上海大同中学2025-2026学年高一上学期数学期末试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 上海大同中学2025-2026学年高一上学期数学期末试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 566.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-30 00:00:00 | ||
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文档简介
大同中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末
一、填空题（每题3分，共36分）
1.若幂函数的图像经过点，则______．
2.已知集合，，则______。
3.函数的定义域为______．
4.已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______rad．
5.函数的零点为______．
6.已知，则______．
7.关于的方程的解集为______．
8.若，，则角的取值集合为______．
9.已知函数，的最小值为，则______．
10.已知函数的定义域为，若是偶函数，是奇函数，则______．
11.已知，且满足等式，则的最小值为______．
12.已知，若存在实数，使得对任意，恒成立，则的最小值是______.
二、选择题（每题4分，共16分）
13.已知为第二象限角，若，则在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
14.已知函数的定义域为，那么“函数的图像关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
15.定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得对任意实数都成立，我们称是上“相关函数”。下列关于“相关函数”的描述正确的是（ ）
A.不存在常值函数是“相关函数” B.是“相关函数”
C. “2026相关函数”至少有一个零点 D. “相关函数”至少有一个零点
16.已知函数的图像关于直线对称的图像仍旧为某一函数的图像，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（，共48分）
17.（本题满分分）
已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18.（本题满分分）
在中，角、、对应边为、、，其中．
（1）若，且，求边长的值；
（2）若，，求．
19.（本题满分分）
2025年11月21日，为期13天的第十五届全运会落下帷幕，据调查，国内某公司生产的一款全运会吉祥物的“供货价格”为“固定价格浮动价格”，其中固定价格为60元，浮动价格（单位：元）．已知每件吉祥物的售价为正整数，且当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件；当每件吉祥物售价大于100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价供货价格）销售量。
（1）当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？
（2）每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大？最大为多少元？
20.（本题满分分）
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）证明：是无理数．
21.（本题满分分）
对于定义在上的函数，记集合，．
（1）若，直接写出和；
（2）若，求的最小值；
（3）已知函数有最小值，证明：“是偶函数”的充要条件为“对任意，都有”．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6. ;
7.; 8.; 9.; 10.；
11. 12.
12.已知，若存在实数，使得对任意，恒成立，则的最小值是______.
【答案】
【解析】在单位圆中，利用三角函数的定义，可得的终边要落在图中阴影部分区域（其中，
所以，因为对任意都成立，
所以，即，同例，所以的最小值为．
二、选择题
13.C 14.A 15. C 16.D
15.定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得对任意实数都成立，我们称是上“相关函数”。下列关于“相关函数”的描述正确的是（ ）
A.不存在常值函数是“相关函数” B.是“相关函数”
C. “2026相关函数”至少有一个零点 D. “相关函数”至少有一个零点
【解析】 任意常值函数都是“相关函数”，而对任意都是“相关函数”，故A错
若是“相关函数”，则恒成立，
即恒成立，此时有，无解，故B错
对“2026相关函数”，有，若，则函数至少有两个零点，若，则必有，故函数在至少有一个零点，C对
对“相关函数”，同C的思路，有，不能判断
16.已知函数的图像关于直线对称的图像仍旧为某一函数的图像，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】函数在点处的切线关于直线对称的直线恰为一条垂直于轴的直线，此时切线斜率为，得
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）万元 （2）145元时，利润最大为80元
20.（本题满分分）
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）证明：是无理数．
【答案】（1）（2）（3）证明见解析
【解析】（1）证明：
（2）证明：
因为，所以
则
（3）证明：假设是有理数，设
由（1）知，由（2）知
因为
所以即
若是有理数，设（互质），代入方程，
可得，通过分析的奇偶性等，可发现无论取何值，都无法使等式成立，这与假设矛盾，所以是无理数.
21.（本题满分分）
对于定义在上的函数，记集合，．
（1）若，直接写出和；
（2）若，求的最小值；
（3）已知函数有最小值，证明：“是偶函数”的充要条件为“对任意，都有”．
【答案】（1）； （2）
（3）证明见解析
【解析】（1）；
（2）当时，的最小值为；当时，的最小值为；
当时，的最小值为0，所以的最小值为
（3）证明：充分性：若是偶函数，则
对于任意
因为，所以，
，所以
必要性：若对任意，都有
因为函数有最小值，设最小值为，则存在使得
对于任意，
因为，所以，即，
所以是偶函数，所以＂是偶函数＂的充要条件为＂对任意，都有＂
一、填空题（每题3分，共36分）
1.若幂函数的图像经过点，则______．
2.已知集合，，则______。
3.函数的定义域为______．
4.已知某扇形的半径为2，弧长为，则该扇形的圆心角为______rad．
5.函数的零点为______．
6.已知，则______．
7.关于的方程的解集为______．
8.若，，则角的取值集合为______．
9.已知函数，的最小值为，则______．
10.已知函数的定义域为，若是偶函数，是奇函数，则______．
11.已知，且满足等式，则的最小值为______．
12.已知，若存在实数，使得对任意，恒成立，则的最小值是______.
二、选择题（每题4分，共16分）
13.已知为第二象限角，若，则在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
14.已知函数的定义域为，那么“函数的图像关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
15.定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得对任意实数都成立，我们称是上“相关函数”。下列关于“相关函数”的描述正确的是（ ）
A.不存在常值函数是“相关函数” B.是“相关函数”
C. “2026相关函数”至少有一个零点 D. “相关函数”至少有一个零点
16.已知函数的图像关于直线对称的图像仍旧为某一函数的图像，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（，共48分）
17.（本题满分分）
已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
18.（本题满分分）
在中，角、、对应边为、、，其中．
（1）若，且，求边长的值；
（2）若，，求．
19.（本题满分分）
2025年11月21日，为期13天的第十五届全运会落下帷幕，据调查，国内某公司生产的一款全运会吉祥物的“供货价格”为“固定价格浮动价格”，其中固定价格为60元，浮动价格（单位：元）．已知每件吉祥物的售价为正整数，且当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件；当每件吉祥物售价大于100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总利润（售价供货价格）销售量。
（1）当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？
（2）每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大？最大为多少元？
20.（本题满分分）
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）证明：是无理数．
21.（本题满分分）
对于定义在上的函数，记集合，．
（1）若，直接写出和；
（2）若，求的最小值；
（3）已知函数有最小值，证明：“是偶函数”的充要条件为“对任意，都有”．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6. ;
7.; 8.; 9.; 10.；
11. 12.
12.已知，若存在实数，使得对任意，恒成立，则的最小值是______.
【答案】
【解析】在单位圆中，利用三角函数的定义，可得的终边要落在图中阴影部分区域（其中，
所以，因为对任意都成立，
所以，即，同例，所以的最小值为．
二、选择题
13.C 14.A 15. C 16.D
15.定义在上且图像连续不断的函数，若存在实数使得对任意实数都成立，我们称是上“相关函数”。下列关于“相关函数”的描述正确的是（ ）
A.不存在常值函数是“相关函数” B.是“相关函数”
C. “2026相关函数”至少有一个零点 D. “相关函数”至少有一个零点
【解析】 任意常值函数都是“相关函数”，而对任意都是“相关函数”，故A错
若是“相关函数”，则恒成立，
即恒成立，此时有，无解，故B错
对“2026相关函数”，有，若，则函数至少有两个零点，若，则必有，故函数在至少有一个零点，C对
对“相关函数”，同C的思路，有，不能判断
16.已知函数的图像关于直线对称的图像仍旧为某一函数的图像，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【解析】函数在点处的切线关于直线对称的直线恰为一条垂直于轴的直线，此时切线斜率为，得
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）万元 （2）145元时，利润最大为80元
20.（本题满分分）
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）证明：是无理数．
【答案】（1）（2）（3）证明见解析
【解析】（1）证明：
（2）证明：
因为，所以
则
（3）证明：假设是有理数，设
由（1）知，由（2）知
因为
所以即
若是有理数，设（互质），代入方程，
可得，通过分析的奇偶性等，可发现无论取何值，都无法使等式成立，这与假设矛盾，所以是无理数.
21.（本题满分分）
对于定义在上的函数，记集合，．
（1）若，直接写出和；
（2）若，求的最小值；
（3）已知函数有最小值，证明：“是偶函数”的充要条件为“对任意，都有”．
【答案】（1）； （2）
（3）证明见解析
【解析】（1）；
（2）当时，的最小值为；当时，的最小值为；
当时，的最小值为0，所以的最小值为
（3）证明：充分性：若是偶函数，则
对于任意
因为，所以，
，所以
必要性：若对任意，都有
因为函数有最小值，设最小值为，则存在使得
对于任意，
因为，所以，即，
所以是偶函数，所以＂是偶函数＂的充要条件为＂对任意，都有＂
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