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课题：用二元一次方程组确定一次函数表达式
教学目标：
知识与技能目标：
1.理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点.
2.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
3.进一步理解方程与函数的联系.
过程与方法目标
1.经历应用问题多种解法的探究过程，在探究中学会解决应用问题的一些基本方法和策略.
2.在对作图像解法与代数解法的对比中,体会知识之间的普遍联系和知识之间的相互转化.
3.通过对本节课的探究，在探究中培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力.
情感与态度目标
1.在探究过程中，培养学生联系实际、善于观察、勇于探索和勤于思考的精神.
2.在合作与交流活动中发展学生的合作意识和团队精神，在探究活动中获得成功的体验.
重点：
利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.
难点：
建立数形结合的思想．
教学流程：
课前回顾
二元一次方程组与一次函数有何联系？
二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；反之，两个一次函数图象的交点也是它们所对应的二元一次方程组的解． 21教育网
正因如此，方程问题可以通过函数知识来解决，反之，函数问题也可以通过方程知识来解决.
二元一次方程组有哪些解法？
消元法 图像法
图像法解二元一次方程组的步骤
A 二元一次方程化一次函数
B 作函数图象
C 找交点
D 方程组的解
情境引入
探究1：A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．1小时后乙距离A地80千米；2小时后甲距离A地30千米.问经过多长时间两人将相遇？21·cn·jy·com
直线型图表示：
一次函数图像解法
解法一：将直线型图转化为直角坐标系中一次函数 s 与 t 之间的关系
找出两直线交点坐标
根据两人 s 与t 之间的关系图象，找出交点的横坐标
对于乙，s 是t的一次函数，可设 s=kt+b.
当t=0时，s=100；
当t=1时，s=80.
将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k，b的值乙s与t 之间的函数表达式.s=15t
甲s与t之间的函数表达式. s=100-20t
解法二：1 小时后乙距A地80 km,即乙的速度是20 km/h, 2 小时后甲距A 地 30 km,故甲的速度是 15 km/h,由此可求出甲、乙两人的速度和 ……21cnjy.com
设同时出发后t时相遇，则15t+20t=100
解得
提问：解法一和解法二你觉得哪个更简单
回答：解法二更简单
结论：用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法www.21-cn-jy.com
启示：解题时不可以墨守成规，应选取最适合的方法以减少计算量
自主思考
探究2：某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x(千克)的一次函数.现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元，张华带了90千克的行李，交了行李费10元．21世纪教育网版权所有
1．写出y与x之间的函数表达式 2．旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设，根据题意，可得方程组
解该方程组，得
所以
（2）当x=30时，y=0．
所以旅客最多可免费携带30千克的行李．
提问：先设出表达式，这种方法叫什么呢？
先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法。2·1·c·n·j·y
总结：利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1.用含字母的系数设出一次函数的表达式；
2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；
3.解这个二元一次方程组得k，b，进而得到一次函数的表达式.
练习：如图，直线 的交点坐标是____.
合作探究
探究3：在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数．当所挂物体的质量为1千克时弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米．写出y与x之间的函数关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度．
分析：解题的关键是要准确分析题意,进而列出函数解析式y=kx+b(k≠0).
1、分析题意,根据一次函数的定义,可设y=kx+b(k≠0);
2、结合挂上1千克物体时,弹簧长15厘米,挂上3千克物体后,弹簧长16厘米,代入即可求出k、b的值,至此问题就迎刃而解了!动手试试吧!【来源：21·世纪·教育·网】
解:根据题意,设y=kx+b(k≠0),则
15=k+b,16=3k+b
解得
k=0.5,b=14.5
所以
y=0.5x+14.5
当x=4时,y=0.5*4+14.5=16.5
即y与x之间的函数关系式为y=0.5x+14.5;
当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度为16.5厘米.
五、达标测评
1. 函数，当时，的值是（ C ）
A、1 B、0 C、－1 D、－5
2. 甲乙两地相距264千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶24千米，t小时后，停在途中加水，则所剩路程s与行驶时间t之间的关系式是 ，s是t的 一次 函数.www-2-1-cnjy-com
3．如图，两条直线 的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
4. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知函数y＝kx+b的图像。
（1）根据图像，求k和b的值。
（2）在图中画出函数y＝－2x+2的图像。
（3）求x的取值范围，使函数y＝kx+b的函数值大于函数y＝－2x+2的函数值。
分析：由图像知，直线经过点（0，2）和（－2，0），通过列二元一次方程组可求出k，b的值，画出函数y＝－2x+2的图像后，发现它们的交点为（0，2），再根据一次函数的性质确定x的取值范围。21·世纪*教育网
解：（1）因为函数y＝kx+b的图像经过点（－2，0），（0，2）
（2）函数y＝－2x+2经过点（1，0），（0，2）
所以经过点（1，0），（0，2）的直线就是函数y＝－2x+2的图像。如图所示。
（3）由图像发现直线y＝x+2和直线y＝－2x+2的交点为（0，2），说明当x＝0时，它们的函数值相等，都是2，当x>0时，y＝x+2的图像在y＝－2x+2的图像上方，即y＝x+2的函数大于y＝－2x+2的函数值。2-1-c-n-j-y
六、应用提高
已知直线x－2y＝－k+6和x+3y＝4k+1的交点在第四象限内。
（1）求k的取值范围。
（2）若k为非负整数，△PAO是以OA为底的等腰三角形，点A的坐标为（2，0），P在直线x－2y＝－k+6上，求点P的坐标及OP的长。 21*cnjy*com
解：（1）由题意列方程组得：
所以两直线的交点坐标为（k+4，k－1）
所以－4（2）因为k为非负数，所以k＝0
所以直线x－2y＝－k+6可化为，如图所示
过P作PE⊥x轴于E，则OE＝AE，所以E点坐标为（1，0）
所以点P的横坐标为1，将x＝1代入，得y＝
所以点P的坐标为（1，）
在Rt△OPE中，
七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、什么是待定系数法
2、二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤
3、学会用代数方法求解问题。
七、布置作业
教材122页习题第3、4题。
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用二元一次方程组确定一次函数表达式
班级：___________姓名：___________得分：__________
填空选择题（每小题7分，28分）
请在同一直角坐标系内作出一次函数y=-2x+3与正比例函数y=2x的图象，直线y=-2x+3 与直线y=2x的交点坐标是 _______，方程组 的解是______.
图2中的两条直线、的交点坐标是 ，可以看作方程组_____ 的解。
(第2题) (第3题) (第4题)
图中两条直线和和交点坐标可以看作下列方程组中（ ）的解。
（A） （B）
（C） （D）
4.如图, 直线和直线交于一点, 则方程组的解是( )
A. x=0, y=1; B. x=0,y= -2; C. x=1,y= -2 D.x=2,y=0
二、解答题（每小题12分，72分）
1. 某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示.21cnjy.com
分别写出当0≤x≤15和x＞15时，y与x的函数关系式；
若某用户十月份用水量为10吨，则应交水费多少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他该月用水多少吨？21·cn·jy·com
2、 已知一次函数y＝ax＋2与y＝kx＋b的图象如图所示，且方程组的解为点B坐标为(0，－1)．你能确定两个一次函数的表达式吗？
3、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5 000册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：www.21-cn-jy.com
印数x(册) 5 000 8 000 10 000 15 000 …
成本y(元) 28 500 36 000 41 000 53 500 …
(1)经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y(元)是印数x(册)的一次函数，求这个一次函数的解析式(不要求写出x的取值范围)；2·1·c·n·j·y
(2)如果出版社投入成本48 000元，那么能印该读物多少册？
4、如图表示两辆汽车行驶路程与时间的关系(汽车B在汽车A后出发)，试回答下列问题：
(1)图中l1，l2分别表示哪一辆汽车的路程与时间的关系？
(2)写出汽车A和汽车B的路程与时间的函数关系式，汽车A和汽车B的速度各是多少？
(3)图中交点是什么意思？
参考答案
选择题
1. ，
【解析】-2x+3=2x
因为一次函数与对应方程组的解是一样的，所以方程组的解也是
2．(1，3) ，
3. B
4 C
【解析】因为一次函数与对应方程组的解是一样的，所以方程组的解也是（1,-2）
二、解答题
1. 解：（1）当０≤x≤15时，设，根据题意得
，解得
所以当０≤x≤15时，；
当x＞15时，设，根据题意，可得方程组
解这个方程组，得
所以当x＞15时，．
（２）当x＝10时，代入中，得y=18．
当y=51时，代入中，得x=25．
2分析：根据方程组与一次函数图象的关系，先确定两图象的交点A的坐标，再代入表达式，求出字母a，k， b的值21世纪教育网版权所有
解：∵方程组 的解是，
∴交点A的坐标为(2,1)．
∴点A在函数y＝ax＋2的图象上， 2a＋2＝1.
∵点A(2,1)，点B(0，－1)在函数y＝kx＋b图象上，
3、解： 解：(1)设所求一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
由题 意，得
解得
所以所求的函数关系式为
(2)将y＝48 000代入中，得
解得x＝12 800 .
所以能印该读物12 800册．
4. 分析：图中l1，l2表示的是一次函数的图象．由图象可知，直线l1经过点(0,0)和(3,100)，直线l2经过点(2,0)和(3,100)，由待定系数法求表达式．21教育网
解：(1)l1表示A车的路程与时间的关系，l2表示B车的路程与时间的关系．
(2)汽车A的函数关系式是s＝t，
汽车B的函数关系式是s＝100t－200；
汽车A的速度是 km/h，汽车B的速度是100 km/h.
(3)汽车A出发3 h(或汽车B出发1 h)两车相遇，此时两车行驶路程都是100 km.
(1,-2)
Y
1
x
-4
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用二元一次方程组确定一次函数表达式
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
1.二元一次方程组与一次函数有何联系？
二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标；
两个一次函数图象的交点也是它们所对应的二元一次方程组的解．
课前回顾
方程问题可以通过函数知识来解决
函数问题也可以通过方程知识来解决
3.图像法解二元一次方程组的步骤
A 二元一次方程化一次函数
B 作函数图象
C 找交点
D 方程组的解
2.二元一次方程组有哪些解法？
消元法
图象法
课前回顾
情境引入
A，B 两地相距100 km，甲、乙两人骑自行车分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s(km)都是骑车时间t (h)的一次函数.1 h后乙距A地80 km; 2小时后甲距A地30 km.
问：经过多长时间两人相遇
直线型图表示
80 km
乙
1时
2时,30 km
甲
B
A
探究1
解法一：将直线型图转化为直角坐标系中一次函数 s 与 t 之间的关系
探究1
一次函数图像解法
0
4
1
2
3
t/h
s/km
120
100
80
60
40
20
(B)
(A)
根据两人 s 与t 之间的关系图象，找出交点的横坐标
找出两直线交点坐标
对于乙，s 是t的一次函数，可设 s=kt+b.
当t=0时，s=100；
当t=1时，s=80.
将它们分别代入s=kt+b中，可以求出k，b的值.
探究1
消去 s
乙s与t 之间的函数表达式.s=15t
甲s与t之间的函数表达式. s=100-20t
联立
解答
解法二：1 小时后乙距A地80 km,即乙的速度是
20 km/h, 2 小时后甲距A 地 30 km,
故甲的速度是 15 km/h,由此可求出
甲、乙两人的速度和 ……
t=
一次函数图像解法
一元一次方程解法
用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
在以上的解题过程中你受到什么启发？
用一元一次方程的方法可以解决问题
用图象法可以解决问题
用方程组的方法可以解决问题
总结
解法一和解法二你觉得哪个更简单？
启示：解题时不可以墨守成规，应选取最适合的方法以减少计算量
用图象法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法.
解法二更简单
解法一和解法二你觉得哪个更简单？
总结
启示：解题时不可以墨守成规，应选取最适合的方法以减少计算量
某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千克）的一次函数。现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元。
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
探究2
解：（1）设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) . 根据题意，可得方程组
解得
（2）当x=30时，y=0.
所以旅客最多可免费携带30 kg的行李．
解答
先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法。
设此一次函数表达式为：y=kx+b（k≠0) .
先设出表达式，这种方法叫什么呢？
归纳
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1.用含字母的系数设出一次函数的表达式；
2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组；
3.解这个二元一次方程组得k，b，进而得到一次函数的表达式.
总结
如图，直线
的交点坐标是____.
x
y
-2
2
-1
0
1
3
3
2
1
-1
-2
练习
x
y
-2
2
-1
0
1
3
3
2
1
-1
-2
在弹性限度内,弹簧的长度y(厘米是所挂物体质量x(千克的一次函数.当所挂物体的质量为1kg时,弹簧长15厘米;当所挂物体的质量为3kg时,弹簧长16厘米.写出y与x之间的关系式,并求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度.
自主探究
解题的关键是什么？！
解题的关键是要准确分析题意,进而列出函数解析式y=kx+b(k≠0).
1、分析题意,根据一次函数的定义,可设y=kx+b(k≠0);
2、结合挂上1千克物体时,弹簧长15厘米,挂上3千克物体后,弹簧长16厘米,代入即可求出k、b的值,至此问题就迎刃而解了!动手试试吧!
解：设解:根据题意,设y=kx+b(k≠0),则
解得
所以 y=0.5x+14.5
当x=4时,y=0.5×4+14.5=16.5
即y与x之间的函数关系式为y=0.5x+14.5;
当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度为16.5厘米.
2. 甲乙两地相距264千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶24千米，t小时后，停在途中加水，则所剩路程s与行驶时间t之间的关系式 ______________，s是t的________函数.
，当x=1时, y的值是（ ）
达标测试
一次
C
1. 函数y=2x-3
A、1 B、0 C、－1 D、－5
3．如图，两条直线 的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
答案：
３
-１
2
-3
x
y
0
4.如图所示，在平面直角坐标系中，已知函数y＝kx+b的图像。
（1）根据图像，求k和b的值。
（2）在图中画出函数y＝－2x+2的图像。
（3）求x的取值范围，使函数y＝kx+b的函数值大于函数y＝－2x+2的函数值。
分析：由图像知，直线经过点（0，2）和（－2，0），通过列二元一次方程组可求出k，b的值，画出函数y＝－2x+2的图像后，发现它们的交点为（0，2），再根据一次函数的性质确定x的取值范围。
解：（1）因为函数y＝kx+b的图像经过点（－2，0），（0，2）
（2）函数y＝－2x+2经过点（1，0），（0，2）
所以经过点（1，0），（0，2）的直线就是函数y＝－2x+2的图像。如图所示。
（3）由图像发现
直线y＝x+2和直线y＝－2x+2的交点为（0，2）
当x＝0时，它们的函数值相等，都是2，
当x>0时，y＝x+2的图像在y＝－2x+2的图像上方
即y＝x+2的函数大于y＝－2x+2的函数值。
.
应用提高
已知直线x－2y＝－k+6和x+3y＝4k+1的交点在第四象限内。
（1）求k的取值范围。
（2）若k为非负整数，△PAO是以OA为底的等腰三角形，点A的坐标为（2，0），P在直线x－2y＝－k+6上，求点P的坐标及OP的长。
解：（1）由题意列方程组得：
所以两直线的交点坐标为（k+4，k－1）
所以－4所以直线x－2y＝－k+6
可化为
如图所示
（2）因为k为非负数，所以k＝0
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、什么是待定系数法
3、学会用代数方法求解问题。
2、二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤。
布置作业
教材128页习题第2、3题。
