八年级数学下册人教版 第二十章《勾股定理》单元自测卷（含答案）

第二十章《勾股定理》单元自测卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．一辆装满货物，高为米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门，只有一个单向车道)，则卡车的宽度不得宽于（ ）
A．2米 B．米 C．米 D．米
2．以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．，， C．1，2，3 D．3，4，7
3．如图，在中，若，，，则边上的中线的长为（ ）
A．5 B．4 C． D．
4．如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点A落在直角边延长线上的点D处，折痕为，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．16 C．12 D．6
6．如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，则的长为（ ）
A． B． C．5 D．6
7．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
8．如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（ ）米．
A．1 B．2 C．0.5 D．2.5
9．如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
10．如图，在数轴上点A表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．的两条直角边为a，b，斜边为c，若，则的面积为__________．
12．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准．
13．平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了3尺．由此可知水池的深度是______尺．
14．如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是________．
15．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．某学校的八年级（1）班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F与欲到达地点E相距10米（即米），结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，，则河的宽度为______米．
16．如图，一无人超市门口的墙上装有一个传感器，离地面高度，当人从门外走到离该传感器范围内（含）时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到D处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为____________m．
17．如图，在中，，是边的中点，为边上一点，连接，过点作，交边于点，连接．若，，则等于________．
18．如图，在中，，，是斜边上的两点，且．将绕点顺时针旋转后，得到，连接．有下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的结论是__________．（请填写序号）
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（本题6分）甲同学用如图①方法作出点，在中，，，，且点，，在同一数轴上，．
(1)甲同学所做的点表示的数是_______；
(2)仿照甲同学的做法，请你在如图②所示的数轴上作出表示的点．
20．（本题6分）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，．
(1)与垂直吗？请说明理由；
(2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度．
21．（本题8分）风筝，自春秋时期起源，至今已承载两千多年的智慧．为探索其蕴含的数学原理，某综合实践小组以“测量风筝离地面的垂直高度”为主题展开实践活动，探索过程如下：
【抽象模型】该小组基于风筝放飞的实际情况，画出了如图1所示的示意图，其中点A为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离．
【测量数据】小组成员测量了图1相关数据，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，牵线放风筝的手到地面的距离（即的长）为米．
【问题解决】根据以上信息，解决下列问题：
(1)请根据图1中测得的数据，计算此时风筝离地面的垂直高度；
(2)如图2，若风筝沿方向再上升8米到达点E，且风筝线的长度不变，放风筝的同学沿射线方向前进，放风筝的手水平移至点F处，则的长度是多少米？
22．（本题8分）在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)画出关于y轴对称的并写出的坐标；
(2)在x轴上找一点P，使得的周长最短，在图中标记出点P的位置，并求出这个最短周长．
23．（本题8分）如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且三边都为有理数．
(2)在图2中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数．
24．（本题8分）综合与实践
数学活动课上，小明用尺规作图法探究直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【动手操作】如图，已知中，，小明同学设计如下作图步骤：作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接．
（1）请根据小明同学设计的步骤在图中完成作图过程（要求：用尺规作图并保留作图痕迹，不写作法）．
【证明结论】（2）证明：；
【拓展应用】（3）若的周长为，，，求边上的中线长．
25．（本题10分）阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边长．我们可以利用，，之间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如，若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边长是，，故由③可知该三角形是锐角三角形．
请解答以下问题：
(1)若一个三角形的三边长分别是，，，请说明该三角形是以上哪种三角形；
(2)若一个三角形的三边长分别是，，，则当的值是多少时，这个三角形是直角三角形？请说明理由．
26．（本题10分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理．
(1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理
(2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积；
(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长．
参考答案
一．选择题
1．C
解：∵长方形的长为米，宽为米，卡车高为米，米，
∴米，过点作垂线交半圆于点，在上截取米，符合卡车的高度，
过作交半圆于、两点，连接与，
∵，
∴为的中线，
∴，即为卡车的最大宽度，
∵是半圆的直径，
∴米，
∴米，
∴米，
即卡车的宽度不得宽于米，
故选：C．
2．A
解：A．，可得，能构成直角三角形；
B．，，不能构成直角三角形；
C．，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形；
D．，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形．
3．C
解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∵是边上的中线，
∴，
∴．
4．B
解：∵，，，
∴，
由翻折的性质得，
∴．
故选：B．
5．C
解：是以为斜边的直角三角形，
，
，
，
，
∴阴影部分的面积为，
故选：C．
6．A
解：如图，过点D作于点F，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
故选：A
7．A
解：设正方形地砖边长为1，
，
，
，
在中，
，，
，
是直角三角形．
故选：A．
8．C
解：由题可知，，米，米，米，
在中，，
，
，
在中，，
，
则梯子顶端A下滑了米．
9．A
解：设，
∵，，，
∴，
∴是以为斜边的直角三角形，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，
∴．
10．A
解：由图可知，直角三角形的两条直角边长分别为和；
由勾股定理得，斜边长为；
数轴上点在原点右侧，且到原点的距离为，
则点表示的实数为；
故选：A．
二．填空题
11．7
解：直角三角形的两条直角边为和，斜边，
，
，
，
的面积为．
故答案为：．
12．符合
解：在中，，dm，dm，
由勾股定理，得
因为dm，dm，
所以，
所以，
所以，即，
所以该婴儿车符合安全标准．
13．4
解：设水池的深度为h尺，则：
，
解得：，
所以，水池的深度是4尺．
故答案为：4．
14．
解：如图，连接，

由题意可知：，
在直角三角形和中，
，
即，
∵，
∴．
故答案为：．
15．24
解：在中，根据勾股定理得到，
即，
解得，
故答案为：24．
16．
解：如图，过点作于点，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
故答案为：4．
17．
解：如图，过点作，交的延长线于点，连接，过点作，交延长线于点，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，，
∵点是边的中点，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∵在中，，
∴，
解得：（负值舍去），
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴．
18．①③④
解：在中，，
，
将绕点顺时针旋转后，得到，
，
，，，
，，
，
，故①正确；
即，
在和中，
，
，
，
即平分，故③正确．
，
将绕点顺时针旋转后，得到，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，故④正确；
与不一定相等，
与不一定全等，不能推出，故②错误．
三．解答题
19．（1）解：在中，，，，
，
，
点表示的数是，
故答案为：；
（2）解：如下图所示，在中，，，，
，
，
点表示的数是．
20．（1）解：与垂直，理由如下：
∵，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可设，则有，
∵，
∴，即，
解得：，
∴．
21．（1）解：在中，米，
米．
答：此时风筝离地面的垂直高度为米．
（2）解：米，
由题意可得：米，
在中，米，
米，
答：他应该朝射线方向前进4米．
22．（1）解：如图，即为所求，的坐标为．
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，连接，
根据轴对称得，此时的周长最小，则点P即为所求，
由图可得，，，
∴的周长，
∴的最短周长为．
23．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
24．（1）解：如图所示：线段为斜边上的中线；
（2）证明：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，边上的中线为，
∵的周长为，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得：，即，
由（2）可知：，
∴，即边上的中线长为．
25．（1）解：一个三角形的三边长分别是，，，则最长边长是，
，
该三角形是锐角三角形；
（2）解：的值为或，
理由如下：
一个三角形的三边长分别是，，，分两种情况：
当是最长边长时，由这个三角形是直角三角形，则，
解得；
当是最长边长时，由这个三角形是直角三角形，则，
解得；
综上所述，的值为或．
26．（1）证明：，
，
，
，
，即，
，
，
，即；
（2）解：，，，
有勾股定理得，，
，，
，
，
，
答：阴影部分面积为24；
（3）解：设千米，则千米，
，
，
在中，，
在中，，
，即，
整理得，，
解得，，
千米，
（千米），
答：新修路的长为1.2千米．