八年级数学下册人教版 20.2《勾股定理的逆定理及其应用》同步练习（含答案）

20.2《勾股定理的逆定理及其应用》同步练习
一、单选题
1．三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（ ）
A．勾股定理的逆定理
B．勾股定理
C．直角三角形两锐角互余
D．以上都不对
2．已知 ABC三边长分别为，，，且满足，则 ABC是（ ）
A．以为斜边长的直角三角形 B．以为斜边长的直角三角形
C．以为斜边长的直角三角形 D．等腰三角形
3．如图，在 ABC中，若，，，则边上的中线的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
4．如图，已知 ABC中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
5．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在 ABC中，，且周长为．点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果，两点同时出发，那么经过3s，的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
8．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即∠ABD=90 ），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准．
9．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个小时后分别位于点Q、R处，且相距20海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿____方向航行．
10．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，则空地的面积为____________．
11．如图， ABC中，．将 ABC沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______________．
12．如图，在 ABC中，平分，，，且的面积为4，则 ABC的面积为__________．
变式：若，则__________， __________．
三、解答题
13．如下图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条从点到点的小路，经测量，，，，，．
(1)小路的长为 m．
(2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到点时停止奔跑．当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？
14．如图，D是等边 ABC内一点，以为边作等边 BDE，连接，已知，，．求的度数．
15．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售水机，且均位于地下管道的同侧，售卖机之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，且米，假设所有管道的材质相同．
(1)求之间的距离；
(2)珍珍认为：若从管道上的任意一处向售卖机引出分叉管道，在这些分叉管道中是最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确．
16．如图，在 ABC中，，，，．
(1)求的长．
(2)若是射线上的一个动点，作⊥于点，交直线于点，连接，，如图②．若，求的长．
17．定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．
(1)如图1，在 ABC中，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形；
(2)如图2，在邻余四边形中，（和均为钝角），为的中点，，，时，求的长．
18．在中，，点D，E分别是边上的点，连接．
(1)若点E为的中点，，则 BDE是__________三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”）
(2)如图1，连接，若平分，求的长．
(3)如图2，点在边上运动，连接，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若，求的长．
参考答案
一、单选题
1．B
解：∵，，，
∴根据勾股定理，三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，
∴判断该三角形不是直角三角形，依据是勾股定理．
2．C
解：∵，，，且，
∴，，，
∴，，，
解得，，，
∵，，
∴，
根据勾股定理的逆定理， ABC是直角三角形，且a为斜边长，
故选C．
3．C
解：∵，，，
∴，
∴ ABC为直角三角形，且，
∵是边上的中线，
∴，
∴．
4．A
解：设，
∵，，，
∴，
∴ ABC是以为斜边的直角三角形，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，
∴．
5．B
解：连接，
，，，
∴，
，
，，
∴，，
，则 ABC为直角三角形，且，
这块地的面积为．
故选：B．
6．B
解：设长为，长为，长为．
的周长为，即，
，
解得，
，，，
，
是直角三角形，且．
经过，，，
．
故选：B．
7．C
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴，
当点是的中点时，如图，
∵，
∴，此时是以为腰的等腰三角形；
当时，是以为腰的等腰三角形；
综上，的长为或，
故选：．
二、填空题
8．符合
解：在中，，dm，dm，
由勾股定理，得
因为dm，dm，
所以，
所以，
所以，即，
所以该婴儿车符合安全标准．
9．西北
解：由题知，海里，海里，海里，，
，
，
是直角三角形，且，
，
“海天”号沿西北方向航行．
故答案为：西北．
10．114
解：如图，连接．在中，，
．
∵CD=17cm，，，
．
为直角三角形，且．．
故答案为：．
11．
解：由题意可知，两点关于射线对称，
∴，
∵为定值， 要使周长最小，即最小，
∴由两点之间线段最短知，与射线的交点，即为使周长最小的点，如图所示，
∵ ，且，
∴ ，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，即，
∴，
∴，
故答案为： ．
12． 7
解：如图所示，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵的面积为4，
∴
∴ ABC的面积为；
过点作于点，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴ ADE为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7，，．
三、解答题
13．（1）解：
在中，
，
小路的长为.
故答案为：25.
（2）解：如图所示，过点作于点．
当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗与淇淇的距离最近．
，，，，
，
是直角三角形，，
则，
，
，
．
．
故当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了16s．
14．解：∵等边 ABC和等边 BDE，
∴，，，
∴，
∴ ABD≌ CBE（SAS），
∴，，
在中，，，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．
15．（1）解：∵，
∴．
在中，，
由勾股定理得，
即B，N之间的距离为180米；
（2）解：珍珍的观点正确，过程如下：
由（1）得，
∴．
在中，
由勾股定理得．
∵，，，
∴，
∴，即，
∴是垂线段，
∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确．
16．（1）解：，
．
，，
，
是直角三角形，且，
．
在中，．
（2）解：分两种情况讨论：
①当点在线段上时，
，
，
．
，
．
，
．
，
，
，
．
，，
；
②当点在线段的延长线上时，如图．
，
，
．
，
．
同理可得，
．
综上所述，的长为或2．
17．（1）证明：连接，如图所示：
∵垂直平分交于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴∠B=90 ，
∴，
∴四边形是邻余四边形；
（2）解：延长至点，使得，连接
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴， ，
∵四边形是邻余四边形，且和均为钝角，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
18．（1）解：∵点为的中点，，
．
，且，
，
是直角三角形．
（2）解：平分，
．
设，则，
在中，，
，
，
即．
（3）解：①．
理由如下：
由题意知，
．
是的垂直平分线，
，
．
，
，
．
．
②如图，连接．
设，则．
，
．
由勾股定理，得，
即，
，
的长为．