陕西商洛2025-2026学年下学期高三数学3月一模试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 陕西商洛2025-2026学年下学期高三数学3月一模试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 100.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
数 学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:高考范围。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ,则
A. B. 2 C. D. 10
3. 已知向量 ，且 ，则 的值为
A. -2 B. 2 C. -8 D. 8
4. 函数 的图象的一个对称中心可以为
A. B. C. D.
5. 二项式 的展开式中常数项为
A. 10 B. -10 C. 5 D. -5
6. 已知椭圆 的两焦点分别为 是 上任意一点,则 的最大值
A. 只与 有关 B. 只与 有关 C. 与 和 都有关 D. 与 都无关
7. 已知 ,则
A. B. C. D.
8. 已知点 ,若直线 上存在点 满足 ,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A. 直线 的倾斜角为
B. 直线 经过第一、二、三象限
C. 直线 与直线 之间的距离是
D. 过点 且在 轴, 轴上的截距相等的直线方程为
10. 下列函数中最小值为 4 的是
A. B.
C.
D.
11. 如图，正四棱锥 与正四棱锥 的底面重合，且 ， 为棱 上一点,则
A. 平面
B. 正四棱锥 的体积为
C. 的最小值为
D. 点 到平面 的距离为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 某平台统计了“十一”期间在一款 App 上的购买电影票情况:
日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日
购票数量(单位:万张) 2.5 4.0 5.5 7.8 6.5 4.8 2.1 1.9
则“十一”期间 App 上的购票数据的 60% 分位数为_____.
13. 在 中， ，其面积为 ，则 _____.
14. 已知函数 满足 ，若函数 与 的图象有 6 个交点,交点横坐标为 ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
已知等差数列 的前 项和为 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 .
16.(本小题满分 15 分)
如图，在直四棱柱 中，底面 是正方形， 分别是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)
为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取 2000 名得到如下列联表:
效果明显 效果不明显 合计
甲方案 1 000 200 1 200
乙方案 600 200 800
合计 1600 400 2000
(1)根据小概率值 的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
(2)在 800 名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取 8 人，再从这 8 名患者中随机抽取 4 人，设 表示 4 名患者中效果不明显的人数，求 的分布列和数学期望.
附: .
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
18. (本小题满分 17 分)
设函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线经过点 ，求实数 的值；
(2)讨论 的单调性；
(3)若存在正实数 ，使得对 ，都有 ，求 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上， .
(1)求 的方程；
(2)设 ，直线 过焦点 ，与 交于 ， 两点，直线 ， 分别交 于另两点 ， . ①求 的面积的最小值；
②试判断直线 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
参考答案、提示及评分细则
1. A 由 得, . 故选 A.
2. C 因为 ,所以 ,所以 . 故选 C.
3. A 因为 ,且 ,所以 ,解得 . 故选 A.
4. A 令 ,解得 ,令 ,则函数 的图象的对称中心可以为 . 故选 A.
5. D 二项式 展开式的通项为 ,令 ,解得 ,所以二项式 的展开式中常数项为 . 故选 D.
6. 因为 ,所以 ,所以 ,当且仅当 时等号成立,所以 的最大值只与 有关. 故选 B.
7. 因为 ,所以 ,由 可得 ,即 ,也即 ,所以 . 故选 B.
8.B 因为 ,故 在双曲线的右支上,而半焦距 ,实半轴长为 1,故双曲线右支的方程为 ,故渐近线方程为 ,而直线 与双曲线右支有公共点,故 . 故选 B.
9. 直线 的斜率为 ，则其倾斜角为 ，故 A 正确；直线的斜率为 2，在 轴， 轴上的截距分别为 、 5，故直线经过第一、二、三象限，故 正确；直线 与直线 ，即 间的距离 ，故 正确；当直线的截距不为 0 时，设直线的方程为 1,把点 代入直线,得 ,所以直线方程为 ; 当截距为 0 时,设直线方程为 ,把点 代入直线,得 ,直线方程为 ,故 D 错误. 故选 ABC.
10. 令 ,可得 ,所以 4 不是 的最小值,故 错误; 因为 ,则 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,所以 的最小值为 4,故 正确; 因为 ,当且仅当 时等号成立,又 ,所以 的最小值为 4,故 正确; 因为 ,又
4,当且仅当 ,即 时等号成立,但 ,所以 的最小值不为 4, 故 D 错误. 故选 BC.
11. 如图 1,连接 ,由题意知 相交于点 ,且被点 平分,所以四边形 是平行四边形,所以 ,而 平面 平面 ,所以 平面 ,故 正确; 在正方形 中, ,所以 ,又 平面 ,所以 ,所以四棱锥 的体积为 ,故 B 错误; 因为 为棱 上一点,将 和 展开成一个平面 (如图 2),由题意知 和 都是边长为 2 的正三角形,由三角形两边之和大于第三边知 的最小值为 ,在 中,由余弦定理,得 ,故 C 正确; 设点 到平面 的距离为 ，则三棱锥 的体积 ，又 ,所以 ,解得 ,故 D 错误. 故选 AC.
图 1
图 2
12.4.8 “十一”期间 App 上的购票数据从小到大排列为: 1.9,2.1,2.5,4.0,4.8,5.5,6.5,7.8,因为 ,所以数据的 分位数为排列后的第 5 个数: 4.8 .
13. 因为 ，所以 ，所以 ，由余弦定理得到 ,解得 .
14.12 由 知 的图象关于直线 对称,又 的图象也关于直线 对称, 所以函数 与 的图象有 6 个交点,分 3 对分别关于直线 对称,每对交点的横坐标之和为 4,所以 .
15. 解:(1)设等差数列 的公差为 ，由题意知 2 分
解得 , 4 分
所以 的通项公式为 . 6 分
(2)由题知 , 8 分
所以
. 13 分
16. ( 1 )证明:取 中点 ，连接 ， .
因为在直棱柱中,四边形 是矩形,对角线 与 的交点是 与 的中点,
因为 是 的中点,所以 是 的中点, 2 分
又直四棱柱 中, ,
所以 ,所以四边形 是平行四边形,
所以 即 ,
因为 是 的中点,所以 ,所以 ,
所以四边形 是平行四边形,所以 . 5 分
又 平面 平面 ,
所以 平面 . 7 分
(2)解:以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系:
则点 . 9 分
则 . 11 分
设平面 的法向量为 ,则由 得
令 ,得平面 的一个法向量 , 13 分
设直线 与平面 所成角为 ,则 . 15 分
17. 解:(1)零假设为 ；治疗效果与选择甲、乙方案无关联，
4 分
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,故治疗效果与选择甲、乙方案有关联. 6 分
(2)根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取 名，从效果不明显的患者中抽取 名, 7 分
的取值分别为0,1,2, 8 分
则 , 11 分
所以 的分布列为
0 1 2
1
13 分
15 分
18. 解:(1)因为 ，所以 ， 1 分
,所以曲线 在点 处的切线为 , 2 分
又切线过点 ,所以 ,所以 . 3 分
(2) 的定义域为 ， ，
当 时， ， 在 上单调递增； 4 分
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 ; 由 ,得 , 所以 在 上单调递减,在 上单调递增. 6 分
(3)当 时， 在 上单调递增，由 知 时， , 7 分
当 时,由 (2) 知当 ,即 时, 对 成立, 8 分
所以 时,存在正实数 ,使得对 ,从而 化为 ; 9 分
当 ,即 时,由 (2) 知 在 上单调递减, , 化为 即 , 10 分
① 时，令 ，则 ，
当 时, 在 单调递增,存在正实数 ,使得对 , 11 分
当 时,由 得 ,由 得 得 ,所以
的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ,要存在正实数 ,使得对 ,则 ,所以 ; 13 分
② 当 时，令 ，要存在正实数 ，使得对 ,则存在正实数 在 上单调递减, 对 成立, 14 分
当 时, ,当 时,由 得 ,从而 , 所以 . 16 分
综合①②知， 的取值范围为 . 17 分
19. 解: (1) 的焦点 ,准线方程为 , 1 分
因为点 在 上, ,所以 , 2 分
所以 的方程为 . 3 分
(2)① ，设 为 ，代入 ，消去 ，得 . 4 分
设 ,则 . 5 分
所以 , 6 分
又 ,所以 的面积为 ,当且仅当 时,取等号, 所以 的面积的最小值为 2 . 8 分
② 设 ，又 ，
直线 的方程为 ,与 方程联立,消去 得 , 10 分又 是直线 与 的交点,所以 , 11 分
同理 ,所以 , 12 分
当 时, ,直线 与 轴垂直, 与 轴的交点为 , 13 分
当 时, ,直线 的斜率 . 15 分
此时,可设直线 的方程为 ,与 联立,消去 得 ,所以 ,
又 ,所以 ,
所以 的方程化为 ,直线过 . 16 分
综上,直线 过定点 . 17 分
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:高考范围。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ,则
A. B. 2 C. D. 10
3. 已知向量 ，且 ，则 的值为
A. -2 B. 2 C. -8 D. 8
4. 函数 的图象的一个对称中心可以为
A. B. C. D.
5. 二项式 的展开式中常数项为
A. 10 B. -10 C. 5 D. -5
6. 已知椭圆 的两焦点分别为 是 上任意一点,则 的最大值
A. 只与 有关 B. 只与 有关 C. 与 和 都有关 D. 与 都无关
7. 已知 ,则
A. B. C. D.
8. 已知点 ,若直线 上存在点 满足 ,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列说法正确的是
A. 直线 的倾斜角为
B. 直线 经过第一、二、三象限
C. 直线 与直线 之间的距离是
D. 过点 且在 轴, 轴上的截距相等的直线方程为
10. 下列函数中最小值为 4 的是
A. B.
C.
D.
11. 如图，正四棱锥 与正四棱锥 的底面重合，且 ， 为棱 上一点,则
A. 平面
B. 正四棱锥 的体积为
C. 的最小值为
D. 点 到平面 的距离为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 某平台统计了“十一”期间在一款 App 上的购买电影票情况:
日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日
购票数量(单位:万张) 2.5 4.0 5.5 7.8 6.5 4.8 2.1 1.9
则“十一”期间 App 上的购票数据的 60% 分位数为_____.
13. 在 中， ，其面积为 ，则 _____.
14. 已知函数 满足 ，若函数 与 的图象有 6 个交点,交点横坐标为 ,则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
已知等差数列 的前 项和为 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 .
16.(本小题满分 15 分)
如图，在直四棱柱 中，底面 是正方形， 分别是 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)
为研究甲、乙两种治疗方案的疗效，从选择甲、乙方案进行治疗的患者中随机抽取 2000 名得到如下列联表:
效果明显 效果不明显 合计
甲方案 1 000 200 1 200
乙方案 600 200 800
合计 1600 400 2000
(1)根据小概率值 的独立性检验，分析治疗效果与选择甲、乙方案是否有关联；
(2)在 800 名选择乙方案的患者中按效果是否明显用分层随机抽样的方法抽取 8 人，再从这 8 名患者中随机抽取 4 人，设 表示 4 名患者中效果不明显的人数，求 的分布列和数学期望.
附: .
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
18. (本小题满分 17 分)
设函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线经过点 ，求实数 的值；
(2)讨论 的单调性；
(3)若存在正实数 ，使得对 ，都有 ，求 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上， .
(1)求 的方程；
(2)设 ，直线 过焦点 ，与 交于 ， 两点，直线 ， 分别交 于另两点 ， . ①求 的面积的最小值；
②试判断直线 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
参考答案、提示及评分细则
1. A 由 得, . 故选 A.
2. C 因为 ,所以 ,所以 . 故选 C.
3. A 因为 ,且 ,所以 ,解得 . 故选 A.
4. A 令 ,解得 ,令 ,则函数 的图象的对称中心可以为 . 故选 A.
5. D 二项式 展开式的通项为 ,令 ,解得 ,所以二项式 的展开式中常数项为 . 故选 D.
6. 因为 ,所以 ,所以 ,当且仅当 时等号成立,所以 的最大值只与 有关. 故选 B.
7. 因为 ,所以 ,由 可得 ,即 ,也即 ,所以 . 故选 B.
8.B 因为 ,故 在双曲线的右支上,而半焦距 ,实半轴长为 1,故双曲线右支的方程为 ,故渐近线方程为 ,而直线 与双曲线右支有公共点,故 . 故选 B.
9. 直线 的斜率为 ，则其倾斜角为 ，故 A 正确；直线的斜率为 2，在 轴， 轴上的截距分别为 、 5，故直线经过第一、二、三象限，故 正确；直线 与直线 ，即 间的距离 ，故 正确；当直线的截距不为 0 时，设直线的方程为 1,把点 代入直线,得 ,所以直线方程为 ; 当截距为 0 时,设直线方程为 ,把点 代入直线,得 ,直线方程为 ,故 D 错误. 故选 ABC.
10. 令 ,可得 ,所以 4 不是 的最小值,故 错误; 因为 ,则 ,当且仅当 ,即 时,等号成立,所以 的最小值为 4,故 正确; 因为 ,当且仅当 时等号成立,又 ,所以 的最小值为 4,故 正确; 因为 ,又
4,当且仅当 ,即 时等号成立,但 ,所以 的最小值不为 4, 故 D 错误. 故选 BC.
11. 如图 1,连接 ,由题意知 相交于点 ,且被点 平分,所以四边形 是平行四边形,所以 ,而 平面 平面 ,所以 平面 ,故 正确; 在正方形 中, ,所以 ,又 平面 ,所以 ,所以四棱锥 的体积为 ,故 B 错误; 因为 为棱 上一点,将 和 展开成一个平面 (如图 2),由题意知 和 都是边长为 2 的正三角形,由三角形两边之和大于第三边知 的最小值为 ,在 中,由余弦定理,得 ,故 C 正确; 设点 到平面 的距离为 ，则三棱锥 的体积 ，又 ,所以 ,解得 ,故 D 错误. 故选 AC.
图 1
图 2
12.4.8 “十一”期间 App 上的购票数据从小到大排列为: 1.9,2.1,2.5,4.0,4.8,5.5,6.5,7.8,因为 ,所以数据的 分位数为排列后的第 5 个数: 4.8 .
13. 因为 ，所以 ，所以 ，由余弦定理得到 ,解得 .
14.12 由 知 的图象关于直线 对称,又 的图象也关于直线 对称, 所以函数 与 的图象有 6 个交点,分 3 对分别关于直线 对称,每对交点的横坐标之和为 4,所以 .
15. 解:(1)设等差数列 的公差为 ，由题意知 2 分
解得 , 4 分
所以 的通项公式为 . 6 分
(2)由题知 , 8 分
所以
. 13 分
16. ( 1 )证明:取 中点 ，连接 ， .
因为在直棱柱中,四边形 是矩形,对角线 与 的交点是 与 的中点,
因为 是 的中点,所以 是 的中点, 2 分
又直四棱柱 中, ,
所以 ,所以四边形 是平行四边形,
所以 即 ,
因为 是 的中点,所以 ,所以 ,
所以四边形 是平行四边形,所以 . 5 分
又 平面 平面 ,
所以 平面 . 7 分
(2)解:以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系:
则点 . 9 分
则 . 11 分
设平面 的法向量为 ,则由 得
令 ,得平面 的一个法向量 , 13 分
设直线 与平面 所成角为 ,则 . 15 分
17. 解:(1)零假设为 ；治疗效果与选择甲、乙方案无关联，
4 分
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立,故治疗效果与选择甲、乙方案有关联. 6 分
(2)根据分层随机抽样方法可知，从效果明显的患者中抽取 名，从效果不明显的患者中抽取 名, 7 分
的取值分别为0,1,2, 8 分
则 , 11 分
所以 的分布列为
0 1 2
1
13 分
15 分
18. 解:(1)因为 ，所以 ， 1 分
,所以曲线 在点 处的切线为 , 2 分
又切线过点 ,所以 ,所以 . 3 分
(2) 的定义域为 ， ，
当 时， ， 在 上单调递增； 4 分
当 时,由 ,得 ; 由 ,得 ; 由 ,得 , 所以 在 上单调递减,在 上单调递增. 6 分
(3)当 时， 在 上单调递增，由 知 时， , 7 分
当 时,由 (2) 知当 ,即 时, 对 成立, 8 分
所以 时,存在正实数 ,使得对 ,从而 化为 ; 9 分
当 ,即 时,由 (2) 知 在 上单调递减, , 化为 即 , 10 分
① 时，令 ，则 ，
当 时, 在 单调递增,存在正实数 ,使得对 , 11 分
当 时,由 得 ,由 得 得 ,所以
的单调递增区间为 ,单调递减区间为 ,要存在正实数 ,使得对 ,则 ,所以 ; 13 分
② 当 时，令 ，要存在正实数 ，使得对 ,则存在正实数 在 上单调递减, 对 成立, 14 分
当 时, ,当 时,由 得 ,从而 , 所以 . 16 分
综合①②知， 的取值范围为 . 17 分
19. 解: (1) 的焦点 ,准线方程为 , 1 分
因为点 在 上, ,所以 , 2 分
所以 的方程为 . 3 分
(2)① ，设 为 ，代入 ，消去 ，得 . 4 分
设 ,则 . 5 分
所以 , 6 分
又 ,所以 的面积为 ,当且仅当 时,取等号, 所以 的面积的最小值为 2 . 8 分
② 设 ，又 ，
直线 的方程为 ,与 方程联立,消去 得 , 10 分又 是直线 与 的交点,所以 , 11 分
同理 ,所以 , 12 分
当 时, ,直线 与 轴垂直, 与 轴的交点为 , 13 分
当 时, ,直线 的斜率 . 15 分
此时,可设直线 的方程为 ,与 联立,消去 得 ,所以 ,
又 ,所以 ,
所以 的方程化为 ,直线过 . 16 分
综上,直线 过定点 . 17 分
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