浙江四校(含精诚联盟)2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学（含答案）
文档属性
| 名称 | 浙江四校(含精诚联盟)2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 70.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
绝密★考试结束前
高二年级数学学科 练习
考生须知:
1. 本卷共 4 页满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3. 所有答案必须写在答题纸上, 写在试卷上无效.
4. 考试结束后, 只需上交答题纸.
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角是( )
A. B. 45° C. D.
2. 已知 为空间的一组基底,则下列向量也能作为空间的一组基底的是( )
A. B.
C. D.
3. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ()
A. B. C. D.
4. 已知双曲线 ，其一条渐近线被圆 截得弦长为( )
A. 1 B. 2 C. D.
5. 有 6 名同学排成一排, 其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有( )
A. 720 种 B. 360 种 C. 240 种 D. 120 种
6. 已知圆 ，直线 ，设 为圆 上的一动点，则 点到直线 的最大距离为( )
A. 4 B. 5 C. 7 D. 13
7. 已知函数 在 处取得极大值，则 的值是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
8. 已知无穷等比数列 的前 项和为 ,前 项积为 ,则下列选项判断正确的是 ( )
A. 若 ,则数列 是递增数列
B. 若 ,则数列 是递增数列
C. 若数列 是递增数列,则
D. 若数列 是递增数列,则
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则 的值为 3 或 2
B. 若数据 的标准差为 ,则 的标准差为
C. 二项式 的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等
D. 若 5 名教师分到 4 所学校任教, 每所学校至少分配 1 名教师, 则分配方法有 480 种
10. 已知函数 ，则下列结论中正确的是( )
A. 有两个极值点
B. 当 时, 在 上单调递增
C. 当 时, 在 上的最大值是 1
D. 当 时,点 是曲线 的对称中心
11. 已知抛物线 的焦点为 的准线 与 轴交于点 ,过 的一条直线与 交于 , 两点,过 作 的垂线,垂足分别为 ,则 ()
A. 准线 的方程为 B.
C. 直线 与 的斜率之和为 0 D. 与 的面积相等
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中常数项为_____.
13. 若 ，则 _____.
14. 已知点 在双曲线 上， 到两渐近线的距离为 ， ， 若 恒成立，则 的离心率的取值范围为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知等差数列 和等比数列 满足 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求 .
16. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，且 ， ， ， ， 为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
17. (本小题满分 15 分)
2026 年春节期间, 某服装超市举办了一次有奖促销活动, 消费每超过 600 元(含 600 元)，均可抽奖一次, 抽奖方案有两种, 顾客只能选择其中的一种.
方案一:从装有 10 个形状、大小完全相同的小球(其中红球 3 个，黑球 7 个)的抽奖盒中，一次性摸出 3 个球, 其中奖规则为: 若摸到 3 个红球, 享受免单优惠; 若摸到 2 个红球, 则打 6 折; 若摸到 1 个红球，则打 7 折；若没摸到红球，则不打折.
方案二:从装有 10 个形状、大小完全相同的小球(其中红球 3 个，黑球 7 个)的抽奖盒中，有放回地每次摸取 1 球，连摸 3 次，每摸到 1 次红球，立减 200 元.
(1)若两个顾客均分别消费了 600 元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
(2)若某顾客消费恰好满 1000 元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 是函数 的极值点，求证: .
19. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的离心率为 分别是椭圆 的右顶点,上顶点, 且 . (1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点，其中点 在第一象限，点 不在 轴上，设直线 的斜率分别为 求证: 为定值；(ii)设直线 与 轴交于点 ， 求 的面积 的最大值.
高二年级数学学科 练习 参考答案
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D C C A D
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
题 号 9 10 11
答案 AB BCD ACD
8. 解: 如果数列 ,公比为 -2,满足 ,但是数列 不是递增数列,所以 不正确; 如果数列 ,公比为 ,满足 ,但是数列 不是递增数列,所以 不正确; 如果数列 ,公比为 ,数列 是递增数列,但是 ,所以 不正确; 数列 是递增数列,可知 ,可得 ,又 是无穷数列,所以 ,可得 正确,所以 正确; 故选: .
11. 解: 选项 ,由抛物线的定义知, ,选项 正确; 选项 ,因为 轴,所以 ,若 ,则 ,即 ,显然该等式不一定成立,故选项 错误; 选项 ,设 , ,由题意知,直线 的斜率一定存在,且不为 0,设其方程为 ,联立 ,消去 得, ,所以 ,所以 故选项 正确；选项 的面积 ， 的面积 ,所以 与 的面积相等,故选项 正确. 故选: .
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 45 13. 14.
14 解: 双曲线 的两条渐近线的方程为 或 ,点
到两条渐近线的距离之积为 恒成立,即 ,又点 满足双曲线的方程, , 即 ,则 .
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分)
解: (1) 设等差数列 的公差为 ,因为 ,所以 , 又 ,所以 ,即 ,设等比数列 的公比为 , 因为 ,即 ,因为 ,所以 ,所以 ; 一一-6 分
(2) ，设 ， 则 . -13 分
16.(本小题满分 15 分)
解: 过 作 于点 ,则 ,以 为原点, 、 所在的直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 , 为 的中点, .
_____4 分
(1) . 设平面 的法向量为 ,则 ,令 ,则 , ,即 ,又 平面 ,
平面 . -9 分
(2)由(1)知， ， ，设平面 的法向量为 ， 则 ,令 ,则 , . 故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
_____15 分
17.(本小题满分 15 分)
解:(1)选择方案一，若享受到免单优惠，则需要摸出 3 个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件 ,则 ,
所以两位顾客均享受到免单的概率为 分
(2)若选择方案一，设付款金额为 元，则 可能的取值为 0，600，700，1000； 计算 , 故 的分布列为:
0 600 700 1000
120 21 40 7 24
所以 (元); 一!-10 分
若选择方案二,设摸到红球的个数为 ,付款金额为 元,则 ,
由已知可得 ,故 ,
所以 (元),
因为 ,所以该顾客选择方案一更合算.
18.(本小题满分 17 分)
解: (1) 由 ,则 ,且 ,故切线方程为 .
4 分
(2)解:不等式 ，即为 ，由 ，则 ，
令 ,则 ,当 时, 单调递减; 当 , 时, 单调递增,所以 ,所以 , 即 的取值范围是 . —-10 分
(3)证明:由 ，则 ，令 ，
求导可得 在 上恒成立,
则函数 在 上单调递增,即函数 在 上单调递增,
由 是函数 的极值点,则 ,即 ,由 ,则 ,
所以 . 一一17 分
19.(本小题满分 17 分)
解: (1) 因为椭圆 的离心率为 ,所以 ,即 ,因为 , 又 ，解得 ，则椭圆 的标准方程为 ——4 分
(2)(ii)证明:设直线 的方程为 ，其中 ，且 ， ， ，联立 ,消去 并整理得 ,由韦达定理得 所以 ,则 为定值,定值为 分
(ii) 直线 的方程为 ,令 ,解得 ,即 ,设直线 与 轴交于点
,直线 的方程为 ,令 ,解得 ,即 ,由 (i) 知 ,所以 ,所以点 是线段 的中点，则 的面积 ,其中 为点 到直线 的距离,显然,当过点 且与直线 平行的直线 与椭圆 相切时, 取最大值. 设直线 的方程为 ,即 , 联立 ,消去 并整理得 ,由 ,解得 ,所以平行直线 与 之间的距离为 ,即 的最大值为 ，此时 的面积为 . 即 的面积 的最大值为 .
-17 分
高二年级数学学科 练习
考生须知:
1. 本卷共 4 页满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3. 所有答案必须写在答题纸上, 写在试卷上无效.
4. 考试结束后, 只需上交答题纸.
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角是( )
A. B. 45° C. D.
2. 已知 为空间的一组基底,则下列向量也能作为空间的一组基底的是( )
A. B.
C. D.
3. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ()
A. B. C. D.
4. 已知双曲线 ，其一条渐近线被圆 截得弦长为( )
A. 1 B. 2 C. D.
5. 有 6 名同学排成一排, 其中甲、乙必须排在一起的不同排法共有( )
A. 720 种 B. 360 种 C. 240 种 D. 120 种
6. 已知圆 ，直线 ，设 为圆 上的一动点，则 点到直线 的最大距离为( )
A. 4 B. 5 C. 7 D. 13
7. 已知函数 在 处取得极大值，则 的值是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
8. 已知无穷等比数列 的前 项和为 ,前 项积为 ,则下列选项判断正确的是 ( )
A. 若 ,则数列 是递增数列
B. 若 ,则数列 是递增数列
C. 若数列 是递增数列,则
D. 若数列 是递增数列,则
二、选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是 ( )
A. 若 ,则 的值为 3 或 2
B. 若数据 的标准差为 ,则 的标准差为
C. 二项式 的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等
D. 若 5 名教师分到 4 所学校任教, 每所学校至少分配 1 名教师, 则分配方法有 480 种
10. 已知函数 ，则下列结论中正确的是( )
A. 有两个极值点
B. 当 时, 在 上单调递增
C. 当 时, 在 上的最大值是 1
D. 当 时,点 是曲线 的对称中心
11. 已知抛物线 的焦点为 的准线 与 轴交于点 ,过 的一条直线与 交于 , 两点,过 作 的垂线,垂足分别为 ,则 ()
A. 准线 的方程为 B.
C. 直线 与 的斜率之和为 0 D. 与 的面积相等
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中常数项为_____.
13. 若 ，则 _____.
14. 已知点 在双曲线 上， 到两渐近线的距离为 ， ， 若 恒成立，则 的离心率的取值范围为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知等差数列 和等比数列 满足 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求 .
16. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，且 ， ， ， ， 为 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
17. (本小题满分 15 分)
2026 年春节期间, 某服装超市举办了一次有奖促销活动, 消费每超过 600 元(含 600 元)，均可抽奖一次, 抽奖方案有两种, 顾客只能选择其中的一种.
方案一:从装有 10 个形状、大小完全相同的小球(其中红球 3 个，黑球 7 个)的抽奖盒中，一次性摸出 3 个球, 其中奖规则为: 若摸到 3 个红球, 享受免单优惠; 若摸到 2 个红球, 则打 6 折; 若摸到 1 个红球，则打 7 折；若没摸到红球，则不打折.
方案二:从装有 10 个形状、大小完全相同的小球(其中红球 3 个，黑球 7 个)的抽奖盒中，有放回地每次摸取 1 球，连摸 3 次，每摸到 1 次红球，立减 200 元.
(1)若两个顾客均分别消费了 600 元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；
(2)若某顾客消费恰好满 1000 元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 . (1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 是函数 的极值点，求证: .
19. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的离心率为 分别是椭圆 的右顶点,上顶点, 且 . (1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于 两点，其中点 在第一象限，点 不在 轴上，设直线 的斜率分别为 求证: 为定值；(ii)设直线 与 轴交于点 ， 求 的面积 的最大值.
高二年级数学学科 练习 参考答案
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D C C A D
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
题 号 9 10 11
答案 AB BCD ACD
8. 解: 如果数列 ,公比为 -2,满足 ,但是数列 不是递增数列,所以 不正确; 如果数列 ,公比为 ,满足 ,但是数列 不是递增数列,所以 不正确; 如果数列 ,公比为 ,数列 是递增数列,但是 ,所以 不正确; 数列 是递增数列,可知 ,可得 ,又 是无穷数列,所以 ,可得 正确,所以 正确; 故选: .
11. 解: 选项 ,由抛物线的定义知, ,选项 正确; 选项 ,因为 轴,所以 ,若 ,则 ,即 ,显然该等式不一定成立,故选项 错误; 选项 ,设 , ,由题意知,直线 的斜率一定存在,且不为 0,设其方程为 ,联立 ,消去 得, ,所以 ,所以 故选项 正确；选项 的面积 ， 的面积 ,所以 与 的面积相等,故选项 正确. 故选: .
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 45 13. 14.
14 解: 双曲线 的两条渐近线的方程为 或 ,点
到两条渐近线的距离之积为 恒成立,即 ,又点 满足双曲线的方程, , 即 ,则 .
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分)
解: (1) 设等差数列 的公差为 ,因为 ,所以 , 又 ,所以 ,即 ,设等比数列 的公比为 , 因为 ,即 ,因为 ,所以 ,所以 ; 一一-6 分
(2) ，设 ， 则 . -13 分
16.(本小题满分 15 分)
解: 过 作 于点 ,则 ,以 为原点, 、 所在的直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 , 为 的中点, .
_____4 分
(1) . 设平面 的法向量为 ,则 ,令 ,则 , ,即 ,又 平面 ,
平面 . -9 分
(2)由(1)知， ， ，设平面 的法向量为 ， 则 ,令 ,则 , . 故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
_____15 分
17.(本小题满分 15 分)
解:(1)选择方案一，若享受到免单优惠，则需要摸出 3 个红球，
设顾客享受到免单优惠为事件 ,则 ,
所以两位顾客均享受到免单的概率为 分
(2)若选择方案一，设付款金额为 元，则 可能的取值为 0，600，700，1000； 计算 , 故 的分布列为:
0 600 700 1000
120 21 40 7 24
所以 (元); 一!-10 分
若选择方案二,设摸到红球的个数为 ,付款金额为 元,则 ,
由已知可得 ,故 ,
所以 (元),
因为 ,所以该顾客选择方案一更合算.
18.(本小题满分 17 分)
解: (1) 由 ,则 ,且 ,故切线方程为 .
4 分
(2)解:不等式 ，即为 ，由 ，则 ，
令 ,则 ,当 时, 单调递减; 当 , 时, 单调递增,所以 ,所以 , 即 的取值范围是 . —-10 分
(3)证明:由 ，则 ，令 ，
求导可得 在 上恒成立,
则函数 在 上单调递增,即函数 在 上单调递增,
由 是函数 的极值点,则 ,即 ,由 ,则 ,
所以 . 一一17 分
19.(本小题满分 17 分)
解: (1) 因为椭圆 的离心率为 ,所以 ,即 ,因为 , 又 ，解得 ，则椭圆 的标准方程为 ——4 分
(2)(ii)证明:设直线 的方程为 ，其中 ，且 ， ， ，联立 ,消去 并整理得 ,由韦达定理得 所以 ,则 为定值,定值为 分
(ii) 直线 的方程为 ,令 ,解得 ,即 ,设直线 与 轴交于点
,直线 的方程为 ,令 ,解得 ,即 ,由 (i) 知 ,所以 ,所以点 是线段 的中点，则 的面积 ,其中 为点 到直线 的距离,显然,当过点 且与直线 平行的直线 与椭圆 相切时, 取最大值. 设直线 的方程为 ,即 , 联立 ,消去 并整理得 ,由 ,解得 ,所以平行直线 与 之间的距离为 ,即 的最大值为 ，此时 的面积为 . 即 的面积 的最大值为 .
-17 分
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