1.4 线段的垂直平分线 第一课时 课件(共21张PPT) 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

(共21张PPT)
1.4 线段的垂直平分线
第一章 三角形的证明及其应用
第1课时:垂直平分线的性质与判定
学习目标
1.重点:理解并运用线段垂直平分线的性质.
2.难点:探索并证明线段垂直平分线的判定定理.
观察: 已知,点A与点A'关于直线l对称,如果将线段AA'沿直线l对折,则∠1=∠2=90°,点A与点A'重合,AD=A'D,即直线l既垂直于线段AA',又平分线段AA'.
●
●
l
A
A'
D
2
1
由上可知:线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴.
定义回顾
什么叫做线段的垂直平分线
我们把垂直且平分某条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线.
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
新课导入
如图,直线l垂直平分线段AB. P1,P2,P3, … 是直线l上的点,请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长,你能发现什么
试猜想:点P1，P2，P3，… 到点A与点B的距离之间的关系．
A
B
P1
P2
P3
l
猜想:线段垂直平分线上的点,到线段两端的距离相等.
已知:如图,直线MN⊥AB,垂足为C,且AC=BC,P是MN上的任意一点.求证:PA=PB.
性质证明
P
A
B
M
C
N
证明:
∵MN⊥AB,
∴∠PCA=∠PCB=90°,
又AC=CB,PC=PC,
∴△PCA ≌△PCB(SAS).
∴PA=PB.
线段垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等.
性质学习
线段垂直平分线(中垂线)的性质:
线段垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等.
应用格式:
P
A
B
M
C
N
∵MN⊥AB,AC=BC,
∴PA=PB.
1.如图①所示,直线CD是线段AB的垂直平分线,点P为直线CD上的一点,且PA=5,则线段PB的长为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
B
10cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
小试牛刀
3.如图,在△ABC中,AB＝AC=20cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于D，若△DBC的周长为35cm,则BC的长为( )
A.5cm
B.10cm
C.15cm
D.17.5cm
C
小试牛刀
线段垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等.
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
逆命题
尝试·思考
你能写出中垂线性质定理的逆命题吗
它是真命题吗 请证明你的结论.
P
A
B
定理证明
C
证明:
过点P作PC⊥AB,
则∠PCA=∠PCB=90°,
∵PA=PB,
∴∠A=∠B,
∴△PCA≌△PCB(AAS),
∴AC=BC,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
如图,已知PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.
定理学习
线段垂直平分线(中垂线)的判定:
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
应用格式:
∵PA=PB,DA=DB,
∴P,D都在AB的垂直平分线上,
∴PD是AB的垂直平分线.
C
P
A
B
D
例题讲解
证明:
∵AB=AC,
∴点A在线段BC的垂直平分线上,
∵OB=OC,
∴点O在线段BC的垂直平分线上,
∴直线AO是线段BC的垂直平分线.(两点确定一条直线)
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,O是△ABC内一点,且OB=OC. 求证:直线AO垂直平分线段BC.
A
B
C
O
4.如图所示,AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是( )
A. AB垂直平分CD
B. CD垂直平分AB
C. AB与CD互相垂直平分
D. CD平分∠ACB
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
小试牛刀
5.如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE,AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm.
A
B
C
D
E
16
6.判断下列说法的正误：
①若点P,E是线段AB垂直平分线上的两点,则EA=EB,
PA=PB;
②若PA=PB,EA=EB,则直线PE垂直平分线段AB;
③若PA=PB,则点P必是线段AB的垂直平分线上的点;
④若EA=EB,则经过点E的直线垂直平分线段AB.
其中正确的有 （填序号）.
① ② ③
小试牛刀
④错误,两点才能确定一条直线
随堂练习
证明:
∵AB是线段CD的垂直平分线,
A
B
E
F
C
D
∴CE=DE,CF=DF,
又∵EF=EF,
∴△CEF≌△DEF(SSS),
∴∠ECF=∠EDF.
2.已知:如图,AB是线段CD的垂直平分线,E,F是AB上的两点.求证:∠ECF=∠EDF.
习题1.4
A
B
C
D
E
解:
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
又∵C△ABC=BC+BE+CE=50,
∴BC+AE+CE=50,
即BC+AC=50,
又∵AC=27,
∴BC=50-27=23.
5.如图,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
加餐训练
证明:
1.已知:如图,点C,D是线段AB外的两点,且AC=BC,
AD=BD,AB与CD相交于点O.求证:AO=BO.
∵AC =BC,AD=BD,
∴点C和点D都在线段AB的垂直平分线上，
∴CD是线段AB的垂直平分线,
∴AO=BO.
B
C
A
E
F
解:
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∵EF是AB的垂直平分线,
∴AF=BF,
∴∠BAF=∠B=30°,
∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=120°-30°=90°,
∴∠AFC=180°-∠CAF-∠C=180°-90°-30°=60°.
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC于点F,连接AF,求∠AFC的度数.
下课
Thanks!
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