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课题：二元一次方程与一次函数
教学目标：
知识与技能目标：
理解二元一次方程与一次函数的关系。会用图象法解求二元一次方程组。
能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）解决相关实际问题。学会用函数的观点去认识问题 。21教育网
过程与方法目标：
通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探究及相关实际问题的解决，学会用函数的观点去认识问题的方法。21cnjy.com
能综合运用一次函数与二元一次方（组）解决相关的实际问题，熟悉数形结合的思想方法。
情感态度与价值观目标：
1. 通过对一次函数与二元一次方程（组）关系的探索，培养勇于探索的精神；
2． 尝试从函数的角度看问题，培养学生的知识整合能力和建模意识，体验数学的工具功能，体会数学的价值。21·cn·jy·com
重点：
探索一次函数与二元一次方程（组）的关系，能运用“数形结合”的思想解决问题、
难点：
综合运用函数、方程（组）及不等式知识解决实际问题。
教学流程：
课前回顾
1.、方程组 有 0 个解；
2、方程组 有 无数 个解；
3、方程组 有 1 个解；
追问：大家先想一想方程与直线之间是不是存在某种联系呢？
两条直线互相平行，有 0 交点；
两条直线重合，有 无数 交点；
两条直线相交，有 1 交点；
情境引入
问题： y=-x+5 这是什么？
回答1：一次函数
回答2：二元一次方程
为什么有两种回答呢
(1)方程x+y=5的解有多少个解？ 无数多个解 ,.
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它们都在函数y=5-x上吗 在
(3)在一次函数y=5-x的图象上任取一个点,它的坐标适合方程x+y=5吗 适合
任取点(4,1)
4+1=5,满足x+y=5
(4)以方程x+y=5的解为坐标的所有的点所组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗
过(0,5) 、(5,0) 两点的直线图象与一次函数y=5-y的图象相同.
思考：请根据以上四个问题思考方程与一次函数的关系。
总结：一般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数
的图像相同，是一条直线。
探究1：任务一．解下列方程组
EMBED Unknown
x+y=5 y=5-x
2x-y=1 y=2x-1
任务二. 在同一直角坐标系中分别作一次函数y=5-x和y=2x-1的图象,这两个图象有交点吗
思考：交点坐标与方程组的解有什么关系？
(2)在同一直角坐标系中一次函数y=5-x和y=2x-1的图象有交点，交点坐标是（2，3）。
总结：一次函数y=5-x与y=2x-1的图像交点为(2,3)，而 是方程组 的解.
由此可得出：二元一次方程与一次函数的关系
练习1：
直线y=-2x+3 与直线y=2x的交点坐标是方程组 的解是
方程组 的解是
则直线y=-x+4 与直线y=x+4的交点坐标是_（4,0）______
做一做：
1、图中的两条直线的交点坐标是（1,3），则该坐标可以看作方程组_____ 的解。
2.利用函数图象解二元一次方程组
解：将转化为
在同一坐标系分别画出 和y=–3x+5的图象
由图象可得方程组的解为
总结：图象法解方程组的步骤：
（1）将方程组中各方程化为y=ax+b的形式
（2）画出每个一次函数的图象
（3）由交点坐标得出方程组的解
三、合作探究
探究2：1.有一组数同时适合方程x-y=2和x-y=-1吗？没有，此方程组无解
2.一次函数y=x+1,y=x-2的图象之间有何关系？两直线平行
练习2：
1.以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图形，所得两条直线（ D ）
A. 有无数个交点 B.没有交点
C. 只有一个交点 D. 以上都有可能
2. 若方程组没有解,由此一次函数y=2-x与y=-x的图像必定 ( B ).
A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断
3.有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？ 没有
画图展示一次函数y=-x+2,y=-x+5的图象之间有何关系？ 平行
归纳：（1）对应关系
（2）图象法解方程组的步骤：
①将方程组中各方程化为y=kx+b的形式；
②画出各个一次函数的图象；
③由交点坐标得出方程组的解．
四、达标测评
1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在一次函数y=2x-1的图像上.
2、方程组 的解是，由此可知
一次函数y=x+4与y=-3x+16的图像必有一个交点，且交点坐标是(6，2)
3、函数y=x-1的图象与函数y=-2x+5的图象的交点坐标是 (2,1)
4、已知直线y=2x+k与直线y=kx-2的交点横坐标为2，则k的值是6 , 交点坐标为(2,10)
5、如图所示的两条直线l1, l2的交点坐标是。
6． 用图象法解二元一次方程组
五、应用提高
1.已知一次函数y=x+m和y=-x+n的图像都经过点A(-2，0)，则m=_______,n=_______
解析 将x=-2，y=0代入y=x+m，
得0=-3+m，m=3．
将x=-2，y=0代入y=-x+n，
得0=1+n，n=-1
2.一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。顾客选择那种收费方式更划算呢？ 你能用不同的方法解决吗？21世纪教育网版权所有
六、体验收获
1.二元一次方程组与一次函数的关系
2.利用图像法解二元一次方程组
3.二元一次方程组无解的原因
七、布置作业
教材116页习题第2、3题。
y=-x+4
y=x+4
x=4
y=0
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二元一次方程与一次函数
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择题（每小题5分，30分）
1.若一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图像没有交点,则方程组的解的情况是 ( ) .2·1·c·n·j·y
A. 有无数组解 B. 有两组解
C. 只有一组解 D. 没有解
2. 如果一次函数y=3x+6与y=2x-4的交点坐标为(a,b),则是方程组( )的解.
A. B. C. D.
3. 若方程组没有解,由此一次函数y=2-x与y=-x的图像必定 ( ).
A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断
4. 已知方程组有正数解,则k的取值范围是 ( ).
A. k>4 B. k≥4 C. k>0 D. k>-4
5．图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组( )的解．
A． B.
C． D.
6．直线y=x-6与直线y=-x-的交点坐标是( )．
A．(-8，-10) B．(0，-6)； C．(10，-1) D．以上答案均不对
二、解答题（每小题14分，70分）
1．若直线y=ax+7经过一次函数y=4-3x和y=2x-1的交点，求a的值．
2．(1)在同一直角坐标系中作出一次函数y=x+2，y=x-3的图像．
(2)两者的图像有何关系
(3)你能找出一组数适合方程x-y=2，x-y=3吗 _________________，这说明方程组 ________．21世纪教育网版权所有
3．如图所示，求两直线的解析式及图像的交点坐标．
4. 从甲地向乙地打长途电话，通话3min以内收费2．4元，3min后每增加通话时间1min加收1元，求通话费用y(元)与通话时间x(min，x为正整数)之间的关系式，有10元钱时，打一次电话最多可以打多长时间 21教育网
5．如图，L1，L2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费，单位：元)与照明时间x(h)的函数图像，假设两种灯的使用寿命都是2000h，照明效果一样．
(1)根据图像分别求出L1，L2的函数关系式．
(2)当照明时间为多少时，两种灯的费用相等
(3)小亮房间计划照明2500h，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法(直接给出答案，不必写出解答过程)．21cnjy.com
参考答案
一．选择题
1．D
【解析】二元一次方程组的解与两个一次函数图象的交点坐标对应，所以一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图像没有交点,则对应的方程组没有解。21·cn·jy·com
2．C
【解析】y=3x+6 -> 3x-y=-6
y=2x-4 -> 2x-y-4=0
3．B
【解析】二元一次方程组无解，则两个一次函数图象无交点，一次函数的两条直线平行。
4．D
【解析】
5．B
【解析】：设L1的关系式为y=kx-1，将x=2，y=3代入，得3=2k-1，解得k=2．
∴L1的关系式为y=2x-1，即2x-y=1．
设L2的关系式为y=kx+1，将x=2，y=3代入，得3=2k+1，解得k=1．
∴L2的关系式为y=x+1，即x-y=-1．
故应选B．
6．C
【解析】解方程组，得
∴直线y=x-6与直线y=-x- 的交点为(10，-1)，故应选C．
二、解答题
1．解：解方程组 得 ∴两函数的交点坐标为(1，1)．
把x=1，y=1代入y=ax+7，得1=a+7，解得a=-6．
2．解：(1)图像如答图所示．
(2)y=x+2与y=x-3的图像平行．
(3)y=x+2即x-y=-2，y=x-3即x-y=3．
∵直线y=x+2与y=x-3无交点，∴方程组 无解．
提示：当两直线平行时无交点，即由两个函数解析式组成的二元一次方程组无解．
3．解：设L1的解析式为y=k1x+b1， 把 分别代入
得 解得
∴L1的解析式为y=-x-3． 设L2的解析式为y=k2x+b2，把 分别代入， 得 解得 ∴L的解析式为y=-x+1．
解方程组 得∴L1与L2的交点坐标为（-，）。
4.解：关系式为y=2．4+(x-3)，即y=x-0．6．
方法一 ∵有10元钱，∴打一次电话的费用最多是10元．
当y=10时，10=x-0．6，x=10．6，
∴x不会超过10．6，
又x为正整数，∴x最大就是10．
∴10元钱打一次电话最多可以打10min．
方法二 因有10元钱，故打一次电话的费用不会超过10元，
即x-0．6<10，解得x<10．6．
又∵x为正整数，∴x最大为10．
所以10元钱打一次电话最多可以打10min．
5．解析：(1)设L1的解析式为y1=k1x+2，由图像得17=500k1+2，解得k=0．03，
∴y1=0．03x+2(0≤x≤2000)．
设L2的解析式为y2=k2x+20，
由图像得26=500k2+20，解得k2=0．012．
∴y2=0．012x+20(0≤x≤2000)．
(2)当y1=y2时，两种灯的费用相等，
∴0．03x+2=0．012x+20，解得x=1000．
∴当照明时间为1000h时，两种灯的费用相等．
(3)最省钱的用灯方法：
节能灯使用2000h，白炽灯使用500h．
提示：本题的第(2)题，只要求出L1与L2交点的横坐标即可．第(1)题中，求出L1与L2的解析式，一定不能忽略自变量x的取值范围，这为第(3)题的分析、设计方案作了铺垫．在第(3)题中，当x>1000h时，L2在L1的下方，即采用节能灯省钱，因x最多为2000h，故求以下的500h应采用白炽灯．www.21-cn-jy.com
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二元一次方程与一次函数
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
1、方程组 有 个解；
2、方程组 有 个解；
3、方程组 有 个解；
0
无数
一
课前回顾
两条直线互相平行，有 交点；
两条直线重合，有 交点；
两条直线相交，有 交点；
0个
无数个
一个
大家先想一想方程与直线之间是不是存在某种联系呢？
课前回顾
一次函数
为什么有两种回答呢？
二元一次方程
y=-x+5
x+y=5
y=-x+5 这是什么？
情境引入
(1)方程x+y=5的解有多少个解？
无数多个解 ,.
情境引入
O
4
3
1
2
y
x
2
3
4
5
1
-1
-2
-4
-3
-4
-3
-2
-1
-5
y=5-x
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它们都在函数y=5-x上吗
（0,5）
（5,0）
（2,3）
在
O
4
3
1
2
y
x
2
3
4
5
1
-1
-2
-4
-3
-4
-3
-2
-1
-5
（4,1）
(3)在一次函数y=5-x的图象上任取一个点,它的坐标适合方程x+y=5吗
适合
任取点(4,1)
4+1=5,满足x+y=5
(4)以方程x+y=5的解为坐标的所有的点所组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗
过(0,5) 、(5,0) 两点的直线图象与一次函数y=5-y的图象相同.
请根据以上四个问题思考方程与一次函数的关系。
一般地，以一个二元一次方程的解为
坐标的点组成的图像与相应的一次函数
的图像相同，是一条直线。
思考
探究1
任务一．解下列方程组
得出
任务二. 在同一直角坐标系中分别作一次函数y=5-x和y=2x-1的图象,这两个图象有交点吗
x+y=5
y=5-x
2x-y=1
y=2x-1
x=0
y=5
x=5
y=0
x=0
y=-1
x=0.5
y=0
O
4
3
1
2
y
x
2
3
4
5
1
-1
-2
-4
-3
-4
-3
-2
-1
-5
y=2x-1
y=5-x
P(2,3)
x+y=5
2x-y=1
x=2
y=3
的解
x+y=5
2x-y=1
探究1
(2)在同一直角坐标系中一次函数y=5-x和y=2x-1的图象有交点，交点坐标是（2，3）。
(1)方程组 的解是
｛
x+y=5；
2x-y=1
x=2；
y=3。
交点坐标与方程组的解有什么关系？
｛
讨论
一次函数y=5-x与y=2x-1的图像交点为(2,3)，
而 是方程组 的解.
｛
x+y=5；
2x-y=1
x=2；
y=3。
｛
总结
二元一次方程与一次函数的关系：
二元一次
方程组的解
两个一次函数图
象的交点坐标
二元一次方程的解
一次函数图象的点坐标
总结
解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标。
练习1
1.直线y=-2x+3 与直线y=2x的交点坐标是 方程组 的解是______
2.方程组 的解是
则直线y=-x+4 与直线y=x+4的交点坐标是_______
y=-x+4
y=x+4
x=4
y=0
（4，0）
做一做
1、图中的两条直线 的交点坐标是（1,3），
则该坐标可以看作方程组_____ 的解。
y=-x+4
y=2x+1
2.利用函数图象解二元一次方程组
解： 转化为
在同一坐标系分别画出
和y=–3x+5的图象
由图象可得
方程组的解：
O
x
y
y=0.5x+1.5
y=－3x+5
一变
二画
三找
图象法解方程组的步骤：
（1）将方程组中各方程化为y=ax+b的形式
（2）画出每个一次函数的图象
（3）由交点坐标得出方程组的解
总结
1.有一组数同时适合方程x-y=2和x-y=-1吗？
2.一次函数y=x+1,y=x-2的图象之间有何关系？
1
y
0
x
4
6
5
3
2
1
2
3
5
-1
-2
6
4
7
-1
-2
-3
y= x-2
y= x+1
探究2
没有，此方程组无解
两直线平行
练习2
1.以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数画图形，所得两条直线（ ）
A. 有无数个交点 B.没有交点
C. 只有一个交点 D. 以上都有可能
2. 若方程组没有解,由此一次函数y=2-x与y=-x的图像必定 ( ).
A. 重合 B. 平行 C. 相交 D. 无法判断
B
C
3.有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？
画图展示一次函数y=-x+2,y=-x+5的图象之间有何关系？
1
y
0
x
4
6
5
3
2
1
2
3
5
-1
-2
6
4
7
-1
-2
-3
y= － x+2
y= － x+5
没有
平行
（1）对应关系
①将方程组中各方程化为y=kx+b的形式；
②画出各个一次函数的图象；
③由交点坐标得出方程组的解．
二元一次方程组的解
两个一次函数图的交点坐标
两个一次函数
(2)图象法解方程组的步骤：
归纳
1.二元一次方程组与一次函数的关系
2.利用图像法解二元一次方程组
3.二元一次方程组无解的原因
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、以方程2x-y=1的解为坐标的点都在
一次函数 ______的图像上.
2、方程组 的解是 ，由此可知
一次函数 与 的图像必有一个交点，且交点坐标是 .
x-y=4
3x-y=16
y=2x-1
x=6
y=2
y=x+4
y=-3x+16
(6，2)
达标测试
3、函数y=x-1的图象与函数y=-2x+5的图象的交点坐标是 .
5、如图所示的两条直线
l1, l2的交点坐标是 。
4、已知直线y=2x+k与直线y=kx-2的交点横坐标为2，则k的值是 , 交点坐标为 .
(2,1)
6
(2,10)
y=x+2
y=-3x+3
( , )
O
4
3
1
2
y
x
2
3
4
5
1
-1
-2
-4
-3
-4
-3
-2
-1
-5
x-2y=-2（1）
2x-y=2 （2）
6.用图象法解二元一次方程组
x=2
y=2
所以方程组的解为:
由（2）得 y=2x-2
x=0
y=-2
x=1
y=0
由此可得
进而作出y=2x-2的图象
x=0
y=1
x=-2
y=0
由此可得
解: 由（1）得
进而作出 的图象
O
4
3
1
2
y
x
2
3
4
5
1
-1
-2
-4
-3
-4
-3
-2
-1
-5
P(2,2)
应用提高
1.已知一次函数 和 的图像都经过点A(-2，0)，则m=________,n=_______.
将x=-2，y=0代入 得0=-3+m，m=3
将x=-2，y=0代入
得0=1+n，n=-1
3
-1
解析
2.一顾客准备办理上网业务，发现有两种收费方式：方式A以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。顾客选择那种收费方式更划算呢？
你能用不同的方法解决吗？
方法一：设上网时间为x分钟，收费为y元。
方式Ａ:
解方程组 得
故交点坐标为 (400,40) 。
由图象知：
当0 < x < 400时，
当x = 400时，
当x > 400时，
0
400
20
40
y(元)
X(分)
方式A:以每分钟0.1元的价格计费
方式B:除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格计费
y =0.1x
y=0.05x+20
x =400
y =40
y=0.01x元；
方式Ｂ:
y=(0.05x+20)元。
选方式A省钱；
选方式A或 B都一样；
选方式B省钱。
A
B
方法2：设上网时间为x分，方式B与方式A两种计费的
差额yB- yA为y元，
得：x=400
故直线 与x 轴的交点
为（400，0）
由图象知：
当0 < x < 400时，y > 0，
当x = 400时，y = 0，
当x > 400时，y < 0，
y(元)
X(分)
得y =-0.05x+20，
解方程 -0.05x + 20 = 0
选方式A省钱；
选方式A或B都一样；
选方式B省钱。
20
400
0
布置作业
教材124页习题第2、3题。
