2010针对性训练-----综合压轴题

针对性训练-----综合压轴题
1.如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A(0，2)，过直线EA上的两点F、G分别作轴的垂线段，垂足分别为M(m，0)和N(n，0)，其中m＜0，n＞0．
(1)如果m＝－4，n＝1，试判断△AMN的形状； (2)如果mn＝－4，(1)中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)如图2，如果mn＝，并且ON＝4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式； (4)在(3)的条件下，如果抛物线的对称轴与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标．
2. 如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x，y=的图象相交于点A，动点E从O点出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作EF∥y轴与直线BC交于点F，以EF为一边向x轴负方向作正方形EFMN，设正方形EFMN与△AOC的重叠部分的面积为S.
（1）求点A的坐标； （2）求过A、B、O三点的抛物线的顶点P的坐标；
（3）当点E在线段OA上运动时，求出S与运动时间t（秒）的函数表达式；
（4）在（3）的条件下，t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
此时（2）中的抛物线的顶点P是否在直线EF上，请说明理由.
3. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分
别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C.
（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四
边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出
的取值范围.
4．如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至处时，设与分别交于点，与轴分别交于点．
（1）求直线所对应的函数关系式；
（2）当点是线段（端点除外）上的动点时，试探究：
①点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；
②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且点B的坐标为（1，0）， 点C的坐标
为（0，3）．
（1）求抛物线及直线AC的解析式；
（2）E、F是线段AC上的两点，且∠AEO＝∠ABC，过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M，交x轴于点N．当MF=DE时，在x轴上是否存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形？ 若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角∠QCO与∠BCO 的大小（直接写出结果，不要求写出求解过程，但要写出此时点 Q的横坐标x的取值范围）．
6.如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，OA=4,AO=2OC，且抛物线对称轴为直线
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)已知矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在AC、BC上，设OD=m，矩形DEFG的面积为S，当矩形DEFG的面积S取得最大值时，连接DF并延长至点M，使，求出此时点M的坐标。
(3)若点Q是抛物线上一点，且横坐标为，点P是y轴上一点，是否存在这样的点P，使得是直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。
7.如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
1.(1)△AMN是直角三角形.
依题意得OA＝2，OM＝4，ON＝1，∴MN＝OM＋ON＝4＋1＝5
在Rt△AOM中，AM＝＝＝
在Rt△AON中，AN＝＝＝
∴MN 2＝AM 2＋AN 2 ∴△AMN是直角三角形……2分
(2)答：(1)中的结论还成立.
依题意得OA＝2，OM＝－m，ON＝n
∴MN＝OM＋ON＝n－m
∴MN 2＝(n－m) 2＝n 2－2mn＋m 2
∵mn＝－4 ∴MN 2＝n 2－2×(－4)＋m 2＝n 2＋m 2＋8
又∵在Rt△AOM中，AM＝＝＝
在Rt△AON中，AN＝＝＝
∴AM 2＋AN 2＝4＋m 2＋4＋n 2＝n 2＋m 2＋8
∴MN 2＝AM 2＋AN 2 ∴△AMN是直角三角形.…… 2分
(3) ∵mn＝－4，n＝4，∴.
设抛物线的函数关系式为y＝a (x＋1) (x－4)．
∵抛物线经过点A(0，2) ∴－4a＝2 解得a＝－
∴所求抛物线的函数关系式为y＝－(x＋1) (x－4)即y＝－x2＋x＋2 .
(4) 抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件，
∵l⊥MN，∠ANM＝∠PN Q1，∴Rt△PN Q1∽Rt△ANM
∵抛物线的对称轴为x＝，∴Q1(，0) ………………2分
∴NQ1＝4－＝.
过点N作NQ2⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q2.
∴Rt△P Q2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似
∴ 即Q1Q2＝
∵点Q2位于第四象限，∴Q2(，)
因此，符合条件的点有两个，分别是Q1(，0)，Q2(，).
2.（1）依题意得 解得 ∴点A的坐标为(4,4). …3分
（2）直线y=与x轴交点B的坐标为（6，0）.
设过A、B、O的抛物线的表达式为y=ax2+bx，
依题意得解得
∴所求抛物线的表达式为.
=，∴点P坐标（3,）. ………………7分
（3）设直线MF、NE与y轴交于点P、Q， 则△OQE是等腰直角三角形.
∵OE=1×t= t， ∴EQ=OQ=，∴E（，）.
∵EF∥y轴， ∴PF=，=12－.
∴EF=PQ=12－－=.
①当EF＞QE时， 即＞，解得.
∴当时，()=.
②当EF≤QE时,即≤，解得 .
∴当时，S=EF2=()2 . ………………………11分
（4）当时， =.
∴当时，S最大=12 .
当时，S最大=()2=9.
∴当时，S最大=12. ……………………………13分
当时，E（2，2），F（2，8），
∵P（3，），∴点P不在直线EF上. ……………………………14分
3. （1）点C的坐标为. - - - - - - - - - 1分
∵ 点A、B的坐标分别为，
∴ 可设过A、B、C三点的抛物线的解析式为.
将代入抛物线的解析式，得. - - - - - - - - - -2分
∴ 过A、B、C三点的抛物线的解析式为. - - - -3分
（2）可得抛物线的对称轴为，顶点D的坐标为
，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G.
直线BC的解析式为.- - - - - 4分
设点P的坐标为.
解法一：如图8，作OP∥AD交直线BC于点P，
连结AP，作PM⊥x轴于点M.
∵ OP∥AD，
∴ ∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD.
∴ ，即.
解得. 经检验是原方程的解.
此时点P的坐标为. - - - - - - - -5分
但此时，OM＜GA.
∵
∴ OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，
∴ 直线BC上不存在符合条件的点P. - - - - - - - - 6分
解法二：如图9，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N. 则∠PEO=∠DEA，PE=DE.
可得△PEN≌△DEG ．
由，可得E点的坐标为.
NE=EG=， ON=OE－NE=，NP=DG=.
∴ 点P的坐标为. - - - - - - - - - - - - 5分
∵ x=时，，
∴ 点P不在直线BC上.
∴ 直线BC上不存在符合条件的点P . - - - - - - - - 6分
（3）的取值范围是.- - - - - - - - - - - - 8分
说明：如图10，由对称性可知QO=QH，.当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，取得最大值4（即为AH的长）；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，取得最小值0.
4．（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，知两点的坐标分别为．
设直线所对应的函数关系式为．
有解得
所以，直线所对应的函数关系式为．
（2）①点到轴距离与线段的长总相等．
因为点的坐标为，
所以，直线所对应的函数关系式为．
又因为点在直线上，
所以可设点的坐标为．
过点作轴的垂线，设垂足为点，则有．
因为点在直线上，所以有．
因为纸板为平行移动，故有，即．
又，所以．
法一：故，
从而有．
得，．
所以．
又有．
所以，得，而，
从而总有．
法二：故，可得．
故．
所以．
故点坐标为．
设直线所对应的函数关系式为，
有解得
所以，直线所对的函数关系式为．
将点的坐标代入，可得．解得．
而，从而总有．
②由①知，点的坐标为，点的坐标为．
．
当时，有最大值，最大值为．
取最大值时点的坐标为．
5.（1）抛物线 过B（1，0）、C（0，3）两点，
∴ 解得
∴ 抛物线的解析式为 y＝－x 2－2x＋3．………………1分
由y＝－x 2－2x＋3可得 A点坐标为（，0）．
设直线AC的解析式为，
∴ 解得
∴ 直线AC的解析式为．……………………2分
（2）OA＝OC＝3，OB＝1，
∴△AOC是等腰直角三角形，AC＝，AB＝4．
∴∠ECO＝45°．
∠AEO＝∠ABC，∠EAO＝∠BAC，
∴△AEO∽△ABC． ∴． ∴． ∴AE=．
∴CE＝AC－AE＝－=．
过点E作EH⊥y轴于H． 可得EH＝CH＝1，OH＝2．
∴E点的坐标为（－1， 2）．
抛物线y＝－x 2－2x＋3顶点D的坐标为（－1，4），
∴ED=2．…………………3分 ∴MF＝ED＝2．
F在线段AC上，M在抛物线y＝－x 2－2x＋3上，
∴设F点的坐标为（x，x＋3），M点的坐标为（x，－x2－2 x＋3）．
∴－x2－2 x＋3－（x＋3）=2．
解得x1= －2，x2= －1 (不合题意，舍去)．
∴F点的坐标为（－2，1）． ∴FN＝NA＝1．
在x轴上存在点P，使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形．
当FP∥MA时，可得． ∴． ∴．
∴P点的坐标为（－，0）．……………4分
当MP∥FA时，可得． ∴PN＝3． ∴P点的坐标为（－5，0）．…5分
∴在x轴上存在点P使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形，点P的坐标为（－，0）或（－5，0）．
（3） 当时，锐角；
当时，锐角；
当时，锐角．……………7分
6.
7.分析：（1）利用待定系数法可以求出抛物线解析式，（2）利用平行四边形OEAF的面积公式来建立函数关系式.①判断OEAF是否为菱形，关键是看能否由已知条件得到邻边相等，即需要将面积关系转化为线段关系，②假设存在符合条件的 E，考虑先满足条件“使得OEAF为正方形”，再看能否满足另外条件“在抛物线上”.
解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为．把A、B两点坐标代入上式，得故抛物线解析式为，顶点为
（2）因为点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，
所以y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．因为OA是的对角线，
所以.
因为抛物线与x轴焦点的横坐标分别为：x1=1，x2=6.又点E在第四象限，点E的纵坐标小于0，所以点E的横坐标1．的取值范围是1＜＜6．
1 根据题意，当S = 24时，即． 解得故所求的点E
有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．点E1（3，－4）满足OE = AE，所以是菱形；点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以不是菱形．
1 当OA⊥EF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形．
特别提示：需要同时满足几个条件时，不妨先满足其中部分，再看是否满足其它条件.
l
(图2)
(图1)
N
M
E
F
P
G
B
A
x
O
y
y
N
M
F
E
O
G
x
A
-2
A
C
O
B
y
x
F
E
M
N
A
O
E
G
B
F
H
N
C
P
I
x
y
M
D
II
II
K
（第24题答图）
M
y
x
I
P
C
N
H
F
B
G
E
O
A
图9
图10
图8