1.5 角平分线 第一课时 课件(共20张PPT) 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

(共20张PPT)
1.5 角平分线
第一章 三角形的证明及其应用
第2课时:角平分线交点的性质
学习目标
1.重点:理解并掌握三角形三条角平分线交点的性质.
2.难点:综合运用角平分线与垂直平分线的性质,位置选择问题.
旧知回顾
角平分线的性质定理:
角平分线的判定定理:
角平分线上的点,到这个角两边的距离相等.(垂直距离)
在一个角的内部,到角的两边距离相等的点,
在这个角的平分线上.
O
A
B
C
)
)
1
2
P
D
E
E
D
A
B
C
在等腰直角三角形BDE中,
例题讲解
(1)解:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=CD=4cm,
∵AC=BC,∠C=90°,
∴∠B=∠BAC=45°,
∴∠BDE=90°-45°=45°,
∴BE=DE=4(等角对等边),
例2如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.
E
D
A
B
C
例题讲解
(2)证明:
由(1)知DC=DE,∠C=∠AED=90°,
又∵AD=AD,
∴Rt△ACD≌Rt△ADE(HL),
∴AE=AC,
又∵BE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
例2如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长;(2)求证:AB=AC+CD.
探究一:分别画出下列三角形三个内角的平分线,你发现了什么？
发现:三角形的三条角平分线相交于一点.
探究新知
你能证明这个结论吗？
探究新知
探究二:分别过交点作三角形三边的垂线,用刻度尺量一量每组垂线的长度,你发现了什么？
发现:过交点作三角形三边的垂线段相等.
例3已知:如图,在△ABC中,角平分线BM与角平分线CN相交于点P,过点P分别作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为D,E,F.求证:∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF.
E
B
D
F
A
C
P
N
M
性质证明
分析:先使用角平分线的性质定理,再使用角平分线的判定定理.
证明:
∵BM平分∠ABC,且PD⊥AB,PE⊥BC,
∴PD=PE,
同理可得,PF=PE,
∴PD=PE=PF,
∴点P在∠A的角平分线上,
即∠A的平分线经过点P.
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
三角形角平分线交点的性质:
三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
应用格式:
性质学习
∵AQ,BM,CN是△ABC的角平分线,
又∵PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,
∴PD=PE=PF.
E
B
D
F
A
C
P
N
M
Q
小试牛刀
1.如左图,△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB,∠CBE=∠ABE,且AC=6cm,那么线段BE是∠ABC的　 ,AE+DE= cm.
C
A
B
E
D
角平分线
6
O
M
A
B
C
P
D
2.如右图,△ABC中,AB=AC,∠C=90°,AP平分∠BAC,BD平分∠ABC,
AP,BD交于点O,过点O作OM⊥AC,若OM=4cm,则点O到△ABC三边的距离之和为 cm.
N
E
温馨提示:只有一条垂线段—构造应用
12
随堂练习
已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M,N.求证:FE=FD.
A
C
B
F
M
E
N
D
P
证明:
如图,过点F作FP⊥AC于点P,
∵AD平分∠BAC,
且FM⊥AB,FP⊥AC,
∴FM=FP,
同理可得FN=FP,
∴FM=FN,
∵FM⊥AB,FN⊥BC,
∴∠FME=∠FND=90°,
随堂练习
已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE是角平分线,AD与CE相交于点F,FM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M,N.求证:FE=FD.
∵∠ACB=90°,∠B=60°,
∴∠BAC=180°-90°-60°=30°,
∵AD平分∠BAC,CE平分∠ACB,
∴∠FEM=∠BAC+∠ACE=75°,
∠FDN=∠BAD+∠B=75°(外角),
∴∠FEM=∠FDN,
A
C
B
F
M
E
N
D
P
∴△FEM≌△FDM(AAS),
∴FE=FD.
习题1.5
B
D
C
A
证明:
∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=180°-90°-30°=60°,
又∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=30°,
∴∠BAD=∠B,
∴BD=AD(等角对等边),
在Rt△ACD中,∠CAD=30°,
∴AD=2CD,
∴BD=2CD.
2.已知:如图,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线.求证:BD=2CD.
A
B
C
D
E
F
P
N
M
证明:
如图,过点F作FM⊥AD,
FN⊥AE,FP⊥BC,
∵BF平分∠CBD,CF平分∠BCE,
∴FM=FP,FP=FN,
∴FM=FN,
∴点F在∠DAE的平分线上.
习题1.5
3.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上.
A
P
B
O
C
D
证明:
(1)∵OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,
∴PC=PD(角平分线的性质定理),
又∵OP=OP,
∴Rt△COP≌Rt△DOP(HL),
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,PC=PD,
∴点O,点P都在CD的垂直平分线上,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,
垂足分别为C,D.求证:(1)OC=OD;(2)OP是CD的垂直平分线.
1.如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( )
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点
D.△ABC三条高所在直线的交点
加餐训练
C
O
M
A
B
C
P
D
N
E
2.如图,△ABC中,AB=AC,∠C=90°,AP平分∠BAC,BD平分∠ABC,
AP,BD交于点O.过点O作OM⊥AC,ON⊥BC,OE⊥AB,若OM=4cm,△ABC的周长为32,求△ABC的面积.
解:
如图,连接OC.
∵AP平分∠BAC,
OM⊥AC,OE⊥AB,
∴OM=OE,
温馨提示:将△ABC分割为三个部分,利用"等高"的特点求解.
同理可得OM=ON,
∴OM=ON=OE,
下课
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine