1.5 角平分线 课件(共27张PPT) 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

(共27张PPT)
1.5 角平分线
第一章 三角形的证明及其应用
第1课时:角平分线的性质与判定
学习目标
1.重点:理解并运用角平分线的性质定理.
2.难点:探索并证明角平分线的判定定理.
什么叫做角平分线
定义回顾
O
A
B
C
)
)
观察:如图,已知∠AOB=∠AOC+∠BOC,∠AOC=∠BOC,则我们可以得出这样的结论:∠AOB被射线OC平分成了两个相等的角.即射线OC是∠AOB的平分线.
从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相等的角,那么这条射线就叫做这个角的角平分线.
注意:角平分线是一条射线,而垂直平分线是一条直线.
新课导入
如图,射线OC平分∠AOB. P1,P2,P3, … 是OC上的点.分别作①P1E⊥OA,P1F⊥OB;②P2H⊥OA,P2K⊥OB;③P3M⊥OA,P3N⊥OB.试猜想每一组的两条垂线之间具有怎样的数量关系
P1E____P1F
P2H____P2K
P3M____P3N
O
A
B
C
P2
H
K
P3
M
N
P1
E
F
＝
＝
＝
猜想:角平分线上的点,到这个角两边的距离相等.
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,
PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:PD=PE.
性质证明
O
A
B
C
)
)
1
2
P
D
E
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°,
∵OC是∠AOB的平分线,
∴∠1=∠2,
又∵PO=PO,
∴△PDO≌△PEO(AAS),
∴PD=PE.
角平分线上的点,到这个角两边的距离相等.
性质学分线的性质定理:
应用格式:
角平分线上的点,到这个角两边的距离相等.(垂直距离)
∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE.
O
A
B
C
)
)
1
2
P
D
E
注意:这里的"距离"必须是垂直距离.
小试牛刀
1.判断下列结论是否正确:
(1)如右图,已知AD平分∠BAC,则BD=CD.
B
A
D
C
B
A
D
C
(2)如右图,已知AD平分∠BAC,且BD⊥AB,
CD⊥AC,则BD=CD.
注意:这里的"距离"必须是垂直距离.
2.如图,AM是∠BAC的平分线,点P在AM上,PD⊥AB,
PE⊥AC,垂足分别是D,E,PD=4cm,则PE=______cm.
4
温馨提示:存在两条垂线——直接应用
小试牛刀
A
B
C
M
P
D
E
A
B
C
P
3.如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C＝90°,AP平分∠BAC交BC于点P,若PC＝4,AB=14.则点P到AB的距离为_______.
D
4
温馨提示:只有一条垂线——构造应用
小试牛刀
角平分线上的点,到这个角两边的距离相等.
O
A
B
C
)
)
1
2
P
D
E
逆命题
在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,
在这个角的平分线上.
你能写出角平分线性质定理的逆命题吗
它是真命题吗 请证明你的结论.
尝试·思考
已知:如图,点P为∠AOB内的一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE.求证:OP平分∠AOB.
定理证明
O
A
B
)
)
1
2
P
D
E
证明:
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠ODP=∠OEP=90°,
∵PD=PE,OP=OP,
∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL),
∴∠1=∠2,
∴OP平分∠AOB.
在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,
在这个角的平分线上.
角平分线的判定定理:
应用格式:
O
A
B
)
)
1
2
P
D
E
定理学习
在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,
在这个角的平分线上.
∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,
∴OP是∠AOB的平分线,
∴∠1=∠2.
4.如图,已知∠DPO=60°,PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE,则
(1)∠EOP=______,∠AOB=______;
(2)若OP=4,OE= ,则S△POE=______.
小试牛刀
O
A
B
C
P
D
E
30°
60°
例1如图,在△ABC中,∠BAC=60°,点D在BC上,AD=10,
DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,求DE的长.
A
B
C
D
E
F
例题讲解
证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF,
∴AD是∠BAC的平分线,
又∵∠BAC=60°,
∴∠BAD=30°,
在Rt△ADE中,∠AED=90°,AD=10,
比较学分线与中垂线的区别:
1.性质定理:
角平分线上的点:
到"边"的距离相等.
中垂线上的点:
到"点"的距离相等.
O
A
B
C
P
D
E
角平分线的"距离"必须是垂直距离.
2.判定定理:
C
P
A
B
D
判定角平分线:
只需要一个点.
判定中垂线:
需要两个点.
原理:两点确定一条直线.
探究新知
用"尺规作图"作角平分线:
O
A
B
③连接OC,OC即为∠AOB的平分线.
①以O为圆心,以任意长度为半径画弧,记交点为D,E;
D
E
②分别以D,E为圆心,以大于 DE为半径画弧,记交点为C;
)
)
C
随堂练习
A区
P
1.如图,一目标在A区,到公路,铁路的距离相等,离公路与铁路的交叉处500m,在图上标出它的位置(比例尺1:20000).
)
)
解:
如图所示,点P即为所求.
分析:先作角平分线,再用尺子量2.5cm.
习题1.5
1.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=
CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°,
又∵AD是∠BAC的平分线,
∴DE=DF,
又∵BD=CD,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴EB=FC.
习题1.5
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,作AB的垂直平分线,交AB于点D,交AC于点E.求证:BE平分∠ABC.
A
C
E
B
D
证法①:
∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°,
∵DE是AB的垂直平分线,
∴BE=AE,
∴∠ABE=∠A=30°,
∴∠CBE=60°-30°=30°,
∴∠ABE=∠CBE,
∴BE平分∠ABC.
习题1.5
7.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,作AB的垂直平分线,交AB于点D,交AC于点E.求证:BE平分∠ABC.
A
C
E
B
D
证法②:
∵∠C=90°,∠A=30°,
∵DE是AB的垂直平分线,
∴BC=BD,
又∵BE=BE,
∴Rt△BCE≌Rt△BDE(HL),
∴∠CBE=∠DBE,
∴BE平分∠ABC.
习题1.5
8.如图,在∠AOB内部求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB两边的距离相等.
O
B
A
C
D
温馨提示:作线段CD的垂直平分线,再作∠AOB的角平分线,两者相交于一点,该点即为点P.
)
)
)
)
)
)
)
P
加餐训练
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,它们有什么关系
A
B
C
D
F
E
解:
AD⊥AE,理由如下:
∵∠CAB+∠CAF=180°,
又∵AD平分∠CAB,
AE平分∠CAF,
∴∠CAD+∠CAE=90°,
∴AD⊥AE.
∴C△PDB=BD+DP+BP
=BD+PC+BP
=BD+BC
=BD+AD
=AB=14.
A
B
C
P
D
┑
解:
(1)∵AP平分∠BAC,
PD⊥AB,∠C＝90°,
∴DP=PC=4,
又∵AB=14,
(2)∵DP=PC,AP=AP,
∴Rt△ADP≌Rt△APC(HL),
∴AD=AC,
又∵AC=BC,
∴AD=BC,
2.如图,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C＝90°,AP平分∠BAC,交BC于点P,
PD⊥AB.若AB=14,PC＝4:(1)求△APB的面积;(2)求△PDB的周长.
3.如图,已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.求证:点F在∠DAE的平分线上.
过点F作FG⊥AE于G,FH⊥AD于H,FM⊥BC于M,
同理可得FM＝FH,
∴点F在∠DAE的平分线上.
M
┑
┑
H
D
A
B
C
F
E
G
┑
加餐训练
证明:
∵点F在∠BCE的平分线上,
且FG⊥AE,FM⊥BC,
∴FG=FM,
∴FG=FH,
温馨提示:构造垂线,先用性质定理,再用判定定理.
下课
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine