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《有余数的除法》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《有余数的除法》单元是数与代数领域第一学段“数与运算”和“数量关系”中的重要内容。《数学课程标准》在“内容要求”中指出：“在具体情境中，了解四则运算的意义，感悟运算之间的关系。探索乘法和除法的算理与算法，会简单的整数乘除法。在解决生活情境问题的过程中，体会数和运算的意义，形成初步的符号意识、数感、运算能力和推理意识。在简单的生活情境中，运用数和数的运算解决问题，能解释结果的实际意义，形成初步的应用意识。”在“学业要求”中指出：“能描述四则运算的含义，知道除法是乘法的逆运算；能熟练口算表内乘除法。形成初步的运算能力。能在熟悉的生活情境中运用数和数的运算，合理表达简单的数量关系，解决简单的问题。能在解决问题的过程中，体会解决问题的道理，解释计算结果的实际意义，感悟数学与现实世界的关联，形成初步的模型意识、几何直观和应用意识。”
（二）单元教材内容分析
（一）单元内容定位
本单元是学生学习除法的进阶板块，承接表内除法（整除）的基础，搭建起“整除除法竖式→有余数除法的意义→余数与除数的关系→有余数除法竖式→实际应用”的完整知识链。内容以“分物情境”为主线，分为五大模块：
整除除法竖式：以“12枝花平均分到3个花瓶”为情境，学习整除除法的竖式书写，认识被除数、除数、商、积的位置与意义。
有余数除法的意义：通过“分圆片”的操作，理解“平均分后有剩余”的情况，认识余数的含义。
余数与除数的关系：通过多次分圆片的探究，发现并理解“余数必须小于除数”的核心规律。
有余数除法竖式：以“分草莓、装熊猫玩具”为情境，学习有余数除法的竖式计算，掌 “商、乘、减、比”的计算步骤。
实际应用与纠错：运用有余数除法解决生活实际问题，通过纠错练习巩固竖式计算与余数规律。
（二）教材内容结构
1.复习铺垫，学习整除竖式
以“12枝花平均分”的熟悉情境，回顾表内除法，引入除法竖式，明确各部分名称与书写规范，为有余数除法竖式奠定基础。
2.操作探究，认识有余数除法
通过“分圆片”的动手操作，让学生直观感受“平均分后有剩余”的情况，引出余数概念，理解有余数除法的意义。
3.规律探究，明确余数与除数的关系
通过多次分圆片（15→16→17→18→19→20 个）的对比探究，发现“余数可能是1、2、3、4，不会是5”，进而总结出“余数必须小于除数”的核心规律。
4.竖式进阶，掌握有余数除法计算
以“分草莓、装玩具”为问题情境，学习有余数除法的竖式计算，明确“要分的数、分掉的数、余数”的含义，掌握“商→乘→减→比（余数＜除数）”的计算步骤。
5.应用巩固，提升运算与解决问题能力
通过分糖、装玩具等实际问题，巩固有余数除法的应用；通过竖式纠错练习，强化“余数小于除数”的规则，提升运算准确性。
（三）教材育人价值
不仅让学生掌握有余数除法的计算技能，更通过“操作感知→规律探究→竖式计算→应用实践”的完整流程，培养学生的运算能力（理解算理、规范书写）、推理意识（探究余数与除数的关系）与应用意识（解决生活实际问题），同时渗透“尊重规律、严谨计算”的数学态度。
（三）学生认知情况
（一）已有基础
1.知识基础：学生已熟练掌握表内乘除法，能解决整除的平均分问题，认识除法算式各部分名称，但对“平均分后有剩余”的情况、除法竖式、余数概念缺乏系统认识；
2.能力基础：具备初步的动手操作（分物）、观察对比能力，能通过直观操作理解简单的数量关系，但对“余数必须小于除数”的抽象规律、除法竖式的书写规范需要直观支撑与反复强化。
（二）认知难点
1.概念理解难点：理解余数的含义，区分“整除”与“有余数除法”的不同，容易将剩余的数量误当作商。
2.规律探究难点：理解“余数必须小于除数”的本质，容易出现“余数≥除数”的错误。
3.竖式计算难点：掌握有余数除法竖式的书写规范（商的位置、分掉的数的书写、余数的计算），容易出现商写错位、余数计算错误、余数≥除数等问题。
4.应用难点：结合实际情境理解有余数除法的意义，解决“至少需要几个容器”等进一法问题，需要较强的生活逻辑与问题分析能力。
二、单元目标拟定
（一）知识与技能目标
1.结合具体情境，理解有余数除法的意义，认识余数的含义。
2.探究并理解“余数必须小于除数”的规律。
3.掌握整除除法与有余数除法的竖式书写，能正确计算有余数除法。
4.能运用有余数除法解决简单的实际问题。
（二）数学思考目标
1.经历“操作分物→探究规律→竖式计算”的过程，发展推理意识，理解余数与除数的关系。
2.在有余数除法竖式学习中，体会模型思想，构建“平均分→剩余→除法竖式”的数学模型。
（三）问题解决目标
1.能运用有余数除法解决生活中的平均分剩余问题（如分草莓、装玩具）。
2.能与同伴合作完成分物探究任务，清晰表达自己对有余数除法意义与规律的理解。
（四）情感态度目标
1.感受有余数除法在生活中的广泛应用，激发对数学学习的兴趣。
2.在计算与探究中养成严谨、细致的学习习惯，树立运算自信心。
3.体会“数学源于生活、用于生活”的理念，感受数学的实用价值。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.理解有余数除法的意义，认识余数的含义。
2.掌握“余数必须小于除数”的规律。
3.能正确书写有余数除法的竖式，完成计算。
（二）教学难点
1.理解“余数必须小于除数”的本质。
2.规范书写有余数除法的竖式，避免商、余数的计算与书写错误。
3.结合实际情境，运用有余数除法解决问题。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。核心领域对应要求：
1.数与代数领域
第一学段（1-2年级）明确要求：“结合具体情境，理解有余数除法的意义，掌握有余数除法的竖式计算方法，知道余数一定比除数小；能运用有余数除法解决简单的实际问题。”本单元聚焦有余数除法的意义、竖式计算与实际应用，落实运算能力、推理意识与应用意识的培养，实现从表内除法到有余数除法的认知进阶。
2.核心素养指向
重点发展运算能力（掌握有余数除法的竖式计算，理解算理）、推理意识（探究“余数必须小于除数”的规律）、应用意识（用有余数除法解决分物、分配等实际问题），同时渗透模型思想（构建“平均分后有剩余”的除法模型）与转化思想（将有余数除法转化为表内乘法与减法的组合）。
本单元教科书编写的特点如下：
（一）情境驱动，衔接旧知
以“分花、分圆片、分草莓”等生活化分物情境为载体，衔接表内除法的旧知，自然引出有余数除法，降低认知门槛。
（二）操作探究，突出“做中学”
通过“分圆片”的动手操作，让学生在直观分物中感知余数、探究余数与除数的关系，将抽象的规律转化为直观体验。
（三）梯度设计，符合认知规律
内容编排遵循“整除→有余数→规律→竖式→应用”的梯度：先复习整除与竖式，再认识有余数除法，接着探究余数规律，最后学习有余数竖式与应用，层层递进，符合低年级学生的认知发展规律。
（四）强调规律，突破核心难点
通过多次分物对比，重点突出“余数必须小于除数”的核心规律，通过纠错练习强化这一规则，帮助学生突破运算难点。
（五）注重应用，提升核心素养
设置大量生活实际问题，让学生在解决问题中巩固有余数除法知识，培养应用意识与问题解决能力，实现核心素养的全面提升。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 3
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 表内除法 除法竖式的认识 1
有余数的除法 1
有余数除法的竖式计算 1
解决问题 1
有余数除法的计算 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 □集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 □数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
3.1《除法竖式的认识》 目标： 结合“分鲜花”情境，理解除法竖式各部分的名称与含义，掌握表内除法竖式的规范书写方法。 探究1：探究竖式书写 → 探究2：试一试 → 探究3：课堂活动 → 1.能规范书写表内除法的竖式，知道各部分名称。 2.能运用除法竖式计算“试一试”中的习题。 3.能和同桌一起玩我说横式你写竖式的游戏。
3.2《有余数的除法》 目标： 结合“分圆片”的生活情境，理解余数及有余数除法的含义，能正确读写有余数的除法算式，明确各部分的意义。 探究1：认识余数 → 探究2：合作探究，发现规律 → 探究3：课堂活动 → 1.能用除法解决分圆片的问题，并正确读写有余数的除法算式。 2.能正确计算有余数的除法，牢记“余数必须小于除数”的规律。 3.能运用有余数的除法解决“课堂活动”中的习题。
3.3《有余数除法的竖式计算》 目标： 结合“分草莓”的生活情境，掌握有余数除法竖式的规范书写，理解竖式各部分的实际含义。 探究1：探究试商的过程 → 探究2：学习竖式书写，理解各部分含义 → 探究3：课堂活动 → 1.能借助乘法口诀自主尝试试商。 2.能用竖式计算有余数的除法，知道各部分的含义。 3.能用竖式算一算，再说一说每个数各表示什么意思。
3.4《解决问题》 目标： 能从实际情境中准确提取数学信息，分析平均分剩余问题的数量关系，会用有余数的除法解决此类生活问题。 探究1：分析数量关系，选择计算方法 → 探究2：计算结果，解决问题 → 探究3：课堂活动 → 1.能梳理出条件和问题，并列出算式。 2.能列竖式计算出正确答案。 3.能解决“课堂活动”中的习题。
3.5《有余数除法的计算》 目标： 通过基础计算练习，熟练掌握有余数除法的试商方法，能规范书写除法竖式，正确计算除数是一位数的有余数除法。 探究1：基础计算，巩固方法 → 探究2：试一试 → 探究3：错题诊断，合作探究 → 1.能用竖式正确计算50÷6。 2.能用竖式计算“试一试”中的计算题。 3.能找出错误之处，并改正。
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《除法竖式的认识》教学设计
学科 数学 年级 二年级 课型 新授课 单元 综合实践
课题 《除法竖式的认识》 课时 一课时
课标要求 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域对第一学段（1-2年级）的要求：结合具体情境，理解除法竖式的结构与算理，能正确书写表内除法的竖式，掌握竖式计算的方法。能运用除法竖式解决平均分的实际问题，发展运算能力与应用意识。经历“平均分→抽象竖式→理解算理”的过程，培养几何直观与推理能力，感受除法竖式的简洁与严谨。
教材分析 本课是“表内除法”单元的计算课，核心是认识除法竖式并掌握其书写与计算方法，是除法从横式到竖式的关键过渡。内容定位：以“12枝花平均分到3个花瓶”为生活情境，引导学生用除法解决问题，进而抽象出除法竖式，认识各部分名称，理解“商写在个位”的算理，为后续学习有余数的除法竖式奠定基础。编排结构：情境引入：通过平均分花的问题，列出横式12÷3=4，引出除法竖式的学习。竖式建构：呈现除法竖式的完整写法，标注各部分名称，解释“3乘4的积”“没有剩余”的含义，重点追问“商为什么要写在个位上”，帮助学生理解算理。巩固练习：通过“试一试”（24÷8、42÷6）和“课堂活动”（我说横式，你写竖式），强化除法竖式的书写与计算技能。育人价值：在建构除法竖式的过程中，培养学生的运算能力与推理能力，感受数学符号的简洁美与严谨性。
学情分析 知识基础：学生已熟练掌握表内除法的横式计算，理解平均分的含义，但对“除法竖式”这一抽象形式完全陌生，不清楚竖式各部分的意义与书写规范。能力特点：二年级学生以直观形象思维为主，能通过平均分的操作理解除法的意义，但在抽象为竖式、理解“商写在个位”的算理时需要直观支撑；容易出现商的位置写错、竖式格式不规范等问题，需要重点强化。学习风格：对“插花”这类生活情境兴趣浓厚，喜欢动手操作、对比横式与竖式的学习方式，适合在“分一分、写一写、说一说”的活动中建构除法竖式的知识。
核心素养目标 1.掌握表内除法竖式的书写与计算方法，能准确计算表内除法，提升运算的准确性与规范性。2.通过平均分的情境，直观理解除法竖式各部分的含义，建立除法竖式与平均分的联系。3.经历“横式→竖式→算理”的抽象过程，理解“商写在个位”的道理，发展归纳推理能力。4.能运用除法竖式解决生活中的平均分问题，感受数学的实用性。
教学重点 掌握除法竖式的书写格式，理解竖式各部分的意义。
教学难点 理解商的书写位置的算理，建立平均分过程与竖式步骤的对应关系。
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新1.放鞭炮。2.看一看，填一填。 学生独自完成，然后集体订正。 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识做准备。
二、引新 创设情境，引入课题师：同学们，我们之前已经学习了除法的口算，还有乘法口诀，刚刚大家的表现太棒了，算得又快又准！那谁能说说，12÷3=4这个算式，表示什么意思？师：说得非常完整！我们已经会用横式来写除法算式，也会口算出结果，那大家有没有想过，除法能不能像加减法、乘法那样，写成竖式呢？今天我们就一起来学习——除法竖式。板书课题：除法竖式的认识师：刚才我们用口算解决了复习题中的除法问题，那如果用竖式来表示，会是什么样子的呢？我们一起来看看生活中的这个小问题，就能找到答案啦！ 学生1：表示把12平均分成3份，每份是4。学生2：还可以表示12里面有4个3。 本环节先通过复习除法口算与横式的意义，快速唤醒学生的已有旧知，衔接此前的除法相关学习；再通过“除法能不能像加减乘那样写竖式”的提问，引发学生的好奇心与探究欲，让学生自然会对除法的竖式形式产生探究需求，进而自然引出本节课的除法竖式学习主题，同时点明将结合生活问题展开探究，让学生感知知识的实用性，为后续的探究做好铺垫。
三、探究 合作探究，活动领悟探究1：探究竖式书写课件出示：师：小朋友们看，老师这里有12枝漂亮的花，还有3个花瓶，谁能完整地说说图里的数学信息，能提出什么数学问题？师：说得真好！那“平均插”是什么意思？师：没错，那这个问题，我们该怎么列算式呢？师：哦，你直接就算出结果了，能说说你是怎么算的吗？师：非常好，用乘法口诀求商，这是我们的好方法。刚才有同学悄悄和老师说，这个算式，还可以写成竖式呢！那我们就一起来看看，这个除法竖式到底该怎么写。首先，除法竖式里，有一个专门的除号，它长得像一个 “厂” 字，大家跟着老师一起书空写一下这个除号。师：写好除号之后，我们要把要分的总数，也就是被除数12，写在除号的里面；把平均分的份数，也就是除数3，写在除号的左边。课件出示：师：现在我们已经算出商是4了，那这个4，该写在哪里呢？是写在十位1的上面，还是个位2的上面？师：商为什么要写在个位上？我们先来想一想，这个商4，它到底表示什么？师：那这个4，是4个十，还是4个一？师：太对了！我们之前学过数位，个位上的数表示几个一，十位上的数表示几个十。那4个一，是不是就应该写在个位上呀？那被除数12的个位，是哪个数字？师：没错！所以商4就要对着被除数的个位2来写，这样才能表示它是4个一。如果我们把它写在十位 1 的上面，那它就变成4个十了，也就是40，那可就闹笑话了，我们每个花瓶才插4枝花，怎么会是40枝呢？现在大家明白“商为什么要写在个位上”了吗？师：好，那我们把商4写在个位上。课件出示：师：商写好了，接下来我们要想一想，3个花瓶，每个插4枝，那一共插了多少枝花？师：没错，这个12，就是我们分出去的花的总数，我们把它写在被除数12的下面。不过请大家要注意，相同数位要对齐，个位对个位，十位对十位。课件出示：师：那原来我们有12枝花，现在分出去了12枝，还剩下多少枝呀？师：对啦，所以我们在下面画一条横线，然后用12减去12，得到0，这个0就表示正好分完，没有剩余。课件出示：师：现在我们来看这个完整的竖式，大家能不能说说每一部分都代表什么意思？师：大家说得太完整了！那我们把竖式的步骤总结一下，一共三步。课件出示：1.写竖式：先写除号“厂”，再写被除数和除数。2.商个位：想乘法口诀求商，商是几个一，就写在个位上。3.算乘减：用商乘除数算出分出去的总数，对齐数位，再用被除数减去这个数，看看剩下多少。 学生：12枝花，平均插在3个花瓶里，每个花瓶插几枝？学生：就是每个花瓶里的花要一样多，不能有的多有的少。学生：12÷3=4（枝）！学生：我用的乘法口诀，三四十二，所以12除以 3 等于4。学生跟着老师书空。学生：个位。学生：它表示每个花瓶插4枝花！学生：是4个一！因为4枝就是4个1枝！学生：是2！学生：明白了！学生：3×4=12 枝！学生：0枝！正好分完了！学生1：除号左边的3是除数，就是平均分的份数。学生2：除号里面的12是被除数，就是要分的总数。学生3：上面的4是商，就是每份的数量。学生4：中间的12是3乘4的积，就是分出去的总数。学生5：最后的0是剩下的，就是没有剩余。 本环节依托“分花” 这一学生熟悉的生活化情境，将抽象的除法竖式写法，与平均分的具象过程结合起来，避免学生死记硬背写法。通过拆解竖式的每一步，引导学生理解 “商写在个位”的原因——结合数位的知识，让学生明白商是几个一，所以要对齐被除数的个位，同时让学生理解竖式里每一个数的意义：被除数是要分的总数，除数是份数，分出去的总数是商乘除数，最后的0 是正好分完，让学生明白除法竖式不是凭空的写法，而是把平均分的过程完整的记录下来。
探究2：试一试课件出示——试一试：24÷8 42÷6师：刚才我们学会了 12÷3 的竖式，那现在请大家自己尝试用竖式计算这两道题。写完之后，和同桌说一说，你是怎么写的，商为什么写在个位上，每一步是什么意思。师：谁愿意上台来，把你的竖式写在黑板上。师：能给大家讲一讲吗？师：两位同学的竖式都写得非常规范，数位也对齐了，很棒！ 学生独立完成，同桌交流。两名学生上台板书，分别展示两道题。学生1：我算的是24÷8，想三八二十四，所以商是3，3是3个一，所以写在个位上。3×8=24，24减24等于0，正好分完。学生2：我算的是42÷6，想六七四十二，商是7，写在个位上，7×6=42，42减42等于0。 本环节在学生学会了基础的除法竖式之后，让学生自主尝试计算新的除法竖式，引导学生将刚学到的写法与意义，迁移到新的题目中，巩固刚学的知识点；同时通过同桌交流的环节，让学生互相讲解自己的写法与每一步的意义，既帮助有困难的学生得到同伴的帮助，也让学生在讲解的过程中，深化自己的理解，检验学生是否真的掌握了方法，而不是只会模仿之前的例子，锻炼学生的知识迁移能力。
四、变式 师生互动，变式深化探究3：课堂活动师：刚才我们自己尝试写了竖式，还和同桌交流了想法，那接下来我们来玩一个小游戏，就是图里的“我说横式，你写竖式”，大家想不想玩？课件出示：我说横式，你写竖式。师：现在我们同桌两个人合作，一个人说一个我们学过的表内除法的横式，另一个人就在练习本上写出对应的竖式，写完之后互相检查，然后交换角色，我们给大家3分钟的时间，看看哪对同桌写得又快又对！师巡视，收集典型的例子。师：好，时间到！老师也来和大家玩一下，老师说横式：24÷6=4，谁能上来把竖式写出来？展示：师：大家看看他写得对不对？师：没错，非常标准的除法竖式！师再选取几组同学展示。 学生同桌合作互动。一名学生上台板书。学生：对！商写在个位上，数位也对齐了！ 本环节通过“我说横式，你写竖式”的游戏化互动活动，调动学生的课堂参与热情，让枯燥的练习变得有趣；同桌互相出题、互相检查的双向互动，既巩固了除法横式与竖式的对应关系，也让学生在互相出题的过程中，更深入的理解除法竖式的结构，互相查漏补缺；老师通过收集典型的例子，全班共同展示判断，进一步巩固知识点，让学生在玩中学，扎实掌握除法竖式的规范写法。
五、尝试 尝试练习，巩固提高1.填一填。2.森林医生。 3.18个苹果，平均分给9个人，每人可以分几个苹果？4.一根25厘米长的铁丝，把它剪成5厘米长的小段，可以剪成几段？要剪几次？ 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸师：回顾这节课你学到了什么？师：大家的收获可真不少！今天我们学习的表内除法的竖式，它把我们平均分的过程都记录下来了，以后我们还会学习有余数的除法竖式，会更有意思！ 学生1：我学会了除法竖式怎么写，要先写除号，再写被除数和除数。学生2：我知道了商要写在个位上，因为商是几个一。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 除法竖式的认识 12÷3=4（枝） 答：每个花瓶插4枝。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1.用竖式计算。27÷3= 36÷6= 63÷7= 40÷5=2.有些苹果已经坏掉了，我们帮它治治吧！能力提升：1.一块54糖，每个小朋友分6块，可以分给几个小朋友？2.丽丽带了45元钱到文具店买水彩笔，售货员告诉她每盒水彩笔9元，笑笑最多可以买几盒？ 拓展迁移：找找生活中用表内除法解决的实际问题，并尝试用竖式计算。
教学反思 本节课围绕除法竖式的认识展开，以“分花”的生活化情境为核心，将抽象的竖式写法与平均分的过程结合，遵循“探究写法——自主尝试——游戏巩固”的教学逻辑，课堂整体参与度较高。亮点在于没有让学生死记硬背竖式的写法，而是让学生理解每一步的意义，结合小棒的操作，让学生明白竖式是平均分过程的记录，大部分学生都能掌握除法竖式的规范写法，理解商写在个位的原因，也能说出每一步的意义。不足在于：部分学生对商的位置的理解仍不够透彻，还是会把商写在十位上；还有个别学生数位对齐的意识不够，分出去的数和被除数的数位不对齐；另外，少数学生还是会死记硬背写法，不能说出每一步的意义，只是模仿着写。后续将强化商的位置的专项练习，巩固数位对齐的要求，同时多让学生说一说每一步的意义，帮助学生从“会写”到“懂意义”，扎实掌握知识点。
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