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平方根
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
课前回顾
1.无理数的定义：
（2）开方开不尽的数.
（3）虽有一定的规律，但不循环的无限小数.
2.无理数的特征:
（1）圆周率 及一些最终结果含有 的数.
3.勾股定理的内容
无限不循环小数叫无理数
探究新知
= _________,
= _________,
= _________,
= _________,
2
3
4
5
活动一：根据勾股定理，结合图形完成填空
活动二：探究算术平方根的概念
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2
＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记
为“ ”，读作“根号 a ”．
特别地，我们规定0的算术平方根是0，
即 =0．
注意：a为非负数
思考：对于任意数a， 一定等于a吗
经典例题
例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 900；(2) 1；(3) ；(4) 14．
解: (1)因为302＝900，
所以900的算术平方根是30，
即 ;
(2)因为12＝1， 所以1的算术平方根是1，
即 ;
例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 900；(2) 1；(3) ；(4) 14．
解：(3)因为 ，所以 的算术平方
根是 ，即 ;
注意：非平方数的算术平方根只能用根号表示.
(4)14的算术平方根是 。
1
1
①
②
1
1
③
④
①
②
③
④
a
如图所示，大正方形是由两个小正方形剪拼成的，请表示a＝ .
= ________，
= _________,
= _________,
= _________,
2
3
4
5
活动一：根据勾股定理，结合图形完成填空
2
x＝ ；
y＝ ；
z＝ ；
w＝ ；
已知 有意义，则x一定是（ ）
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
C
例2 自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为 ．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解: 将h＝19.6代入公式 ，
得 ，
所以正数 (秒).
即铁球到达地面需要2秒.
探究新知
探究平方根的概念
= _____
= ____
= ______
= ______
= ______
不存在任
何一个数
的平方是
负数
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。而把正的平方根叫算术平方根。
即：正数a的平方根表示为 (读作“正、负根号a”).
其中a叫被开方数
探究平方根的性质
（1）一个正数有几个平方根？
（3）0有几个平方根？
（4）负数呢？
有两个
（2）这两个平方根之间有什么关系？
互为相反数
有一个
没有
议一议
根号
被开方数
a为非负数
联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，
算术平方根是平方根中的一个.
平方根与算术平方根的联系与区别：
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：
1.个数不同：一个正数有两个平方根，
但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 ，而算
术平方根表示为 。
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
（a叫做被开方数）
9
+3
-3
9
+3
-3
开平方
平方
所以：平方与开平方互逆运算。
探究平方与开平方的关系
平方
开平方
经典例题
例1.求下列各数的平方根:
(1)64
(3)0.0004
(5)11
(4)
(2)
解：（1 ）∵ ∴64的平方根为 ,
即 。
（2）∵
∴ 的平方根为
即 。
经典例题
例1.求下列各数的平方根:
(1)64
(3)0.0004
(5)11
(4)
(2)
解：（1 ）∵ ∴64的平方根为 ,
即 。
（2）∵
∴ 的平方根为
即 。
1.求下列各数的平方根:
(1)64
(3)0.0004
(5)11
(4)
(2)
解：（3）∵
∴0.0004的平方根为±0.02
即 。
（4）∵
∴ 的平方根为 。
即 。
（5）11的平方根 。
经典例题
例2.已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6，则这个数
是_______。
解：根据题意得: (3x-2)+(5x+6)=0
解得：
所以
所以这个数是
探究分析
（1） 和 的区别：
举例：当a取何值时，下列各式有意义
（1）∵-a2≥0 ∴a2≤0
又∵a2≥0 ∴a2=0
∴a=0
（2）∵-a≥0
∴a≤0
课堂练习
1、下列说法正确的是_________
① -3是 的平方根②25的平方根是5 ③ -36的平方根
是-6 ④平方根等于0的数是0 ⑤64的算术平方根是8
2、下列说法不正确的是______
A.0的平方根是0 B. 的平方根是2
C.非负数的平方根是互为相反数
D.一个整数的算术平方根一定大于这个数的相反数
①
④
⑤
B
课堂练习
3、 的平方根 ， 的算术平方根
是_____， 的平方根是_____；
4、 =___, =_____ , = ____,
= _____；
5、 （ a ≥0 ）=___ , 当a ≥0时, =____.
2、正数有2个平方根，0的平方根是0.
负数没有平方根.
3、求一个数的平方根就是寻找哪个数平方等于
这个数。
平方与开平方是互为逆运算的关系。
体验收获
1、若x2= a ，那么x叫做a的平方根，
记作： x = .
达标测试
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列说法中正确的是 ( )
A.任何数的平方根都有两个 B.只有正数才有平方根
C.一个正数的平方根有两个 D.m2的平方根是m
2.16的算术平方根和25的平方根的和是( )
A.9 B.-1 C.9或-1 D.-9或1
【解析】选C.因为16的算术平方根是 =4
25的平方根是±5,所以16的算术平方根和25的平方根的和是9或-1.
C
【解析】选C.正数的平方根有两个,0的平方根是0,负数没有平方根.
C
3.若 的平方根为±3,则a=( )
A.9 B.-9 C.81 D.-81
【解析】选C.因为 的平方根为±3,所以 =9,所以a=81
二、填空题(每小题4分,共12分)
4、若 是x的一个平方根，则x+1=______。
【解析】由题意可知,x=3,所以x+1=4。
答案：4
5、已知2x-1的平方根是±6 , 2x+y-1的平方根是±5 ,
2x-3y+4的平方根是________。
【解析】由题意得，2x-1=62，故2x=37；又2x+y-1=52，所以y=-11，所以2x-3y+4=37+33+4=74，故其平方根是± 。答案：
C
4
6、已知x，y为实数，且满足 ，那么
x2015-y2015=______。
又 1+x≥0，1-y≥0，所以 x+1=0，1-y=0，
得 x=-1，y=1，
所以x2015-y2015=(-1)2015-12015 =-1-1=-2.
答案:-2
【解析】因为 ，所以 。
三、解答题(8分)
7、(8分)求满足下列各式的未知数x.
(1)25x2=256. (2)(2x-1)2=169.
(3)4(3x+1)2=1. (4)
-2
【解析】(1)因为25x2=256,所以x2=
又因为 ，
所以
（2）因为(±13)2=169，所以2x-1=±13。
当2x-1=13时，得x=7；
当2x-1=-13时，得x=-6。
所以x=7或-6.
.
因为4(3x+1)2=1，所以(3x+1)2=
又因为 ，所以3x+1=
当3x+1= 时，x= ;当3x+1= 时，x=
所以x= 或x=
(4)因为 ,所以x2=
又因为 ，
所以
布置作业
教材29页习题第3、4、5题登陆21世纪教育 助您教考全无忧
课题：平方根
教学目标：
知识与技能目标：
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根、算术平方根．
2．了解求一个的平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
3．了解平方根、算术平方根的性质．
过程与方法目标：
1．在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力．
2．在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．
情感态度与价值观目标：
1.激励学生积极参与教学活动,提高大家学习数学的热情.
2.引导学生充分进行交流,讨论与探索等教学活动,培养他们的合作与钻研精神.
教学重点：
1.了解平方根开、平方根的概念.
2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.21教育网
3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.
教学难点：
1平方根与算术平方根的区别和联系.
2负数没有平方根,即负数不能进行平方根的运算.
教学过程：
课前回顾
1.无理数的定义：无限不循环小数叫无理数
2.无理数的特征:
（1）圆周率π及一些最终结果含有π的数.
（2）开方开不尽的数.
（3）虽有一定的规律，但不循环的无限小数.
3.勾股定理的内容
探究新知
活动一：根据勾股定理，结合图形完成填空
活动二：探究算术平方根的概念
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记为“ ”，读作“根号 a ”．21·cn·jy·com
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即=0．
经典例题
例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 900；(2) 1；(3) ；(4) 14
解: (1)因为302＝900， 所以900的算术平方根是30， 即
(2)因为12＝1， 所以1的算术平方根是1， 即 ;
(3)因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 ;
(4)14的算术平方根是。
注意：非平方数的算术平方根只能用根号表示.
如图所示，大正方形是由两个小正方形剪拼成的，请表示a＝ .
活动一：根据勾股定理，结合图形完成填空
例2 自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为 ．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？ www.21-cn-jy.com
解: 将h＝19.6代入公式 ， 得t2=4 ，所以正数t==2 (秒).
即铁球到达地面需要2秒.
探究新知
探究平方根的概念
32=9
(±3)2=9
(-3)2=9
02=0
不存在任何一个数的平方是负数
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。而把正的平方根叫算术平方根。
探究平方根的性质
议一议
（1）一个正数有几个平方根？ 有两个
（2）这两个平方根之间有什么关系？ 互为相反数
（2）0有几个平方根？ 有一个
（3）负数呢？ 没有
即：正数a的平方根表示为(读作“正、负根号a”).其中a叫被开方数
根号
被开方数
a为非负数
平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为 ，而算术平方根表示为。
探究平方与开平方的关系
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。（a叫做被开方数）
32=9 平方 开平方 32=9
(±3)2=9 9
(-3)2=9 (-3)2=9
所以：平方与开平方互逆运算。
经典例题
1.求下列各数的平方根:
(1)64 (2) (3)0.0004 (4) (5)1121世纪教育网版权所有
解：（1 ）∵ ∴64的平方根为 , 即 。
（2）∵ ∴ 的平方根为，即
（3）∵ ，∴0.0004的平方根为±0.02
即
（4）∵ ，∴ 的平方根为
即
（5）11的平方根 。
例2.已知一个正数的平方根是3x-2和5x+6，则这个数是_______。
解：根据题意得: (3x-2)+(5x+6)=0
解得：
所以
所以这个数是
探究分析
（1） 和 的区别：
举例：当a取何值时，下列各式有意义
（1）∵-a2≥0 ∴a2≤0 （2）∵-a≥0
又∵a2≥0 ∴a2=0 ∴ a≤0
∴a=0
课堂练习
1、下列说法正确的是_①④_⑤_______
① -3是的平方根②25的平方根是5 ③ -36的平方根是-6 ④平方根等于0的数是0 ⑤64的算术平方根是821cnjy.com
2、下列说法不正确的是__B____
A.0的平方根是0 B. -22 的平方根是2
C.非负数的平方根是互为相反数
D.一个整数的算术平方根一定大于这个数的相反数
3、 的平方根 ±5 ，的算术平方根是_3__， 的平方根是_____；
4、 =_9_, =_5__ , = ____, = _____；
5、 （ a ≥0 ）=_a_ , 当a ≥0时, =_a_.
体验收获
1、若x2= a ，那么x叫做a的平方根，记作: x =
2、正数有2个平方根，0的平方根是0. 负数没有平方根.
3、求一个数的平方根就是寻找哪个数平方等于这个数。
平方与开平方是互为逆运算的关系。
达标测试
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.下列说法中正确的是 (C )
A.任何数的平方根都有两个 B.只有正数才有平方根
C.一个正数的平方根有两个 D.m2的平方根是m
【解析】选C.正数的平方根有两个,0的平方根是0,负数没有平方根.
2.16的算术平方根和25的平方根的和是( C )
A.9 B.-1 C.9或-1 D.-9或1
【解析】选C.因为16的算术平方根是=4
25的平方根是±5,所以16的算术平方根和25的平方根的和是9或-1.
3.若的平方根为±3,则a=( C )
A.9 B.-9 C.81 D.-81
【解析】选C.因为的平方根为±3,所以=9,所以a=81
二、填空题(每小题4分,共12分)
4、若是x的一个平方根，则x+1=__4____
【解析】由题意可知,x=3,所以x+1=4。答案：4
5、已2x-1的平方根是±6，2x+y-1的平方根是±5 ，2x-3y+4的平方根是________。
【解析】由题意得，2x-1=62，故2x=37；又2x+y-1=52，所以y=-11，
所以2x-3y+4=37+33+4=74，故其平方根是。答案：
6、已知x，y为实数，且满足 ，那么x2015-y2015=__-2____。
【解析】因为 ，所以
又 1+x≥0，1-y≥0，所以 x+1=0，1-y=0， 得 x=-1，y=1，
所以x2015-y2015=(-1)2015-12015 =-1-1=-2.
答案:-2
三、解答题(8分)
7、(8分)求满足下列各式的未知数x.
(1)25x2=256. (2)(2x-1)2=169.
(3)4(3x+1)2=1. (4)
【解析】(1)因为25x2=256,所以x2=
又因为 ， 所以。
（2）因为(±13)2=169，所以2x-1=±13。
当2x-1=13时，得x=7；
当2x-1=-13时，得x=-6。
所以x=7或-6.
（3）因为4(3x+1)2=1，所以(3x+1)2=
又因为 ，所以3x+1=
当3x+1= 时，x= ;当3x+1=时，x=
所以x= 或x=
(4)因为, 以x2= ，又因为 ，
所以
布置作业
教材29页习题第3、4、5题
w2=5
z2=4
y2=3
x2=2
1
1
①
②
1
1
③
④
①
②
③
④
a
2
x＝ ；
y＝ ；
z＝ ；
w＝ ；
w2=5
y2=3
z2=4
x2=2
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 7 页 （共 8 页） 版权所有@21世纪教育网平方根
班级：___________姓名：___________得分：__________
一、选择题(每小题6分，共36分)
1、(-2)2的平方根是( )
A.2 B.±2 C.-2 D.
2、下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
3、下列计算结果为负数的是( )
A.-（-3） B.-|-3| C. D.
4、一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是( )
A.a+2 B. C. D.a2+2
5、制作一个表面积为12cm2的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是( )
A.cm B.cm C.2cm D.cm
6、已知是二元一次方程组的解，则2m-n的平方根为( )
A.4 B.2 C. D.±2
二、填空题(每小题6分，共24分)
1、的最小值是_____，这时a=_____．
2、一个房间的面积是10.8m2，而该房间恰好由120个相同的正方形地砖铺成，则每块地砖的边长是_____厘米21cnjy.com
3、如果x-4是16的算术平方根，那么x+4的值为_____．
4、一个自然数m的平方根为±a，则比它大4的自然数的平方根用a为_____．
三、解答题(每小题20分，40分)
1、若正数M的两个平方根为2n-7和4n-5，求这个正数M
2、已知，求x+y的平方根．
参考答案
一、选择题
1、答案：B
【解析】∵（﹣2）2=4
又∵（±2）2=4，4的平方根为±2，
∴（-2）2的平方根是±2．
故选B．
2、答案： C
【解析】求出每个式子的值，再判断即可．
A、-=-9，故本选项错误；B、=9，故本选项错误；
C、-=-9，故本选项正确；D、±=±9，故本选项错误；
故选C．
3、答案：B
【解析】A、-（-3）=3； B、-|-3|=-3；
C、=3； D、=3．
故选B．21世纪教育网版权所有
4、答案：D
【解析】∵一个数的算术平方根为a，
∴这个数为a2，
∴比这个数大2的数是a2+2．
故选D．
5、答案：B
【解析】设正方形的棱长是x，则6x2=12．
解得：x=cm．
故选B．
6、答案：D
【解析】由题意得：，解得；
∴±=±=±=±2；
故选D．
二、填空题
1、答案：0 2
【解析】∵4﹣2a≥0， ∴4-2a=0时有的最小值，
∴a=2，
即当a=2时，有最小值，且为021教育网
故答案为0 2．
2、答案：30
【解析】：由一个房间的面积是10.8m2，而该房间恰好由120个相同的正方形地砖铺成，则可求得每块地砖的面积，然后求其算术平方根，即可得每块地砖的边长．∵10.8m2=108000cm2，
根据题意得：每块地砖的面积为：108000÷120=900（cm2），
∴每块地砖的边长是：=30（cm）．
故答案为：30．21·cn·jy·com
3、答案：12
【解析】：根据算术平方根的定义求出x，再根据算术平方根的定义解答即可．∵42=16，
∴16的算术平方根是4，
即x-4=4，
∴x=8，
∴x+4=8+4=12．
故答案为：12www.21-cn-jy.com
4、答案：±
【解析】：∵一个自然数m的平方根是±a，
∴这个自然数m是(±a)2，
∴比m大4的自然数为：(±a)2+4=a2+4，
∴比m大4的自然数的平方根是：±．
故答案为：±2·1·c·n·j·y
三、解答题
1、答案：9
【解析】 ∵正数的两个平方根互为相反数，∴2n-7+4n-5=0，
解得n=2，
∴2n-7=2×2-7=-3，
∴这个正数M是9． 【来源：21·世纪·教育·网】
2、答案：6
【解析】根据题意得，x-2=0，y-34=0，
解得x=2，y=34， 所以x+y=36
∵（±6）2=36，
∴x+y的平方根的值为±6．21·世纪*教育网
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