八年级数学下册人教版 第十九章《二次根式》章节复习题（含答案）

第十九章《二次根式》章节复习题
一、单选题
1．下列式子中，二次根式的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如果，，则的值是（ ）
A． B．3 C． D．
3．下列变形错误的有（ ）
．
A．个 B．个 C．个 D．个
4．已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．对于实数，，设表示，两个数中的较小数，例如：．已知，，且和为两个连续的正整数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．满足不等式的整数m的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．若，，，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法：
①化简：，一共有4种不同的形式；
②化简：，一共有4种不同的结果；
③若（n为正整数），则当时，．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．求出的值为_____．
10．已知整数满足，则整数的值为__________．
11．已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______.
12．计算_____．
三、解答题
13．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；；
【类比归纳】
（1）填空： ， ．
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ．
【拓展提升】
（3）化简：（请写出化简过程）．
14．阅读与思考：
知识与方法的探索是数学发展的重要途径，可以从中发现新问题和新结论．配方法是初中数学学习中的一种重要思想方法，用配方法可以简化数学运算，常用的公式有：，．
请用配方法，解答下列问题：
(1)已知：，求；
(2)已知：，求；
(3)已知：，（其中，），求的值．
15．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简．
（一）；
（二）；
（三）．
类似以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
(1)化简：_________，_________，_________；
(2)已知：，求的值．
(3)计算：．
16．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知是两个正整数，且记作，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．”例如：
任务：
(1)分母有理化：___________；
化简“理想二次根式”：___________．
(2)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，求的值．
17．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S．
(1)利用材料1解决下面的问题：
当时，求这个三角形的面积：
(2)利用材料2解决下面的问题：
已知 ABC三条边的长度分别是，记 ABC的周长为．
①当时，请直接写出 ABC中最长边的长度________；
②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出 ABC的面积．
18.【问题初探】
小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整：
特例1：；特例2：；
特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子）
【发现规律】
______．（，且n为整数）
【应用规律】
（1）计算：；
（2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分．
19.定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根．
(1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b；
(2)若，且a、n为正整数，则______；
(3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由．
20.【阅读材料】先阅读下列材料：
材料一：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法，进而将二次根式化为最简，例如：，
材料二：小刚利用材料一的内容解决了如下问题：已知，求的值．他是这样解答的：，
，
【学以致用】请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题：
(1)请用以上方法化简：_____；（直接填空）
(2)计算：（没有过程不给分）
(3)若，求的值．
参考答案
一、单选题
1．C
解：根据二次根式的定义是形如（）的式子，需满足根指数为2且被开方数非负，
①：被开方数，根指数为2，是二次根式，
②：被开方数，无意义，不是二次根式，
③：，，根指数为2，是二次根式，
④：根指数为3，是三次根式，不是二次根式，
⑤：被开方数，根指数为2，是二次根式，
⑥：被开方数的取值随变化，可能小于0，不满足被开方数非负的确定性，不是二次根式，
⑦：，，，根指数为2，是二次根式，
∴符合条件的二次根式有①③⑤⑦，共4个．
故选：C．
2．B
解：∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴原式
．
3．C
解：①∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴①变形错误；
②∵二次根式被开方数需为非负数，与无意义，正确做法为，∴②变形错误；
③∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴③变形错误；
④∵，符合（a≥0,b≥0）的性质，∴④变形正确；
综上，错误的变形有3个，
故选：C．
4．C
解：x，y满足等式，，，
∴，，
解得，，
∵m是的小数部分，，
∴，
∴．
5．B
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵和为两个连续的正整数，
∴，
∴．
故选：B．
6．B
解：∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴；
∵，
∴，
∴；
∴整数m的值为1或2或3，共3个．
故选：B．
7．C
解：，
，
，
，
故选C．
8．B
解：① ∵，，，
∴，
由于a和b符号组合，有4种结果：，
故①正确；
② ∵要求，即，
∴原式，
当时，原式，
当时，原式，
当时，原式，
结果有3种不同结果，故②错误；
③ ∵，
∴，
当时，均为负，均为正，
，
当时，，
故③错误；
综上，①正确；
故选B．
二、填空题
9．89
解：
．
10．3
解：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵整数满足，
∴，解得．
11．
解：由与是同类二次根式，得到，
整理得，
由最简二次根式与是同类二次根式，得到，
整理得，
∴，
解方程组得，
因此，
故答案为：．
12．
解：设一般项为 ，其中 从 1 到 2019，
∵
∴原式．
故答案为：．
三、解答题
13．（1）解：；；
（2）解：；
（3）解：
．
14．（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
，
∴，，
∴，
（3）∵，，
∴．
15．（1）解：；；
；
（2）解： ；；
∴；
（3）解：
．
16．（1）解：；
；
（2）解：
．．
17．（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：①当时，
，，，∴ ABC中最长边的长度为．
②∵，
∴，，
∴，
∵，，为整数，
∴当时，三边为，，，
∵，
∴不合题意，舍去，
当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值，
∴，
∴．
18.问题初探：解：
故答案为：；
发现规律：解：
故答案为：；
应用规律：（1）解：
（2）解：
当小数部分是时，
，
解得：，
经检验是分式方程的根，
∴整数部分是．
19.（1）解：∵的完整平方根是，
∴．
∴．
∵，，，都是有理数，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∵a、n为正整数，
∴，，
解得，，
故答案为：10；
（3）解：是完整根式的完整平方根，
理由：∵，即，
∴是完整根式，
∴是完整根式的完整平方根．
20.（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴，
∴
，
∴的值为．