2025-2026学年云南省昆明市高二下学期数学3月月考试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年云南省昆明市高二下学期数学3月月考试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 78.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
2025~2026 学年高二下学期 3 月月考 数学试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 第 I 卷第 1 页至第 3 页， 第 II 卷第 3 页至第 6 页. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分，考试用时 120 分钟.
第 I 卷 (选择题, 共 58 分)
注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
一、单项选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题所给的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 复数 的虚部为
A. -2 B. -1 C. -i D. i
2. 已知集合 ，则
A. B.
C. D.
3. 已知直线 ,直线 ,且 ,则
A. B.
C. -1 D. 2
4. 已知向量 满足 ，则 在 上的投影向量的坐标为
A. B.
C. D.
5. 若函数 在 处有极值,则实数
A. -2 B. 2
C. 1 D. -1
6. 已知 是公差不为零的等差数列, ,若 成等比数列,则
A. -20 B. -18
C. 16 D. 18
7. 已知函数 的最小正周期为 ，若将其图象沿 轴向右平移 个单位长度所得图象关于 对称,则正实数 的最小值为
A. B.
C. D.
8. 已知函数 是定义在 上的偶函数, 是 的导函数, ,若 在 上恒成立,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、多项选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有 多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 是定义在 上的偶函数,当 时, ,则下列说法中错误的是
A. 的单调递增区间为
B.
C. 的最大值为 4
D. 的解集为
10. 已知数列 的前 项和为 ,满足 ,则下列说法正确的有
A.
B. 数列 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列
C. ,则 的最小值等于 10
D. 数列 的前 项和小于 1
11. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等, 显然两位回文数有 9 个: ; 三位回文数有 90 个:101,111, ,下列说法正确的是
A. 四位回文数有 90 个
B. 四位回文数有 45 个
C. 位回文数有 个
D. 位回文数有 个
第 II 卷 (非选择题, 共 92 分)
注意事项:
第 II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知 为锐角,若 ,则 _____.
13. 已知圆 与直线 ,若直线 与圆 相交于 两点，且 为等边三角形，则 _____.
14. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点,过点 的直线与 的左支交于 两点，且 周长的最小值为 ，则 的离心率为_____.
四、解答题 (本题共 5 个小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 边上的高.
16. (本小题满分 15 分)
甲、乙、丙等 6 名同学利用周末到社区进行志愿服务.
(1)6 名同学站成一排，若甲、乙、丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种
(2)6 名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有 2 人的不同排列方案有多少种？
(3)6 名同学分成三组(每组至少有一人)，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种
17. (本小题满分 15 分)
如图,在三棱锥 中, 平面 ,平面 平面 ,棱 的中点为 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ， ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求实数 的值.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的下顶点为 ，左、右焦点分别为 ， ，椭圆上的点 到 距离的最小值为 ,且抛物线 截 轴所得的线段长为 的长半轴长.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过原点的直线 与 相交于 两点，直线 分别与 相交于 两点.
①证明:直线 与直线 的斜率之积为定值；
②记 和 的面积分别是 ， ，求 的最小值.
数学参考答案
第 I 卷(选择题，共 58 分)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A D D C D A
1. ,所以复数的虚部为 -1,故选 B.
2. ,即 ,解得 ,故选 C.
3. 易知当 时,直线 的斜率不存在,不满足题意; 因此两直线斜率均存在,即 , 当 时,可得 ,解得 ,故选 A.
4. 因为 ,所以 ,所以 在 上的投影向量的坐标为 ,故选 D.
5. 因为 在 处有极值,所以 ,所以 ,解得 . 经检验当 时, ,当 或 时, ; 当 时, ,所以 在 上单调递增, 在 上单调递减,函数在 处有极大值,满足题意,故选 D.
6. 设等差数列 的公差为 ,因为 成等比数列,且 ,所以 , 即 ,解得 或 (舍去),所以 ,故选 C.
7. 依题意, ,则 ,解得 ,将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位长度得 的图象,于是 ,解得 ,所以正实数 的最小值为 ,故选 D.
8. 因 为偶函数,则 ①,对两边求导得, ②,在 ③中，用 代替 得 ④，由①②④可得， ⑤，联立③⑤得， ，则 化简为， ， 令 ,则 ,则 得 得 ,则 在 上单调递减,在 上单调递增,则 的最小值为 ,故 , 则实数 的取值范围是 ,故选 A.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 ABD ACD AC
9. A. 两个单调区间中间要用和分开,故 A 错误; B. 因为 是定义在 上的偶函数,所以 . 又 在 上单调递减，则 ，故 B 错误；C. 当 时， 最大值为 4,又因为 是偶函数,所以 的最大值为 4 ,故 正确; . 如图 1 所示: 的解集为 ,故 错误,故选 ABD.
图 1
10. 数列 的前 项和为 ,满足 ①; 当 时，解得 ; 当 时， ②; ① - ②得: ，即 ，所以数列 是以 2 为首
项 2 为公比的等比数列,所以 ,故 正确; , ，数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，B 错误； 对于 ，所以 ，所以 ，所以 ，则 最小值等于 10,故 正确; 对于 : 由于 ,所以数列 的前 项和 ,故 D 正确,故选 ACD.
11. 根据题意，对于四位回文数，有 1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、 2992、……、9009、9119、9229、……、9999，其首位和个位有 9 种选法，第二位和第三位有 10 种选法,故共有 个,则 正确, 错误; 对于 位回文数,首位和个位数字有 9 种选法,第二位和倒数第二位数字有 10 种选法, ,第 个数字,即最中间的数字有 10 种选法,则共有 种选法,即 位回文数有 个,故 正确, 错误,故选 .
第 II 卷 (非选择题, 共 92 分)
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
题号 12 13 14
答案 -7
12. 已知 为锐角, ,则 , 所以 .
13. 由圆 ,得 ,所以圆心 的坐标为 ,半径 . 因为 为等边三角形,所以 ,所以圆心 到直线 1: 的距离为 ,即 ,所以 .
14. 如图 2， 的周长为 . 因为 周长的最小值为 ,所以可得 的最小值为 . 因为直线 过点 ，所以当 时， 取得最小值. 令 ,得 ,则 ,解得 ,故 的离心率为 .
图 2
四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
解: (1) 由正弦定理,有 ,有 , 通分后,有 ,有 .
因为 ,则 .
又由 ,有 ,可得 ,
又由 ,可得 . (6 分)
(2)设 边上的高为 ，
由 及余弦定理,有 , 的面积为 ,
则 . (13 分)
16.(本小题满分 15 分)
解: (1) 先将 6 人全排列有 种,考虑到甲、乙、丙三人排列有 种,
所以甲、乙、丙自左向右从高到矮排列时,不同的排法有 种. (4 分)
(2)从除甲、乙以外的 4 人中任取 2 人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下 2 个人全排列,
则有 种排列方案. (9 分)
(3)由题可得学生的分配方案可以有:①1,2,3；②1,1,4；③2,2,2；
①6名学生按 1，2，3 分为三个组有 种方法，
则 6 人分配到三项不同的社区共有 种分配方法;
② 6 名学生按 1,1,4 分为三个组有 种分法,
则 6 人分配到三项不同的社区，一社区1 人、一社区1 人、一社区 4 人，共有 种分配方法;
③6名学生平均分配到三项不同的社区有 种方法;
则 6 人分配到三项不同的社区，每个社区至少一人一共有:360+90+90=540种方法. (15 分)
17.(本小题满分 15 分)
(1)证明: 平面 ， ， 平面 ， ， .
.
为 的中点, .
又 平面 平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 .
平面 .
又 平面 平面 .
(6 分)
图 3
(2)解:如图 3，取 的中点 ，连接 ， 为 的中位线， 平面 .
以 所在直线分别为 轴, 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 即
取 ,
,
设直线 与平面 所成角为 ,
,
,所以 或 ,
解得 或 (舍去). (15 分)
18.(本小题满分 17 分)
解: (1) 当 时, ,
则 ,
据此可得 ,
所以函数在 处的切线方程为 ,即 .
(7 分)
(2)由函数的解析式可得 ，
满足题意时 在区间 上恒成立.
令 ,则 ,
令 ,原问题等价于 在区间 上恒成立,
则 ,
当 时,由于 ,故 在区间 上单调递减, 此时 ,不合题意;
令 ,则 ,
当 时,由于 ,所以 在区间 上单调递增,
即 在区间 上单调递增,
所以 在区间 上单调递增, ,满足题意;
当 时,由 可得 ,
当 时, 在区间 上单调递减,即 单调递减,
注意到 ,故当 时, 单调递减,
由于 ,故当 时, ,不合题意.
综上可知: 实数 的取值范围是 . (17 分)
19. (本小题满分 17 分)
(1)解:已知抛物线 中，令 ，解得 ，所以 .
因为椭圆上的点 到 距离的最小值为 ，则 ，所以 ，
从而 ,
椭圆 的方程为: . (5 分)
(2)①证明:直线 的斜率显然存在，设 方程为 .
由 整理得 .
设 ,则 ,
由已知 ,所以 的斜率分别为 ,
,故 ,
所以直线 与直线 的斜率之积为定值. (10 分)
② 解:设直线 : ，显然 ，由 解得 或 ，
,则 .
由 ① 知 ，直线 ，则 ，
由 得 ,解得 或 ,
,则 .
由①知，直线 ,
则
当且仅当 时等号成立,即 最小值为 .
(17 分)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 第 I 卷第 1 页至第 3 页， 第 II 卷第 3 页至第 6 页. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 满分 150 分，考试用时 120 分钟.
第 I 卷 (选择题, 共 58 分)
注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 在试题卷上作答无效.
一、单项选择题 (本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题所给的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 复数 的虚部为
A. -2 B. -1 C. -i D. i
2. 已知集合 ，则
A. B.
C. D.
3. 已知直线 ,直线 ,且 ,则
A. B.
C. -1 D. 2
4. 已知向量 满足 ，则 在 上的投影向量的坐标为
A. B.
C. D.
5. 若函数 在 处有极值,则实数
A. -2 B. 2
C. 1 D. -1
6. 已知 是公差不为零的等差数列, ,若 成等比数列,则
A. -20 B. -18
C. 16 D. 18
7. 已知函数 的最小正周期为 ，若将其图象沿 轴向右平移 个单位长度所得图象关于 对称,则正实数 的最小值为
A. B.
C. D.
8. 已知函数 是定义在 上的偶函数, 是 的导函数, ,若 在 上恒成立,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、多项选择题 (本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有 多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 是定义在 上的偶函数,当 时, ,则下列说法中错误的是
A. 的单调递增区间为
B.
C. 的最大值为 4
D. 的解集为
10. 已知数列 的前 项和为 ,满足 ,则下列说法正确的有
A.
B. 数列 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列
C. ,则 的最小值等于 10
D. 数列 的前 项和小于 1
11. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如22,121,3443,94249等, 显然两位回文数有 9 个: ; 三位回文数有 90 个:101,111, ,下列说法正确的是
A. 四位回文数有 90 个
B. 四位回文数有 45 个
C. 位回文数有 个
D. 位回文数有 个
第 II 卷 (非选择题, 共 92 分)
注意事项:
第 II 卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知 为锐角,若 ,则 _____.
13. 已知圆 与直线 ,若直线 与圆 相交于 两点，且 为等边三角形，则 _____.
14. 已知 分别为双曲线 的左、右焦点,过点 的直线与 的左支交于 两点，且 周长的最小值为 ，则 的离心率为_____.
四、解答题 (本题共 5 个小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 边上的高.
16. (本小题满分 15 分)
甲、乙、丙等 6 名同学利用周末到社区进行志愿服务.
(1)6 名同学站成一排，若甲、乙、丙自左向右从高到矮排列，则不同的排列方案有多少种
(2)6 名同学站成一排，甲、乙两名同学之间恰有 2 人的不同排列方案有多少种？
(3)6 名同学分成三组(每组至少有一人)，进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种
17. (本小题满分 15 分)
如图,在三棱锥 中, 平面 ,平面 平面 ,棱 的中点为 .
(1)求证: 平面 ；
(2)若 ， ，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求实数 的值.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在 单调递增，求 的取值范围.
19. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的下顶点为 ，左、右焦点分别为 ， ，椭圆上的点 到 距离的最小值为 ,且抛物线 截 轴所得的线段长为 的长半轴长.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过原点的直线 与 相交于 两点，直线 分别与 相交于 两点.
①证明:直线 与直线 的斜率之积为定值；
②记 和 的面积分别是 ， ，求 的最小值.
数学参考答案
第 I 卷(选择题，共 58 分)
一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A D D C D A
1. ,所以复数的虚部为 -1,故选 B.
2. ,即 ,解得 ,故选 C.
3. 易知当 时,直线 的斜率不存在,不满足题意; 因此两直线斜率均存在,即 , 当 时,可得 ,解得 ,故选 A.
4. 因为 ,所以 ,所以 在 上的投影向量的坐标为 ,故选 D.
5. 因为 在 处有极值,所以 ,所以 ,解得 . 经检验当 时, ,当 或 时, ; 当 时, ,所以 在 上单调递增, 在 上单调递减,函数在 处有极大值,满足题意,故选 D.
6. 设等差数列 的公差为 ,因为 成等比数列,且 ,所以 , 即 ,解得 或 (舍去),所以 ,故选 C.
7. 依题意, ,则 ,解得 ,将函数 的图象沿 轴向右平移 个单位长度得 的图象,于是 ,解得 ,所以正实数 的最小值为 ,故选 D.
8. 因 为偶函数,则 ①,对两边求导得, ②,在 ③中，用 代替 得 ④，由①②④可得， ⑤，联立③⑤得， ，则 化简为， ， 令 ,则 ,则 得 得 ,则 在 上单调递减,在 上单调递增,则 的最小值为 ,故 , 则实数 的取值范围是 ,故选 A.
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
题号 9 10 11
答案 ABD ACD AC
9. A. 两个单调区间中间要用和分开,故 A 错误; B. 因为 是定义在 上的偶函数,所以 . 又 在 上单调递减，则 ，故 B 错误；C. 当 时， 最大值为 4,又因为 是偶函数,所以 的最大值为 4 ,故 正确; . 如图 1 所示: 的解集为 ,故 错误,故选 ABD.
图 1
10. 数列 的前 项和为 ,满足 ①; 当 时，解得 ; 当 时， ②; ① - ②得: ，即 ，所以数列 是以 2 为首
项 2 为公比的等比数列,所以 ,故 正确; , ，数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，B 错误； 对于 ，所以 ，所以 ，所以 ，则 最小值等于 10,故 正确; 对于 : 由于 ,所以数列 的前 项和 ,故 D 正确,故选 ACD.
11. 根据题意，对于四位回文数，有 1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、 2992、……、9009、9119、9229、……、9999，其首位和个位有 9 种选法，第二位和第三位有 10 种选法,故共有 个,则 正确, 错误; 对于 位回文数,首位和个位数字有 9 种选法,第二位和倒数第二位数字有 10 种选法, ,第 个数字,即最中间的数字有 10 种选法,则共有 种选法,即 位回文数有 个,故 正确, 错误,故选 .
第 II 卷 (非选择题, 共 92 分)
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
题号 12 13 14
答案 -7
12. 已知 为锐角, ,则 , 所以 .
13. 由圆 ,得 ,所以圆心 的坐标为 ,半径 . 因为 为等边三角形,所以 ,所以圆心 到直线 1: 的距离为 ,即 ,所以 .
14. 如图 2， 的周长为 . 因为 周长的最小值为 ,所以可得 的最小值为 . 因为直线 过点 ，所以当 时， 取得最小值. 令 ,得 ,则 ,解得 ,故 的离心率为 .
图 2
四、解答题(共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
解: (1) 由正弦定理,有 ,有 , 通分后,有 ,有 .
因为 ,则 .
又由 ,有 ,可得 ,
又由 ,可得 . (6 分)
(2)设 边上的高为 ，
由 及余弦定理,有 , 的面积为 ,
则 . (13 分)
16.(本小题满分 15 分)
解: (1) 先将 6 人全排列有 种,考虑到甲、乙、丙三人排列有 种,
所以甲、乙、丙自左向右从高到矮排列时,不同的排法有 种. (4 分)
(2)从除甲、乙以外的 4 人中任取 2 人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下 2 个人全排列,
则有 种排列方案. (9 分)
(3)由题可得学生的分配方案可以有:①1,2,3；②1,1,4；③2,2,2；
①6名学生按 1，2，3 分为三个组有 种方法，
则 6 人分配到三项不同的社区共有 种分配方法;
② 6 名学生按 1,1,4 分为三个组有 种分法,
则 6 人分配到三项不同的社区，一社区1 人、一社区1 人、一社区 4 人，共有 种分配方法;
③6名学生平均分配到三项不同的社区有 种方法;
则 6 人分配到三项不同的社区，每个社区至少一人一共有:360+90+90=540种方法. (15 分)
17.(本小题满分 15 分)
(1)证明: 平面 ， ， 平面 ， ， .
.
为 的中点, .
又 平面 平面 平面 ,平面 平面 ,
平面 .
平面 .
又 平面 平面 .
(6 分)
图 3
(2)解:如图 3，取 的中点 ，连接 ， 为 的中位线， 平面 .
以 所在直线分别为 轴, 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 即
取 ,
,
设直线 与平面 所成角为 ,
,
,所以 或 ,
解得 或 (舍去). (15 分)
18.(本小题满分 17 分)
解: (1) 当 时, ,
则 ,
据此可得 ,
所以函数在 处的切线方程为 ,即 .
(7 分)
(2)由函数的解析式可得 ，
满足题意时 在区间 上恒成立.
令 ,则 ,
令 ,原问题等价于 在区间 上恒成立,
则 ,
当 时,由于 ,故 在区间 上单调递减, 此时 ,不合题意;
令 ,则 ,
当 时,由于 ,所以 在区间 上单调递增,
即 在区间 上单调递增,
所以 在区间 上单调递增, ,满足题意;
当 时,由 可得 ,
当 时, 在区间 上单调递减,即 单调递减,
注意到 ,故当 时, 单调递减,
由于 ,故当 时, ,不合题意.
综上可知: 实数 的取值范围是 . (17 分)
19. (本小题满分 17 分)
(1)解:已知抛物线 中，令 ，解得 ，所以 .
因为椭圆上的点 到 距离的最小值为 ，则 ，所以 ，
从而 ,
椭圆 的方程为: . (5 分)
(2)①证明:直线 的斜率显然存在，设 方程为 .
由 整理得 .
设 ,则 ,
由已知 ,所以 的斜率分别为 ,
,故 ,
所以直线 与直线 的斜率之积为定值. (10 分)
② 解:设直线 : ，显然 ，由 解得 或 ，
,则 .
由 ① 知 ，直线 ，则 ，
由 得 ,解得 或 ,
,则 .
由①知，直线 ,
则
当且仅当 时等号成立,即 最小值为 .
(17 分)
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