八年级数学下册人教版 19.3《二次根式的加法与减法》同步练习（含答案）

19.3《二次根式的加法与减法》同步练习
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．若最简二次根式与可以合并，则m的值为（ ）
A．2023 B． C．2024 D．
4．如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．对于实数，，规定一种新运算：，例如，则（ ）
A． B． C． D．
6．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 ABC的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 ABC的面积是（ ）
A． B． C．3 D．
7．如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知代数式，其中a，b，c，d，x均为正整数，且x不是完全平方数．若，且m，n为正整数．则下列说法正确的个数（ ）
①若，则，
②若，且，则不存在任何的m，n满足条件；
③若，则M，N共有4种结果．
A．0 B．1 C．2 D．3，
二、填空题
10．若最简二次根式与可以合并，则___________．
11．[传统文化]《千里江山图》是中国十大传世名画之一．如图是某画家临摹的部分内容，已知画的长为，宽为，若要装裱这幅画，装裱后的长和宽两端均增加了，则装裱后的长为___________，宽为___________．
12．观察下列等式：①，②，③，…，⑥，…，请你根据以上规律，写出第个等式______．
13．已知数，，则与的大小关系为______．（请用“或”号作答）
三、解答题
14．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
(1)求长方形空地的周长．
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
15．阅读理解：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数，，使，并且，那么就可以将变成，再开方，从而化简．
例如：化简．
因为，
所以．
仿照上例化简：．
16．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．
（一）；
（二）；
（三）．
类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)化简：_________，_________，_________；
(2)已知：，求的值．
(3)计算：．
17．先阅读，再解答：由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题：
(1)的有理化因式是________；
(2)化去式子分母中的根号：________；（直接写结果）
(3)利用你发现的规律计算下列式子的值：．
18.阅读材料：用配方法求最值．
已知，为非负实数，
∵
∴，当且仅当“”时，等号成立．
例：已知，求函数的最小值．
解∶令，则有，
得
当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4．
根据以上信息回答下列问题．
(1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______；
(2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？
(3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值．
参考答案
一、单选题
1．C
解： A、与不是同类二次根式，不能合并，A错误；
B、与不是同类二次根式，不能合并，B错误；
C、，计算正确，C正确；
D、与不是同类二次根式，不能合并，D错误．
2．C
解：A、，被开方数为2，能与合并，不符合题意；
B、，被开方数为2，能与合并，不符合题意；
C、，被开方数为3，不能与合并，符合题意；
D、，被开方数为2，能与合并，不符合题意．
3．B
解：∵最简二次根式与可以合并，
∴它们的被开方数相等，即，
解得．
故选：B．
4．A
解：∵两个小正方形的面积分别为和，
∴两个小正方形的边长分别为和，
∴大正方形的边长是，
∴大正方形的面积是，
∴余下的面积是．
故选：A．
5．A
解：根据题意得：
．
故选：A．
6．B
解：∵ ABC的三边长 a，b，c分别为 2，，4，
∴
，
故选：B．
7．A
解：∵
又∵
∴
∴
∴数轴上最接近的是A．
故选：A．
8．A
解：∵ ，且，
∴．
∵，且，
∴．
∵，且，
∴．
∴, , ,
．
故选：A．
9．C
解：∵x不是完全平方数，
∴为无理数，
∵，其中a，b，c，d，x均为正整数，
∴当时，，
∵，
∴，
∴；故①正确；
当且时，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵均为正整数，
∴为正整数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
不存在正整数，使；
故不存在任何的m，n满足条件；故②正确；
当时，则，
∴，
∵均为正整数，，
∴或，
当时，则，，，
不存在正整数满足条件；
当时，则或，，，或，
∴或；
当时，；满足题意；
当时，；满足题意；
∴M，N共有2种结果；故③错误；
故选C．
二、填空题
10．2
解：∵最简二次根式与可以合并，
∴，，
解得：；，
∴．
故答案为：2．
11．
解：由题意矩形的长为，
宽为，
故答案为：；．
12．
解：首先分析左边：第个等式的整数部分为从3开始的第个奇数，即；
根号内的数依次为，，，…，对应，
故左边整体为．
再分析右边：第个等式为与的算术平方根差的平方，即，
所以第个等式为．
故答案为：．
13．
解：，
，
又，，
，
，
则，
．
故答案为：．
三、解答题
14．（1）解：长方形空地的周长为
．
答：长方形空地的周长为．
（2）解：由题意，得种草莓的面积为
，
∴销售收入为（元）．
答：销售收入为元．
15．解：
．
16．（1）解：；
；
；
（2）解： ；
；
∴
；
（3）解：
．
17．（1）解：∵两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，
∵，
∴的有理化因式是：，
故答案为：；
（2）解：∵，
故答案为：；
（3）解：
，
，
，
．
18.（1）解：函数，令，
∴，∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为6，
设，当且仅当，即时，的最小值是4，故答案为：6，．
（2）解：∵，又∵，
当且仅当时，有最小值，∵，∴当时，有最小值，最小值为，
∴此时有最大值，最大值为：；
∴当时，函数取到最大值，最大值为．
（3）解：设，则，
∵，
∴，
∴；
当且仅当时，；
此时，，
故．