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课题：三元一次方程组
教学目标：
知识与技能目标：
能正确说出三元一次方程（组）及其解的概念，能正确判别一组数是否是三元一次方程（组）的解；
会根据实际问题列出简单的三元一次方程或三元一次方程组。
过程与方法目标：
通过加深对概念的理解，提高对“元”和“次”的认识。
能够逐步培养类比分析和归纳概括的能力，了解辩证统一的思想。
情感态度与价值观目标：
通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识。【来源：21·世纪·教育·网】
重点：
掌握三元一次方程及三元一次方程组的概念，理解它们解的含义；
判断一组数是不是某个三元一次方程组的解.
难点：
从实际问题中抽象出三元一次方程组的过程，体会数学方程的建模思想。
教学流程：
课前回顾
在横线上分别填上“元”、“次”、“二元”、“一次”的含义
情境引入
探究1：已知甲、乙、丙三个数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数。21教育网
同学们，有三个未知量，应该怎么办呢？
甲数+乙数+丙数=23
甲数=乙数+1
2×甲数+乙数=丙数+20
设甲数为x，乙数为y，丙数为z
根据题意，可得三个方程：
x+y+z=23 ①
x=y+1 ②
2x+y-z=20 ③
观察方程①、②、③你能得出什么？
结论：二都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
x+y+z=23 ①
x=y+1 ②
2x+y-z=20 ③
总结：这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.21·世纪*教育网
练习1：1.（多选）下列方程组中，是三元一次方程组的是（AB ）
2.下列方程组中是三元一次方程组的是（ A ）
A. B. C. D.
探究2：1、解二元一次方程组的方法有哪些？
代入消元法 加减消元法
2、解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元
提问：怎样解三元一次方程组？
归纳：三元一次方程组求法步骤：
1.化“三元”为“二元”
2.化“二元”为“一元”
解答：1 . 化“三元”为“二元”
将②代入①和③中，得二元一次方程组
2y+z=22 ④
3y-z=18 ⑤
2. 化“二元”为“一元”
④+⑤得
5y=40
Y=8
将y=8代回①、 ②和③中，得
X=9
Y=8
Z=6
所以，甲数为8，乙数为8，丙数为6
练习2：
1、解方程组 的解是（ A ）
A、 B、 C、 D、
2、下列四组数中，适合三元一次方程组2x-y+z=6的是（ C ）
A、x=1,y=-1,z=-3 B、x=1,y=1,z=4
C、x=0,y=0,z=6 D、x=-1,y=1,z=3
3. 如果与是同类项，求，，的值．
解：根据题意得，解得．
三、合作探究
探究3：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.21·cn·jy·com
问题中含有几个未知数？有几个相等关系？
分析：（1）这个问题中包含有 3 个相等关系：
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张，
1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍，
1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元.
（2）这个问题中包含有 3 个未知数:
1元、2元、5元纸币的张数.
根据等量关系列出方程
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张.
根据题意，可以得到下面三个方程：
x+y+z=12
x=4y
x+2y+5z=22
将②代入①和③中，得二元一次方程组
5y+z=12 ④
6y-5z=22 ⑤
由④得
z=12-5y ⑥
将⑥代入⑤中得
Y=2
将y=2代回①、 ②和③中，得
X=8
Y=2
Z=2
所以，1元为8张，2元为2张，5元为2张
练习3：
1. 若，则_15_______．
提示：根据题意得, 解得，所以．
2、若 ，则 的值是 .
解：设 =k，则x=2k,y=3k,z=4k,
将它们代入代数式：
= =
四、达标测评
1、含有三个不同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 1 ，并且一共有 3 个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组.21cnjy.com
2、解三元一次方程组的基本思路：通过“代入 ”或“加减 ”，进行消元，把它转化为二元一次方程组或一元一次方程.2·1·c·n·j·y
3、解下列方程组：
（1）解：①×2-②，得 5x+3y=19 ④
②+③×2, 得 5x+7y=31 ⑤
由④和⑤组成方程组
解这个方程组，得
把 x=2,y=3代入②，得
2+3+2z=7
所以 z=1
因此，原方程组的解为
（2）解：由方程①得 4x-3y=0 ④
由方程②得 6y-5z=0 ⑤
③×4-④得 7y-4z=88 ⑥
由⑤和⑥组成方程组
解这个方程组，得
把y=40,z=48代入③，得
x+40-48=22 所以 x=30
因此，这个方程组的解为
4.已知关于x，y，z的三元一次方程ax+by+5z=26有两个解 和 ，求a，b的值21世纪教育网版权所有
解：将两个解代入方程可得
解得
五、应用提高
某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的 ，厂家需付甲、丙两队共5500元.www.21-cn-jy.com
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花费最少？请说明理由.
解：（1）设甲、乙、丙队每天完成工作量分别是
x,y,z，依题意有
即 解得
答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程，分别需要10天，15天和30天.
（2）设每天付给甲队a元，乙队b元，丙队c元，根据题意得
即
解得
即10a=8000（元）15b=9750（元）
因为丙队完成全部工程的期限已超过15天，所以不可能被聘用.又因为甲队完成全部工程需花8000元，而乙队完成全部工程需花9750元，所以应选择甲队完成此项工程.
答：由甲队完成此项工程花钱最少.
六、体验收获
1.什么是三元一次方程
2.什么是三元一次方程组
3.三元一次方程组的解法
七、布置作业
教材132页习题第2、3题。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 7 页 （共 8 页） 版权所有@21世纪教育网三元一次方程
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择题(每题3分，共36分)
1. 解方程组，若要使运算简便，消元的方法应选取( )
（A）先消去x. （B）先消去y. （C）先消去z. （D）以上说法都不对.
2. 三元一次方程组，消去未知数后，得到的二元一次方程组是( )
（A）.（B）.（C）.（D）.
3. 若方程组的解和的值互为相反数,则的值等于( )
(A)0. (B)1. (C)2. (D)3.21世纪教育网版权所有
4. 已知方程组有无穷多组解,则的值分别为( )
(A)． (B) ． (C) ． (D) 可取任意值．
二、解下列方程组（每小题10分，40分） 21教育网
（1） (2)
(3) (4)
三、解答题（每小题15分，60分）
1．在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=0,；当x=-1时，y=0；当x=0时，y=5.求a,b,c的值.21cnjy.com
2．一次足球比赛共赛11轮，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某队所负场数是所胜场数的 ，结果共得20分，该队共平几场？21·cn·jy·com
3、已知关于x、y、z的三元一次方程ax+by+5z=26有两个解 和 ，求a,b的值，再任意写www.21-cn-jy.com
出它的三个解.
4、汽车在平路上每小时行驶30千米，上坡路每小时行驶28千米，下坡每小时行驶35千米，现在行驶142千米的路程（有上坡、平坡、下坡），去时用4小时30分钟，回来时用4小时42分钟，问平路有多少千米？去时上坡、下坡共有多少千米？
参考答案
选择题
B
【解析】的系数是1或-1
2. Ｂ；
【解析】第一个方程减去第二个方程得，再将第一个方程乘以4加上第二个方程得．
3. C；
【解析】根据题意得，解关于，的方程即可．
4. A；
【解析】把第一个方程乘以2得，故．
解下列方程组
（1）解：①×2-②，得 3x+7y=-5 ④ ②+③×2,得 7x +3y=15 ⑤ 由④和⑤组成方程组得解这个方程组得把x=3，y=-2代入②，得3-（-2）+2z=7 所以z=1因此，三元一次方程组的解是（2）解：①-②，得 2x+y=4 ③ ①-③, 得 x-y=-1 ④由③和④组成方程组，得解这个方程组，得把x=1,y=2代入②，得 2+ z+1=10,所以z=7.所以三元一次方程组的解是（3） 解：设x=k,则y=2k,z=7k.把它们代入②，得 2k-2k+21k=21解得 k=1.所以 x=1, y=2, z=7.因此，原方程组的解为
（4）解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 ④与④组成方程组解这个方程组，得把x＝5，z＝-2代入②，得∴原三元一次方程组的解为：
三．解答题
1．解：依题意，得
解得
2．解：设该队胜x场，平y场，负z场，
依题意得
解得
答：该队共平2场.
3. 解：由原方程可知
解得
则原方程为3x+4y+5z=26,任意三组解为
4. 解：设去时上坡、平路、下坡分别有x千米、y千米、z千米，根据题意列方程组得
解得
答：平路有30千米，去时上坡有42千米，下坡有70千米.
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三元一次方程组
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
二元一次方程
未知量
未知量的最高次幂
两个未知量
未知量的最高次幂是1
在横线上分别填上“元”、“次”、“二元”、“一次”的含义
课前回顾
.
已知甲、乙、丙三个数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数。
有三个未知量，应该怎么办呢？
情境引入
三个未知量 需要三个方程 三个等量关系
已知甲、乙、丙三个数的和是23，甲数比乙数大1，甲数的2倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数。
甲数+乙数+丙数=23
甲数=乙数+1
2×甲数+乙数=丙数+20
设甲数为x，乙数为y，丙数为z
根据题意，可得三个方程：
x+y+z=23 ①
x=y+1 ②
2x+y-z=20 ③
观察方程①、②、③你能得出什么？
探究1
都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.
结论
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
x+y+z=23 ①
x=y+1 ②
2x+y-z=20 ③
总结
练习1
1.（多选）下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A.
AB.
（方程个数不一定有三个，但至少有两个有三个未知数）
（至少有三个未知数）
（最高次幂不能为2）
2、下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）
A、 B、
C、 D、
A
练习1
代入消元法
2、解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元
一元一次方程
二元一次方程组
消元
1、解二元一次方程组的方法有哪些？
加减消元法
探究2
三元一次
方程组
一元一次
方程
二元一次
方程组
消元
消元
怎样解三元一次方程组？
1.用代入法或加减法化“三元”为“二元”
三元一次方程组求法步骤：
2.用代入法或加减法化“二元”为“一元”
3.解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
4.回代求出另外两个未知数的值.
5.把方程组的解表示出来.
6.检验(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
（消去一个未知数）
（消去一个未知数）
将②代入①和③中，得二元一次方程组
2y+z=22 ④
3y-z=18 ⑤
解答
1 . 代入法化“三元”为“二元”
2. 加减法化“二元”为“一元” 。
④+⑤得
5y=40
解得：
X=9
Y=8
Z=6
所以，甲数为8，乙数为8，丙数为6
Y=8
将y=8代回①、 ②和③中，得
3.解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
4.回代求出另外两个未知数的值.
1、解方程组 的解是（ ）
A、 B、 C、 D、
A
练习2
2.、下列四组数中，适合三元一次方程组2x-y+z=6的是（ ）
A、x=1,y=-1,z=-3 B、x=1,y=1,z=4
C、x=0,y=0,z=6 D、x=-1,y=1,z=3
C
3. 如果 与 是同类项，求x ，y ，z 的值．
解：根据题意得
解得
练习3
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.
问题中含有几个未知数？有几个相等关系？
探究3
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.
分析：（1）这个问题中包含有 个相等关系：
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张，1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍，
1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元.
（2）这个问题中包含有 个未知数:
1元、2元、5元纸币的张数.
三
三
探究3
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张.
根据题意，可以得到下面三个方程：
x+y+z=12
x=4y
x+2y+5z=22
①
②
③
根据等量关系列出方程
将②代入①和③中，得二元一次方程组
5y+z=12 ④
6y-5z=22 ⑤
解答
1 . 化“三元”为“二元”
2. 化“二元”为“一元” 。
由④得
z=12-5y ⑥
解得：
X=8
Y=2
Z=2
所以，1元为8张，2元为2张，5元为2张
Y=2
将y=2代回①、 ②和③中，得
将⑥代入⑤中得
3.解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
4.回代求出另外两个未知数的值.
1. 若
，则 ________．
【解析】根据题意得
解得
所以 ．
15
15
练习3
2、若 ，
则 的值是 .
解：设 =k，则x=2k,y=3k,z=4k,
将它们代入代数式：
=
=
1.什么是三元一次方程
2.什么是三元一次方程组
3.三元一次方程组的解法
体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1、含有三个不同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 ，并且一共有 个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组.
2、解三元一次方程组的基本思路：通过“ ”或“ ”，进行消元，把它转化为二元一次方程组或一元一次方程.
1
代入
加减
达标测试
3
3、解下列方程组：
（1）
①
②
③
解：①×2-②，得 5x+3y=19 ④
②+③×2, 得 5x+7y=31 ⑤
由④和⑤组成方程组
解这个方程组，得
把 x=2,y=3代入②，得
2+3+2z=7
所以 z=1
因此，原方程组的解为
①
②
③
（2）
解：由方程①得 4x-3y=0 ④
由方程②得 6y-5z=0 ⑤
③×4-④得 7y-4z=88 ⑥
由⑤和⑥组成方程组
解这个方程组，得
把y=40,z=48代入③，得
x+40-48=22 所以 x=30
因此，这个方程组的解为
4.已知关于x，y，z的三元一次方程ax+by+5z=26有两个解 和 ，求a，b的值
解：将两个解代入方程可得
解得
某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的 ，厂家需付甲、丙两队共5500元.
（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？
（2）若工期要求不超过15天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花费最少？请说明理由.
应用提高
解：（1）设甲、乙、丙队每天完成工作量分别是
x,y,z，依题意有
即
答：甲、乙、丙各队单独完成全部工程，分别需要10天，15天和30天.
解得
（2）设每天付给甲队a元，乙队b元，丙队c元，根据题意得
解得
即10a=8000（元）15b=9750（元）
因为丙队完成全部工程的期限已超过15天，所以不可能被聘用.又因为甲队完成全部工程需花8000元，而乙队完成全部工程需花9750元，所以应选择甲队完成此项工程.
答：由甲队完成此项工程花钱最少.
布置作业
教材132页习题第2、3题。
