七年级数学下册人教版 第九章《平面直角坐标系》单元自测卷（含答案）

第九章《平面直角坐标系》单元自测卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.）
1．平面直角坐标系中，点位于第四象限，距离轴4个单位长度，距轴5个单位长度，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中有三点：A，B，O，则的面积为（ ）平方单位．
A．3 B．4 C．5 D．6
3．在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知，，若点A位于第一象限，且直线 轴，则（ ）
A． B． C．4 D．5
5．若a为任意实数，在平面直角坐标系中，点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．如图，，，，将线段平移，使点平移到点，点为点的对应点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．钓鱼岛及其附属岛屿自古以来就是中国的固有领土，在明代钓鱼岛纳入中国疆域版图，下列描述能够准确表示钓鱼岛地点的是（ ）
A．北纬 B．福建的正东方向
C．距离温州市约千米 D．北纬，东经
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点从点出发，以每秒3个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点从点出发，以每秒2个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2026次相遇点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，若将横、纵坐标之和为k的点记作“k和点”，有以下四个结论：
①第四象限内有无数个“1和点”；②第一、三象限的角平分线上的“2和点”有两个；③y轴上没有“3和点”；④若第三象限内没有“k和点”，则．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
10．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.）
11．在平面直角坐标系中，已知，，，则三角形的面积为______．
12．天文学家以流星雨辐射点所在的天空区域中的星座给流星雨命名，如狮子座流星雨就是流星雨辐射点在狮子座中．如图，把狮子座的星座图大致描绘在网格中，若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是________．
13．如图，的三个顶点坐标分别为、、．将沿方向平移得到，其中点与原点重合．则点的坐标为_____．
14．若第四象限内的点满足，，则点P的坐标是______．
15．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，把点A到x轴的距离记作m，到y轴的距离记作n．若，，则点A的坐标是______．
16．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的友好点．已知点的友好点为，点的友好点为，点的友好点为，……，这样依次得到各点．若的坐标为，设，则的值是________．
17．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫作点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，这样依次得到点，若点的坐标为，则点的坐标是_____．
18．如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点在轴正半轴上，线段与线段交于点．若与面积相等，则到直线的距离是________．
三．解答题（本大题有8小题，共64分.）
19．（本题6分）已知点，点Q的坐标为．
(1)若点P在x轴上，请求出点P的坐标；
(2)若直线轴，请求出点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，且，请直接写出点Q的坐标．
20．（本题6分）在如图所示的平面直角坐标系中描出下列各点，然后解答问题：
，，，，，．
(1)A点到原点的距离是______个单位长度；
(2)将点向左平移6个单位，它会与点______重合；
(3)连接，则直线与轴是什么位置关系？
(4)点F到、轴的距离分别是多少？
21．（本题8分）【问题情境】在平面直角坐标系中有不重合的两点和点，小明在学习中发现，若，则轴，且线段的长度为；若，则轴，且线段的长度为．例：点，，则轴，的长度．点A（－1，1），B（2，1），，的度．
【应用】（1）若点，，则轴，的长度为__________；
（2）若点，轴，且，则点的坐标为__________；
【拓展】我们规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点，之间的折线距离为．例：图1中，点与点之间的折线距离为．
（3）如图2，已知，若，则__________；
（4）如图2，已知，，若，求的值．
22．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M．
(1)如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______；
(2)连接，在(1)的条件下，的面积等于3，求的面积；
(3)在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由．
23．（本题8分）如图，A，B，C三点的坐标分别为，，．
(1)求；
(2)过点C作直线l平行于x轴，M为l上任意一点，试猜想与的关系，并验证你的猜想；
(3)试在坐标轴上找一点P，使，请直接写出满足条件的点P的坐标．
24．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，且点， 在直线上．我们可以用面积法求点的坐标．
【问题探究】
（1）请阅读并填空：
过点作轴于点，我们可以由点，的坐标，直接得出三角形的面积为 ；
过点作轴于点，，．
，
∴可得关于的一元一次方程为，解这个方程，可得点的坐标为 ；
【问题迁移】
（2）请你仿照（1）中的方法，求点的纵坐标；
【问题拓展】
若点在直线上，的面积等于，求点的坐标．
25．（本题10分）如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段平移至线段点与点是对应点，点在轴的负半轴，点在轴的正半轴上，连接、．
(1)若、、；则点的坐标是_________；
(2)已知、，点在轴的正半轴上，且，求点、的坐标；
(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点，两个动点、，请你探索是否存在以两个动点、为端点的线段平行于线段．若存在，求以点、、、为顶点的四边形的面积；若不存在，请说明理由．
26．（本题10分）操作与探究
【问题情景】
数学课上，数学老师以平面直角坐标系中的运动问题作为研究方向，提出如下问题：
如图，点在第二象限，轴交轴于点，点在轴负半轴上，，连，点为线段上的一个动点，点为线段上的一个动点．
【问题初探】
（）①点的坐标为 ；
②若，则四边形的面积为 ；
【深入研究】
（）如图，动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度，同时动点从点出发向点移动，速度为每秒个单位长度．
运动要求：当其中一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．
设运动时间为秒，连接．在运动的过程中，当线段恰好把四边形的面积分成相等的两部分时，求时间的值；
【拓展提升】
（）如图，连接交于点，若（）中的动点和动点速度保持不变，，求点的横坐标．
参考答案
一．选择题
1．A
解：∵点A位于第四象限，距离x轴4个单位长度，距离y轴5个单位长度，
∴点A的横坐标为5，纵坐标为，
∴点A的坐标为．
故选：A．
2．B
解：如图，过A作轴，过B作轴，两直线交于点E，
，
，
（平方单位），
故选：．
3．B
解：因为，，
所以点所在的象限是第二象限，
故选：B．
4．C
解：因为，，且直线 轴，
所以
又因为，
所以，或，
又因为点A位于第一象限，
所以，
所以
故选：C．
5．D
解：∵为平面直角坐标系中的点，
∴当时，故，则点在第一象限，
当时，，，则点在第二象限，
当时，，，则点在第三象限，
∴点不可能在第四象限，
故选：D．
6．A
解：∵点的对应点是，
∴平移规律是横坐标减2，纵坐标加2，
∴点的对应点的坐标为．
故选：A．
7．D
解：A、选项仅提供纬度，缺少经度，无法确定具体位置；
B、选项仅指出方向，未说明距离，无法精确定位；
C、选项仅给出距离，缺乏方向，同样无法准确描述位置；
D、选项同时包含纬度和经度的具体数值，符合用地理坐标准确定位的要求．
故选：D．
8．A
解：∵，
∴，，四边形周长为，
如图，设与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，与轴交于点，
∴，，，，
设点、运动时间为秒，
由题意得，点、第1次相遇时，，解得（秒），则相遇点为，
∵第1次相遇后，点从点按逆时针方向出发，每秒3个单位做环绕运动， 点从点按顺时针方向出发，每秒2个单位做环绕运动，且每次相遇后都按此进行运动，
∴，解得（秒），即每2秒相遇1次，点运动6个单位，点运动4个单位，
∴第2次相遇在点，第3次相遇在点，第4次相遇在点，第5次相遇在点，第6次相遇在点，，
∴每5次相遇点重合一次，
∴，
∴第2026次相遇点的坐标是．
故选：A．
9．D
解：①“1和点”满足横、纵坐标之和为1，
第四象限内的点横坐标，纵坐标，
只要，即可满足，有无数个这样的点，
所以第四象限内有无数个“1和点”，①正确；
②“2和点”满足，
第一、三象限的角平分线上的点横、纵坐标相等，即，
将代入，
解得：，，
只有这一个点，所以②错误；
③y轴上的点横坐标，
“3和点”满足，
当时，，
所以y轴上有“3和点”，所以③错误；
④第三象限内的点横、纵坐标都为负数，
即，，所以，
所以第三象限内没有“k和点”，则
故④正确．
故选：D
10．D
解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况：
①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立；
②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，
故选：D．
二．填空题
11．10
解：在平面直角坐标系中，已知，，，
∴如图所示：，，
，
∴三角形的面积为，
故答案为：．
12．
解：∵点的坐标是，点的坐标是，
∴建立平面直角坐标系如图，
∴点的坐标是．
故答案为：．
13．
解：∵将沿方向平移得到，其中点与原点重合，
∴平移方式可以是先向下平移3个单位，再向右平移4个单位，
∴按以上平移方式，点平移后对应点的坐标为，
故答案为：．
14．
解：∵在第四象限
∴，
∵
∴或（舍去）
∵
∴（舍去）或
∴点坐标为
故答案为：．
15．
解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
解得，
∴，即．
故答案为：．
16．
解：∵，点的友好点为，
∴的，
同理可得，，，，……，
由此可得规律为：四个坐标为一个周期，
∵，
∴的坐标与的坐标相同，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
解：若点的坐标为，
则点的伴随点的坐标为，即，
点A2的伴随点的坐标为，即，
点的伴随点的坐标为，即，
点的伴随点的坐标为，即，
点的伴随点的坐标为，即，
……
观察发现，每4个点为一个循环周期，点的坐标依次为、、、，
，
点的坐标是，
故答案为：．
18．4
解：作于点M．
∵，，
∴，
∴，
∵与面积相等，
∴．
即．
又
∴，
即：．
解得：．
故答案为：4
三．解答题
19．（1）解：∵点在x轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
（2）∵，，直线轴，
∴，
∴，
∴．
∴点P的坐标为．
（3）∵点P的坐标为，，
∴，或
∴点Q的坐标为或．
20．（1）如图所示：点到原点的距离是3；
故答案为3；
（2）将点左平移个单位，它与点重合；
故答案为；
（3）点和点的横坐标相同，所以直线平行于轴，
（4）因为，所以点到轴的距离为7、到轴的距离为5．
21．解：（1）∵点，，轴，
∴的长度为
故答案为：4．
（2）∵点，轴，
∴设点D的坐标为，
∵，
∴，
解得：或2
∴点D的坐标为或；
故答案为：或；
（3）∵，，
．
故答案为：5．
（4）∵，，，
∴，
∴
∴
解得：．
故答案为：2或．
22．（1）解：把沿射线向右下平移得到，即点的对应点为点，
∵，
∴先向右平移3个单位长度，再先向下平移2个单位长度后得到，
∵，
∴，即；
（2）解：连接，
由（1）知，
则轴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：能，，
∵把沿射线向右下平移得到，
∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到，
∴，
∵，
∴，
由平移的性质得，
∴，
∴，；
当的面积比的面积大4时，
则，即，
解得：，
∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到，
∴．
23．（1）解：由图可知，，，
；
（2）解：猜想：，证明如下：
∵直线l平行于x轴，点M与点C在直线l上，
∴和的边上的高相等，都为6，
又∵和同底，为，
∴；
（3）解：①当点P在x轴上时，设，
当时，
，
解得 (舍去)；
当时，，
解得或，
∴，；
②当点P在y轴上时，设，
∵，
∴，
∴，
解得或，
∴，．
综上所述，满足条件的点P坐标为，，，．
24．解：（1）∵
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，．
∴，
解得，
∴．
（2）如图，过点作轴，轴，则 ，
，，
∴
解得
∴；
（3）设，则为到轴距离，
∵，
∴．
由，，即，
解得或．
当时，如图过作轴，轴，
，，
∴，
解得．
∴ ．
当时，同理可得．
∴ ．
综上点的坐标为或．
25．（1）解：设，
将线段平移至线段，、，，
，，
，，
；
（2）解：如图①，，点在轴的正半轴上，
，，
，即，
，
解得：，
点的坐标为，
设，将线段平移至线段，
，，
，，
点的坐标为；
（3）解：，，，，
点与的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为，
即，，
解得：，或，，
点的坐标为，的坐标为或点的坐标为，的坐标为，
当，，；
当，时，．
综上，以点O、M、E、F为顶点的四边形的面积为15或3.
26．解：（）①∵点在第二象限，轴交轴于点，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵点在轴负半轴上，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
故答案为：；
（）由题意得，，，，，
∴，
∵恰好平分四边形的面积，
∴，
解得；
（）连接，设点到轴的距离为，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
即点的横坐标是．