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课题：定义与命题
教学目标：
知识与技能目标：
1．让学生了解定义的含义并了解给一些名称下定义的常用方法；
2．让学生了解命题的含义．
过程与方法目标：
1．让学生经历术语定义产生的过程，在通过类比、完成填空的过程中培养自学的能力；
2．让学生经历“命题”这个名词的定义产生过程，进一步了解命题的含义.
情感态度与价值观目标：
1．通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系.
重点：
1．了解命题的含义，能够区分“命题”与“正确的命题（真命题）”；
2．理解命题的结构，把命题改写成“如果……，那么……”的形式.
难点：
命题的概念的理解.
教学流程：
情境引入
创设“一对父子的谈话”场景让学生发现有关的数学问题.
在老师的描述中抢答出这是什么数学名词。
师总结：可见，在交流时对名称和术语要有共同的认识才行.
设计说明：用这种形式引入，让学生及早融入课堂，积极思考，也作为本节课的一个贯穿的背景。更重要的是，希望学生初步明白下定义的重要性.
自主探究
探究1：
证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义.
解：设赤道的周长为xm，则铁丝与赤道的间隙为：
如：1、“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国的公民”是“中华人民共和国公民”的定义.
大家还能举出一些例子吗？
2、“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离” 是“ ”的定义;
解：两点之间的距离
3、“无限不循环小数称为无理数” 是 “ ”的定义;
解：无理数
4、“由不在同一直线上的若干线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形” 是 “ ”的定义;21教育网
解：多边形
5、“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形” 是“ ”的定义;
解：等腰三角形
目的：
鼓励学生自己动脑思考并与小组的其他同学相互讨论，对学生的答案进行肯定，激发他们学习数学的兴趣.为了真正做到有效的合作学习，让学生在进行讨论之前先进行独立思考，有了自己的想法，然后再与别人交换意见，产生思维的碰撞，以真正达到讨论的目的.
考考你
请说出下列名词的定义：
（1）有理数（2）直角三角形（3）一次函数（4）一元二次方程（5）压强
探究2：
你认为线段a与线段b哪个比较长？
线段a比线段b长.
线段b比线段a长.
线段a与线段b一样长.
判断一件事情的句子，叫做命题.
下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？与同伴进行交流.
（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；
（2）对顶角相等；
（3）无论n为怎样的自然数，式子n2－n+11的值都是质数；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（5）你喜欢数学吗？
（6）作线段AB=CD.
解：（1）（2）（3）（4）对事情进行了判断，都是命题.
（5）（6）没有对事情做出判断，不是命题.
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴进行交流.
（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
（2）如果a=b，那么a =b ；
（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.
一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.
命题通常可以写成“如果‥‥‥那么‥‥‥ ”的形式，
其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
做一做：
下列句子中哪些是命题？
（1）动物都需要水； （2）猴子是动物的一种；
（3）玫瑰花是动物； （4）美丽的天空；
（5）相等的角是对顶角；（6）负数都小于零；
（7）你的作业做完了吗？（8）所有的质数都是奇数；
（9）过直线 l 外一点作 l 的平行线；
（10）如果a=b，a=c，那么b=c.
解:（1）（2）（3）（4）（5）（6）（8）（10）是命题.
三、合作探究
探究3：
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是任何判断的？与同伴进行交流.
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a≠b， b≠c，那么a≠c ；
（3）全等三角形的面积相等；
（4）如果室外气温低于0℃，那么地面上的水一定会结冰.
解：（1）条件：两个角相等，结论：它们是对顶角.
（2）条件： a≠b， b≠c ，结论： a≠c.
（3）条件： 两个三角形全等，结论： 它们的面积相等.
（4）条件：室外气温低于0℃ ，结论：地面上的水一定会结冰.
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
说明假命题的方法：举反例
使之具有命题的条件，而不具有命题的结论.
做一做：
四个命题：①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；②有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等；③点P（1，2）关于原点的对称点坐标为（﹣1，﹣2）；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的是（ ）21cnjy.com
解①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确；
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，错误；
③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（﹣1,﹣2），正确；
④对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故错误．
综上所述，正确的是①③．
四、合作探究
探究4：
公理：公认的真命题称为公理.
证明：除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证
明.
定理：经过证明的真命题称为定理.
本套教科书选用九条基本事实中已认识的其中八条是：
1.两点确定一条直线。
2.两点之间线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
8.三边对应相等的两个三角形全等．
例 已知：如图7-5，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC=∠BOD
解：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD补角（补角的定义）
∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）
做一做：
写出命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题并证明．
解：命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题为直角三角形的两锐角互余．
已知：△ABC中，∠C=90°．
求证：∠A+∠B=90°．
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，而∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°即∠A与∠B互余．
五、小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1、命题都是由条件和结论两部分组成, “如果……那么……”
2、说明一个命题是假命题的方法：举反例
3、说明一个命题是真命题的方法：证明
证明的依据:公理（等式的性质） 定义、已证明的定理
六、达标测评
1、“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题
解：B
2、下列命题中，属于定义的是（ ）
A、两点确定一条直线
B、同角的余角相等
C、两直线平行，内错角相等
D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长
解：D
3、x=3是方程的解，这个命题是真命题还是假命题？请说明理由.
解：真命题.理由如下：将x=3代入方程，方程的左右两边相等.
4、若x是实数，则x 2>0.这个命题是真命题还是假命题？请说明理由.
解：假命题.因为若x=0，则 x 2>0.
七、拓展延伸
1.说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题并证明这个逆命题是真命题．
解：“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题为“到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上”．此逆命题为真命题．21世纪教育网版权所有
已知：如图，CA=CB，
求证：点C在线段AB的垂直平分线上．
证明：作CD⊥AB，如图1，
∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴Rt△ADC≌△Rt△BDC，∴AD=BD，∴CD垂直平分AB，
即点C在线段AB的垂直平分线上.
八、布置作业
教材171页习题第1、2题.
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定义与命题
班级：___________姓名：___________得分：__________
一．选择题(每小题5分，共35分)
1．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①同位角相等
②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行
③长度相等的弧是等弧
④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列命题为真命题的是（ ）
A．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
B．方程x2﹣x+2=0有两个不相等的实数根
C．面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是1：4
D．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．对角线相等的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分
4．①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；
其中真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是正方形
B．依次连结四边形四边中点所组成的图形是矩形
C．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
6．下列命题正确的个数是（ ）
（1）直径是圆中最大的弦．
（2）长度相等的两条弧一定是等弧．
（3）半径相等的两个圆是等圆．
（4）面积相等的两个圆是等圆．
（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．同角或等角的余角相等
C．必然事件发生的概率为0
D．六边形的内角和等于540°
二．填空题(每小题5分，共20分)
1．命题“对顶角相等”的逆命题是 ．
2．已知下列命题：
①正五边形的每个外角等于72°；
②90°的圆周角所对的弦是直径；
③方程ax2+bx+c=0，当b2﹣4ac＞0时，方程一定有两个不等实根；
④函数y=kx+b，当k＞0时，图象有可能不经过第二象限；
真命题是 ．
3．把命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ．
4．命题“如a2＞b2，则a＞b”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
三．解答题(每小题15分，共45分)
1．阅读下面材料：
判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．
例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：
如图，OC是∠AOB的平分线，∠1=∠2，但它们不是对顶角．
请你举出一个反例说明命题“互补的角是同旁内角”是假命题（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）．21教育网
2．下列各语句中个，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果…那么…”的形式，再指出命题的条件和结论．2·1·c·n·j·y
①同号两数的和一定不是负数；
②若x=2，则1﹣5x=0；
③延长线段AB至C，使B是AC的中点；
④互为倒数的两个数的积为1．
3．判断下列命题的真假，是假命题的举出反例．
①两个锐角的和是钝角
②一个角的补角大于这个角
③不相等的角不是对顶角．
参考答案
一．选择题(每小题5分，共35分)
1．A
【解析】两直线平行，同位角相等，所以①错误；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②错误；
在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以③选项错误；
顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，所以④正确．
故选A．
2．D
【解析】有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，选项A中的一角不一定是对应相等两边的夹角，故选项A错误；21世纪教育网版权所有
∵x2﹣x+2=0，
∴△=（﹣1）2﹣4×1×2=1﹣8=﹣7＜0，
∴方程x2﹣x+2=0没有实数根，
故选项B错误；
面积之比为1：4的两个相似三角形的周长之比是1：2，故选项C错误；
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形，这个四边形的对边都等于原来四边形与这组对边相对的对角线的一半，并且和这条对角线平行，故得到的中点四边形是平行四边形，故选项D正确；21cnjy.com
故选D．
3．D
【解析】A、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以A选项错误；
B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以C选项错误；
D、三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，所以D选项正确．
故选D．
4．C
【解析】①两点确定一条直线，正确，是真命题；
②两点之间，线段最短，正确，是真命题；
③对顶角相等，正确，是真命题；
④两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题；
正确的有3个，
故选：C．
5．C
【解答】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、依次连接四边形四边中点所组成的图形是平行四边形，故选项错误；
C、平分弦（不是直径）垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故正确；
D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故选项错误．
故选C．
6．B
【解析】（1）直径是圆中最大的弦，正确．
（2）长度相等的两条弧一定是等弧，错误．
（3）半径相等的两个圆是等圆，正确．
（4）面积相等的两个圆是等圆，正确．
（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，错误，
故选B．
7．B
【解析】A、各边相等的多边形是正多边形，说法错误；
B、同角或等角的余角相等，说法正确；
C、必然事件发生的概率为0，说法错误；
D、六边形的内角和等于540°，说法错误；
故选：B．
二．填空题(每小题5分，共20分)
1．相等的角为对顶角．
【解析】命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为相等的角为对顶角．
2．①②
【解析】①正五边形的每个外角等于72°是真命题；
②90°的圆周角所对的弦是直径是真命题；
③方程ax2+bx+c=0，当a=0时，b2﹣4ac＞0时，方程一定有一个不等实根是假命题；
④函数y=kx+b，当k＞0，b＞0时，图象经过第二象限，是假命题；
故答案为：①②．
3．两个角是对顶角；这两个角相等
【解析】原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，
命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
故答案为：两个角是对顶角；这两个角相等．
4．假．
【解析】如a2＞b2，则a＞b”的逆命题是：如a＞b，则a2＞b2，
假设a=1，b=﹣2，此时a＞b，但a2＜b2，即此命题为假命题．
故答案为：假．
三．解答题(每小题15分，共45分)
1．反例：如图，∠1与∠2是邻补角，∠1与∠2互补，但是它们不是同旁内角．
【解析】举反例时，画出两个互补且不是同旁内角的角
反例：如图，∠1与∠2是邻补角，∠1与∠2互补，但是它们不是同旁内角．
2．答案见解析．
【解析】①同号两数的和一定不是负数是命题，改写为：如果两个数是同号，那么这两个数的和一定不是负数，条件是：两个数是同号，结论是这两个数的和一定不是负数；
②若x=2，则1﹣5x=0是命题，改写为：如果x=2，那么1﹣5x=0，条件是x=2，结论是1﹣5x=0；21·cn·jy·com
③延长线段AB至C，使B是AC的中点不是命题；
④互为倒数的两个数的积为1是命题，改写为：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1，条件是两个数互为倒数，结论是这两个数的积为1．www.21-cn-jy.com
3．①假命题．反例为：30°与40°的和为70°；
②假命题．反例为：120°的补角为60°；
③真命题．
【解析】①假命题．反例为：30°与40°的和为70°；
②假命题．反例为：120°的补角为60°；
③真命题．
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定义与命题
【义务教育教科书北师版八年级上册】
学校：________
教师：________
情境引入
一对父子的谈话
法律就是法国的律师
爸爸，什么叫法律？
法盲就是法国的盲人
那么什么是法盲？
可见，在交流时对名称和术语要有共同的认识才行.
探究1
证明时，为了交流的方便，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义.
2、 “两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离” 是“ ”的定义;
两点之间的距离
中华人民共和国公民
例如: 1、“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民” 是“ ”的定义;
探究1
4、“由不在同一直线上的若干线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫做多边形” 是 “ ”的定义;
多边形
无理数
3、“无限不循环小数称为无理数” 是 “ ”的定义;
5、“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形” 是“ ”的定义;
等腰三角形
考考你
请说出下列名词的定义：
（1）有理数（2）直角三角形（3）一次函数
（4）一元二次方程（5）压强
探究2
a
b
你认为线段a与线段b哪个比较长？
线段a比线段b长.
线段b比线段a长.
线段a与线段b一样长.
判断一件事情的句子，叫做命题.
探究2
下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？与同伴进行交流.
（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；
（2）对顶角相等；
（3）无论n为怎样的自然数，式子n2－n+11的值都是质数；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
探究2
（5）你喜欢数学吗？
（6）作线段AB=CD.
解：（1）（2）（3）（4）对事情进行了判断，都是命题.
（5）（6）没有对事情做出判断，不是命题.
探究2
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？与同伴进行交流.
（1）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
（2）如果a=b，那么a =b ；
（3）如果两个三角形中有两边和一个角分别相等，那么这两个三角形全等.
探究2
一般地，每个命题都由条件和结论两部分组成.
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.
命题通常可以写成“如果‥‥‥那么‥‥‥ ”的形式，
其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
做一做
下列句子中哪些是命题？
（1）动物都需要水； （2）猴子是动物的一种；
（3）玫瑰花是动物； （4）美丽的天空；
（5）相等的角是对顶角；（6）负数都小于零；
（7）你的作业做完了吗？（8）所有的质数都是奇数；
（9）过直线 l 外一点作 l 的平行线；
（10）如果a=b，a=c，那么b=c.
解:（1）（2）（3）（4）（5）（6）（8）（10）是命题.
探究3
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？与同伴进行交流.
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a≠b， b≠c，那么a≠c ；
解：条件：两个角相等，结论：它们是对顶角.
解：条件： a≠b， b≠c ，结论： a≠c.
错误命题，如等腰三角形的两个角相等
错误命题，如a= 2 c=2 b=3 a≠b， b≠c, a=c
探究3
指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？与同伴进行交流.
（3）全等三角形的面积相等；
（4）如果室外气温低于0℃，那么地面上的水一定会结冰.
解：条件： 两个三角形全等，结论： 它们的面积相等.
解：条件：室外气温低于0℃ ，结论：地面上的水一定会结冰.
正确命题
正确命题
探究3
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
说明假命题的方法：举反例
使之具有命题的条件，而不具有命题的结论.
四个命题：①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分；②有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等；③点P（1，2）关于原点的对称点坐标为（﹣1，﹣2）；④对角线互相垂直的四边形是菱形，其中正确的是（ ）
做一做
解①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分，正确；
②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，错误；
③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（﹣1,﹣2），正确；
④对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，故错误．
综上所述，正确的是①③．
做一做
公理：公认的真命题称为公理.
证明：除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明.
定理：经过证明的真命题称为定理.
一些条件
原名、公理
+
推理
证实其它命题的正确性
推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
探究4
探究4
本套教科书选用九条基本事实中已认识的其中八条是：
1.两点确定一条直线。
2.两点之间线段最短。
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
7.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
8.三边对应相等的两个三角形全等．
探究4
例 已知：如图7-5，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC=∠BOD
探究4
解：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴∠AOB和∠COD都是平角（平角的定义）
∴∠AOC和∠BOD都是∠AOD补角（补角的定义）
∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）
做一做
写出命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题并证明．
解：命题“有两角互余的三角形是直角三角形”的逆命题为直角三角形的两锐角互余．
已知：△ABC中，∠C=90°．
求证：∠A+∠B=90°．
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，而∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°即∠A与∠B互余．
小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
1、命题都是由条件和结论两部分组成
2、说明一个命题是假命题的方法：
举反例
3、说明一个命题是真命题的方法：
证明
证明的依据:公理（等式的性质） 定义、已证明的定理
“如果……那么……”
条件
结论
达标测评
1、“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A、定理 B、公理 C、定义 D、只是命题
B
2、下列命题中，属于定义的是（ ）
A、两点确定一条直线
B、同角的余角相等
C、两直线平行，内错角相等
D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
D
达标测评
3、x=3是方程 的解，这个命题是真命题
还是假命题？请说明理由.
解：真命题.理由如下：将x=3代入方程，方程的左右两边相等.
4、若x是实数，则x 2>0.这个命题是真命题还是假命题？请说明理由.
解：假命题.因为若x=0，则 x 2>0.
1.说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
相等”的逆命题并证明这个逆命题是真命题．
解：“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题为“到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上”．此逆命题为真命题．
已知：如图，CA=CB，
求证：点C在线段AB的垂直平分线上．
证明：作CD⊥AB，如图1，
∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴Rt△ADC≌△Rt△BDC，∴AD=BD，∴CD垂直平分AB，
即点C在线段AB的垂直平分线上.
拓展延伸
布置作业
教材171页习题第1、2题
