.8 ；若空翻转体未完成，则稳准落地的概率为 0.1 . 在极限空翻这个表演中，假设每个机器人完成动作互不影响.
(1)如果随机抽取 3 个机器人，记 为完成空翻转体的机器人人数，求 的分布列及数学期望；
(2)如果随机抽取一个机器人，已知其稳准落地，求其空翻转体完成的概率.
17. (本小题满分 15 分)
如图 1,在等腰梯形 中, ,将四边形 沿 进行折叠，使 到达 位置，且平面 平面 ，连接 (如图 2).
(第 17 题图)
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)若 四点在一个球面上,求这个球的体积.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的两焦点分别是 ,左顶点为 是椭圆 上任意一点, 的周长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)动圆 的圆心坐标为 ，过点 作圆 的两条切线，分别交椭圆 于 、 两点， 、 两点与 不重合,若直线 的斜率分别为 ,求证: ;
(3)设存在斜率的直线 与椭圆 交于 两点(不是左右顶点),若以线段 为直径的圆经过点 ,试判断直线 是否恒过定点,若是,求出该定点坐标; 若不是,说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 时,讨论 的单调性;
(2)当 时,试求出正整数 的最小值,使 存在唯一的极值点;
(3)若 在 上有零点,求证: .
2026 年高考模拟检测(二)
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.B 2. A 3.C 4. A 5. C 6. D 7. B 8. C
二、选择题; 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 若有两个正确选项, 则选对一个得 3 分, 全部选对得 6 分; 若有 3 个正确选项, 则选对一个得 2 分, 选对两个得 4 分, 全部选对得 6 分; 有选错的得 0 分.
9. ACD 10. CD 11. BCD
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 13. 14.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解: (1) 证明: 因为 , 所以数列 是以 为首项, 为公差的等差数列. (5 分)
(2)因为 ，
所以 , (9 分)
所以 ,
所以 . (13 分)
16. 解: (1) 由题意得 ,
则 的分布列为:
0 1 2 3
0.001 0.027 0.243 0.729
数学期望为 . (7 分)
(2)设事件 为“一个机器人空翻转体完成”，事件 为“一个机器人稳准落地”.
根据题意 , , (15 分) 17. 解:(1)证明:因为 平面 平面 ，
则 平面 ,
又 平面 平面 ,
则 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 . (6 分)
(2)因为四边形 为等腰梯形， ，又平面 平面 ，所以 两两垂直,则建立如图所示的空间直角坐标系 ,由已知得 ,
设平面 的法向量为 ,
则 即
取 ,则 ,所以 .
设平面 的法向量为 ,
则 即
取 ,则 ,所以 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 .
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . (12 分)
(3)因为 四点在一个球面上，所以该球可看成是以 为长、宽、高的长方体的外接球，故该外接球的直径为 ，所以所求球的体积为 . (15 分)
18. 解:(1)因为椭圆 左顶点为 ，所以 ，
的周长为 ,则 ,所以 .
所以椭圆 的标准方程为 . (4 分)
(2)证明:易知过点 的圆 的切线斜率存在，则设切线的方程为 ，动圆 的半径为 ，
由已知得 ,化简得 ,
当 时,过点 的两条切线的方程分别为 ,与条件矛盾;
当 时, 和 是方程 的两根,
由韦达定理知， . (9 分)
(3)直线 恒过定点. (10 分)
设直线 的方程为 ,
联立 消去 可得 ,
设 ,
则 是方程 的两个根,
所以 , (12 分)
因为以 为直径的圆经过点 ,所以 ,
又 ,
所以 ,①
又 ,
所以 ,
将 代入①式，
可得 ,解得 或 , (15 分)
当 时,直线 的方程为 ,与已知矛盾,所以 ;
当 时,直线 的方程为 ,直线 过定点 ;
当 时,直线 的方程为 ,直线 过定点 ,矛盾.
所以直线 恒过定点 . (17 分)
19. 解: (1) 当 时,函数 ,其定义域为 ,求导得 ,
当 时, 在 上恒成立,所以 在 上单调递增.
当 时,令 ,解得 ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减.
综上,当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减. (5 分)
(2)当 时， ，
设 ,
当 时, ,
易知 ,且 时, 时, ,则 1 为 的极大值点,
而 ,
则存在 ,使 ,即 应为 的另一极值点,知 时不成立. (8 分)
当 时, ,则 ,
当 时, 恒成立,得 在 上单调递减,
又 ,所以 在 内存在唯一零点 ,
即 在 内存在唯一极值点 ;
当 时, ,所以 ,则 单调递减,无极值;
当 时, ,则 单调递减,无极值.
故 符合要求.
综上,正整数 的最小值为 2,使 存在唯一的极值点. (11 分)
(3)证明: 在 上有零点，所以 ，即 有实数根，
设 在 上的零点为 ,则 ,
则点 为直线 上一点,
所以 表示点 到原点的距离,
则 ,即 ,
设 ,则 ,
所以函数 在 上单调递减,则 ,
即 ,又 ,则 , (14 分)
设 ,则 ,令 ,得 ,令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 ,即 . (17 分)
注意事项:
1. 本试卷共 4 页，满分 150 分，时间 120 分钟.
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
学校
3. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 涂写在本试卷上无效.
4. 作答非选择题时,将答案书写在答题卡上,书写在本试卷上无效.
5. 考试结束后, 监考员将答题卡按顺序收回, 装袋整理;试卷不回收.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.
1. 已知 ,则 的虚部为
A. 4 B. -4 C. 4i D.
2. 已知全集 ,集合 ,则
A. B. C. D.
3. 若双曲线 的一个焦点到两渐近线的距离之和为 ,则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
4. 已知 是三个不同的平面, 是两条不同的直线,且 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 窗花是中国古老的传统民间艺术之一, 如图 1 是一个正八边形窗花, 正八边形边长为 2 , 图 2 是该窗花的几何示意图形,则
(第 5 题图)
A. B. -2 C. D.
6. 一组数据1,2,2,3,5,8,10,11,13,15的第 80 百分位数为 ,从这组数据中随机取两个数,这两个数都小于 的概率为
A. B. C. D.
7. 内角 所对边分别为 ,若 ,则 的值为
A. 2 B. 6 C. 4 D. 8
8. 已知 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知点 在抛物线 上, 为其焦点,则
A. 抛物线 的准线方程为 B. 的坐标为
C. 若 ,则 D.
(第 10 题图)
10. 如图所示,在正方体 中,点 是棱 上的一个动点 (不包括端点),平面 交棱 于点 ,则下列说法正确的是
A. 存在点 ，使得 为直角
B. 对于任意点 ，都有直线 平面
C. 对于任意点 ,都有平面 平面
D. 三棱锥 的体积为定值
11. 将函数 图象向右平移 个单位长度得到 图象,若 , ,则下列说法正确的是
A. 当 时, 值域为
B. 若 图象关于点 对称，则 的最小值为 1
C. 若 对于任意实数 都成立，则 的最小值为
D. 若 在 上单调递增，则 的取值范围为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知曲线 在点 处的切线与直线 平行,则 _____.
13. 行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具, 最简单的二阶行列式的运算定义如下: . 已知 是各项为正的等比数列, 是其前 项和,若 ,则 的值为_____.
14. 已知 ,若对于任意 ,不等式 恒成立,则 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知数列 都是等差数列,公差分别为 ,数列 满足 .
(1)证明:数列 是等差数列；
(2)若 ，设 ，求数列 的前 项和 .
16. (本小题满分 15 分)
2026 年央视马年春晚节目《武 BOT》将传统武术与现代科技完美融合，“人机共武”完成了棍术攻防、醉拳互动、双节棍对练及极限空翻等高难度表演动作，不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新，其中高空弹射空翻转体完成后，稳准落地让人震撼. 研究人员将机器人极限空翻动作划分为空翻转体和稳准落地两个环节，在空翻转体环节中，每个机器人完成空翻转体的概率均为 0.9 ；在落地环节，机器人的表现存在差异:若空翻转体完成，则稳准落地的概率为 0.8 ；若空翻转体未完成，则稳准落地的概率为 0.1 . 在极限空翻这个表演中，假设每个机器人完成动作互不影响.
(1)如果随机抽取 3 个机器人，记 为完成空翻转体的机器人人数，求 的分布列及数学期望；
(2)如果随机抽取一个机器人，已知其稳准落地，求其空翻转体完成的概率.
17. (本小题满分 15 分)
如图 1,在等腰梯形 中, ,将四边形 沿 进行折叠，使 到达 位置，且平面 平面 ，连接 (如图 2).
(第 17 题图)
(1)求证:平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)若 四点在一个球面上,求这个球的体积.
18. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的两焦点分别是 ,左顶点为 是椭圆 上任意一点, 的周长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)动圆 的圆心坐标为 ，过点 作圆 的两条切线，分别交椭圆 于 、 两点， 、 两点与 不重合,若直线 的斜率分别为 ,求证: ;
(3)设存在斜率的直线 与椭圆 交于 两点(不是左右顶点),若以线段 为直径的圆经过点 ,试判断直线 是否恒过定点,若是,求出该定点坐标; 若不是,说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 时,讨论 的单调性;
(2)当 时,试求出正整数 的最小值,使 存在唯一的极值点;
(3)若 在 上有零点,求证: .
2026 年高考模拟检测(二)
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.B 2. A 3.C 4. A 5. C 6. D 7. B 8. C
二、选择题; 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 若有两个正确选项, 则选对一个得 3 分, 全部选对得 6 分; 若有 3 个正确选项, 则选对一个得 2 分, 选对两个得 4 分, 全部选对得 6 分; 有选错的得 0 分.
9. ACD 10. CD 11. BCD
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 13. 14.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解: (1) 证明: 因为 , 所以数列 是以 为首项, 为公差的等差数列. (5 分)
(2)因为 ，
所以 , (9 分)
所以 ,
所以 . (13 分)
16. 解: (1) 由题意得 ,
则 的分布列为:
0 1 2 3
0.001 0.027 0.243 0.729
数学期望为 . (7 分)
(2)设事件 为“一个机器人空翻转体完成”，事件 为“一个机器人稳准落地”.
根据题意 , , (15 分) 17. 解:(1)证明:因为 平面 平面 ，
则 平面 ,
又 平面 平面 ,
则 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面 . (6 分)
(2)因为四边形 为等腰梯形， ，又平面 平面 ，所以 两两垂直,则建立如图所示的空间直角坐标系 ,由已知得 ,
设平面 的法向量为 ,
则 即
取 ,则 ,所以 .
设平面 的法向量为 ,
则 即
取 ,则 ,所以 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 .
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 . (12 分)
(3)因为 四点在一个球面上，所以该球可看成是以 为长、宽、高的长方体的外接球，故该外接球的直径为 ，所以所求球的体积为 . (15 分)
18. 解:(1)因为椭圆 左顶点为 ，所以 ，
的周长为 ,则 ,所以 .
所以椭圆 的标准方程为 . (4 分)
(2)证明:易知过点 的圆 的切线斜率存在，则设切线的方程为 ，动圆 的半径为 ，
由已知得 ,化简得 ,
当 时,过点 的两条切线的方程分别为 ,与条件矛盾;
当 时, 和 是方程 的两根,
由韦达定理知， . (9 分)
(3)直线 恒过定点. (10 分)
设直线 的方程为 ,
联立 消去 可得 ,
设 ,
则 是方程 的两个根,
所以 , (12 分)
因为以 为直径的圆经过点 ,所以 ,
又 ,
所以 ,①
又 ,
所以 ,
将 代入①式，
可得 ,解得 或 , (15 分)
当 时,直线 的方程为 ,与已知矛盾,所以 ;
当 时,直线 的方程为 ,直线 过定点 ;
当 时,直线 的方程为 ,直线 过定点 ,矛盾.
所以直线 恒过定点 . (17 分)
19. 解: (1) 当 时,函数 ,其定义域为 ,求导得 ,
当 时, 在 上恒成立,所以 在 上单调递增.
当 时,令 ,解得 ,
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减.
综上,当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递增,在 上单调递减. (5 分)
(2)当 时， ，
设 ,
当 时, ,
易知 ,且 时, 时, ,则 1 为 的极大值点,
而 ,
则存在 ,使 ,即 应为 的另一极值点,知 时不成立. (8 分)
当 时, ,则 ,
当 时, 恒成立,得 在 上单调递减,
又 ,所以 在 内存在唯一零点 ,
即 在 内存在唯一极值点 ;
当 时, ,所以 ,则 单调递减,无极值;
当 时, ,则 单调递减,无极值.
故 符合要求.
综上,正整数 的最小值为 2,使 存在唯一的极值点. (11 分)
(3)证明: 在 上有零点，所以 ，即 有实数根，
设 在 上的零点为 ,则 ,
则点 为直线 上一点,
所以 表示点 到原点的距离,
则 ,即 ,
设 ,则 ,
所以函数 在 上单调递减,则 ,
即 ,又 ,则 , (14 分)
设 ,则 ,令 ,得 ,令 ,得 ,
所以函数 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 ,即 . (17 分)
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