【2025.06.28】渝北八中（YB渝八）数学
一、填空题(本大题共17空，前11空每空2分，后6空每空3分，共40分)
1．（2025.06.28渝八）有一个最简分数，把分数的分子加上分母，分母也加上分母，所得的新分数是原分数的5倍。这个最简分数是 。
2．（2025.06.28渝八）水果店有梨、桃和杏，梨比桃多10箱，杏比桃少8箱，梨的箱数正好是杏的2倍。则，杏有 箱 桃有 箱
3．（2025.06.28渝八）下面是李叔叔的一张储蓄存单。他的存款到期时一共可以取回 钱
4．（2025.06.28渝八）观光果园是集果品生产、休闲旅游、科普示范、娱乐健身于一体的新型果园。一家观光果园里梨树的棵数是桃树棵数的 ，是苹果树棵数的 。已知苹果树比桃树多160棵，则梨树有 棵，苹果树有 棵
5．（2025.06.28渝八）小丽用棱长1cm的小方块搭建台阶，下图显示了她搭建台阶的过程，分别达到 2cm、3cm、4cm高。如果一直照这样搭下去，当用了105个这样的小方块时，她搭建的台阶能达到 cm高。
6．（2025.06.28渝八）随着科技的发展和人们网络购物次数的增长，越来越多的购物平台用智能机器人来处理客户订单，已知1台智能机器人30分钟能处理40个订单，照这样的速度，1台智能机器人12小时能处理 个订单
7．（2025.06.28渝八）一个自然数，它的最大的因数和次大的因数的和是111，这个自然数是 。
8．（2025.06.28渝八）把105升水注入两个容器，可注满第一个容器和第二个容器的 ；或可注满第二个容器和第一个容器的 。第一个容器的容量是 升。
9．（2025.06.28渝八）有966名解放军官兵排成6路纵队参加抗洪抢险。队伍行进速度是每秒3米，前后两排的间隔距离是1.2米。现有一通讯员从队头赶往队尾用了16秒钟。如果他再从队尾赶到队头送信还需要 时间
10．（2025.06.28渝八）编程兴趣小组制作了一款“青蛙跳跳跳"的游戏。游戏设定，甲、乙两只青蛙同时从起点开始跳跃，每秒跳1次。甲青蛙每次跳10厘米，乙青蛙每次跳15厘米，两只青蛙都能跳到的点位称为相同距离点。每只青蛙跳到相同距离点时，这个点位都会出现一片荷叶，跳离这个点位时，荷叶就会消失。当乙青蛙跳到90厘米这个点位时，电脑一共出现了 次荷叶。
11．（2025.06.28渝八）树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝。一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”。这在生物学上称为“鲁德维格定律”。那么十年后这棵树上有 条树枝
12．（2025.06.28渝八）甲、乙、丙三数的和是78，甲比乙的2倍多4，乙比丙的3倍少2.甲与丙的差是 。
13．（2025.06.28渝八）某发明家创造了一种新型时钟，该时钟一昼夜被划分为16个大时，每个大时分为90分钟。当此钟显示8大时30分钟时，实际标准时间为晚上9 点。那么当这只钟显示12大时45分钟时，实际标准时间是凌晨 点 分
14．（2025.06.28渝八）A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒．
15．（2025.06.28渝八）张良与萧何从自动扶梯下楼，自动扶梯以均匀速度由上往下行驶着。已知张良每分钟走33级，萧何每分钟走24级，结果张良用5分钟、萧何用6分钟分别到达楼下。该扶梯共有 级台阶
二、计算题(本题共6小题，每小题3分，共18分)写主要步骤和结果。
16．（2025.06.28渝八）
17．（2025.06.28渝八）
18．（2025.06.28渝八）
19．（2025.06.28渝八）
20．（2025.06.28渝八）
21．（2025.06.28渝八）
三、解决问题(本大题共7小题，每小题各5、6、8分，共42分)写主要步骤和结果。
22．（2025.06.28渝八）如下图，已知AB=6厘米，AD=9厘米，三角形ABE和三角形ADF的面积各占长方形面积的 求三角形AEF的面积。
23．（2025.06.28渝八）据报道，去年春节期间，重庆武隆县的两个风景区：仙女山风景区与芙蓉洞景区共接待游客约50万人，旅游总收入约9000万元，其中仙女山景区接待的游客人数约占总游客人数的60%，仙女山景区与芙蓉洞景区的旅游收入比约是8：7。根据以上信息，芙蓉洞景区接待的游客人均支出约是多少元
24．（2025.06.28渝八）某容器中装有盐水。老师让小丽再倒入5%的盐水600克，以配成20%的盐水。但小丽却错误地倒入了600克水。
25．（2025.06.28渝八）小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地步行到乙地去。小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去。他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇。问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间
26．（2025.06.28渝八）完成一栋房子的木工活，李刚师傅单独完成装修需工作90天，而王薄师傅单独需工作需60天。两人合作完成，各自工作效率不变，但李刚师傅每工作6天休息1天，王薄师傅每工作5天休息2天。两人接单后同时开始工作，按上述安排工作和休息，工作到第多少天能完工
27．（2025.06.28渝八）一位收藏家以每件8000元的价格购入一批共M件的精美瓷器。先以每件12000元的标价售出40%，因市场波动，剩余瓷器分两次降价销售。第一次降至每件9000元卖出30%，第二次以每件原标价的五折清仓剩余部分。扣除总销售额5%的交易税后，最终能获利10.02万元，则这批瓷器一共多少件？
28．（2025.06.28渝八）某网约车公司推出两种服务：一种是“独享”：规定车主“一对一服务”，每次只服务一个订单；另一种“拼车1+1”：每次可以服务两个订单，时间相近、行程方向一致的两位乘客被车主接单同行。付费规则如下：
不超过3公里，独享：10元，拼车：8元
超过3公里不超过10公里的部分，独享：1.5元/公里，拼车：1.4元/公里
超过10公里的部分，独享：1元/公里，拼车：0.8元/公里
例如，小李选择“独享”乘车，路程是15公里，费用为25.5元。
计算：
（1）如果小李两次出行都选择“独享”乘车，且乘车路程都超过3公里，两次乘车路程共23公里，合计付费43元，那么小李两次乘车路程各为多少公里？
（2）如果小李两次出行分别选择“独享”乘车和“拼车1+1”(与另一乘客同路)，两次乘车路程都超过10公里且为整数，共付费44.3元，那么小李两次乘车路程各为多少公里？
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】分数的基本性质
【解析】【解答】解：假设这个最简分数是，那么×5==×，所以=×2=，那么a=9b，故=。
故答案为：。
【分析】假设这个最简分数是，然后根据所得的新分数是原分数的5倍，那么×5=，由此可以得到a和b的关系，进而得到这个最简分数。
2．【答案】18；26
【知识点】因数倍数问题
【解析】【解答】解：10+8=18(箱)
2-1=1(份)
18÷1=18(箱)
18+8=26(箱)
答：杏有18箱，桃有26箱.
故答案为：18，26.
【分析】先根据梨比桃多10箱，杏比桃少8箱，得出梨比杏多的箱数；再根据梨的箱数是杏的2倍，得出梨比杏多的倍数；最后用梨比杏多的箱数除以梨比杏多的倍数，求出杏的箱数，进而求出桃的箱数.
3．【答案】8528
【知识点】利息问题
【解析】【解答】解：8000×2.2%×3+8000=8528（元）
故答案为：8528.
【分析】要用到利息的计算公式，即总利息等于本金乘以年利率再乘以存款年限，到期总金额等于本金加上总利息.
4．【答案】240；560
【知识点】差倍问题
【解析】【解答】解：如图：
160÷(7-5)=80(棵)
梨树：3×80=240(棵)
桃树：5×80=400(棵)
苹果树：7×80=560(棵)
答：梨树有240棵，桃树有400棵，苹果树有560棵.
故答案为：240，560.
【分析】先根据梨树与桃树、苹果树的分数关系确定三种树的份数，再利用苹果树比桃树多的棵数求出每份数量，进而计算三种树的棵数.
5．【答案】6
【知识点】长方体与正方体相关计算
【解析】【解答】解：根据题干分析可得：先观察台阶的一侧面，
搭成2厘米，侧面需要1+2=3(个)；
搭成3厘米，侧面需要1+2+3=6(个)；
搭成4厘米，需要1+2+3+4=10(个)；
......
据此可得，搭成n厘米，需要(个)
所以搭成n厘米，一共需要(个)
105÷5=21
当时
n(n+1)=42
因为6×7=42
所以可得n=6
即当用了105个方块时，他搭的台阶有6厘米高.
答：他搭的台阶有6cm高.
故答案为：6.
【分析】先找出搭成不同高度台阶时，单侧面所需小方块个数的规律，进而得出搭成ncm台阶时小方块总个数的表达式，再根据小方块总个数求出台阶高度.
6．【答案】960
【知识点】方程法比例
【解析】【解答】解：30分=0.5时
设1台智能机器人12小时能处理x个订单，
40：0.5=x：12
x=960
答：1台智能机器人12小时能处理960个订单.
故答案为：960.
【分析】工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例，据此列式解答.
7．【答案】74
【知识点】因数个数与因数和定理
【解析】【解答】解：因为111是奇数，而奇数=奇数+偶数，
所以这个自然数的最大约数与次大约数必为一奇一偶；
一个数的最大约数是它自身，一个数如有偶约数，此数必为偶数，一个偶数的次大约数应为这个偶数的；
设这个次大约数为a，则最大约数为2a，
a+2a=111，
a=37，
2a=74，
即所求数为74；
故答案为：74.
【分析】先明确一个自然数的最大约数是其本身，次大的约数是该数除以最小质因数的结果；再根据两约数之和为111(奇数)，判断两约数为一奇一偶，进而确定次大的约数是该数的一半，通过列方程求解.
8．【答案】63
【知识点】和倍问题；一元一次方程
【解析】【解答】解：设第一个容器的容量为x升，则第二个容器的容量为(210-2x)升，
解得：x=63
所以第一个容器的容量是63升；
故答案为：63.
【分析】根据题意，"105升水可注满第一个容器和第二个容器的"，设第一个容器的容量是x升，则第二个容器的容量是，为(210-2x)升，再根据"105 升水可注满第二个容器和第一个容器的了"列方程即可解答.
9．【答案】32
【知识点】一般牛吃草
【解析】【解答】解：966÷6=161(名)
161-1=160(个)
160×1.2=192(米)
192÷16=12(米/秒)
12-3=9(米/秒)
192÷(9-3)=192÷6=32(秒)
故答案为：32.
【分析】966人排成6路纵队，每路纵队161人，161人有160个间隔，忽略人的宽度，每纵队队伍总长为160×1.2=192(米)；从队头赶往队尾相当于通信员和队尾战士的相遇问题，相遇时间为16秒，路程和为192米，速度和为12米/秒；通信员再从队尾赶到队头相当于他与队头的战士的追及问题，路程差为192米，除以速度差，即可得到时间.
10．【答案】5
【知识点】因数倍数问题；公倍数与最小公倍数；最小公倍数的应用
【解析】【解答】解：10和15的最小公倍数：5×2×3＝30
30×1= 30(厘米)
30×2= 60(厘米)
30×3= 90(厘米)
甲青蛙：30÷10=3(秒)
60÷10=6(秒)
90÷10=9(秒)
乙青蛙：30÷15=2(秒)
60÷15 =4(秒)
90÷15=6(秒)
所以，第2秒、第3秒、第4秒、第6秒、第9秒各出现一次荷叶，一共出现5次荷叶。
故答案为：5
【分析】由题意可知，相同距离点的位置是10和15的公倍数，找出90以内这两个数的公倍数，每只青蛙跳到：相同距离点时，都会出现一片荷叶，分别求出甲青蛙和乙青蛙各出现了几次荷叶，最后数出出现荷叶的总次数即可。
11．【答案】89
【知识点】爬楼梯层数问题
【解析】【解答】解：一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：
1，2，3，4，5，8，12，21，34，55，89，...
答：十年后树上有89条树枝.
【分析】题目所描述的"鲁德维格定律"类似于兔子繁殖的规律，可以进行归纳递推求解.
12．【答案】40
【知识点】差倍问题
【解析】【解答】解：设乙为y，则甲为2y+4，丙为，
10y+14=234
y=22
∴甲=48，丙=8，
故甲与丙的差为48-8=40.
故答案为：40.
【分析】将甲、乙、丙三个数用变量表示，再根据总和建立方程，并通过代数运算求解.
13．【答案】3；15
【知识点】日期与时间中的周期
【解析】【解答】解：新型时钟一昼夜(标准时间24小时)划分为16个大时，每个大时90分钟，因此新型时钟一昼夜总分钟数为16×90=1440分钟，与标准时间一昼夜总分钟数(24×60=1440分钟)相等，说明两者时间流逝速度相同，仅时间单位划分不同；
已知新型时钟显示8大时30分钟时，实际标准时间为晚上9点(21点)；
计算此时新型时钟的总分钟数：8×90+30=750分钟；
标准时间21点对应的分钟数为21×60=1260分钟；
因此，新型时钟时间与标准时间的偏移量为1260-750=510分钟(即8小时30分钟)，
即新型时钟0大时0分钟对应标准时间8：30；
当新型时钟显示12大时45分钟时，
其总分钟数为12x90+45=1125分钟；
对应标准时间为1125+510=1635分钟；
将1635分钟转换为小时：1635÷60=27小时15分钟，
即超过1天(1440分钟)后的时间为27-24=3小时15分钟，
因此实际标准时间为凌晨3点15分；
故答案为：3，15.
【分析】将两种时间系统统一到分钟单位，通过已知对应时间建立转换关系，再应用该关系计算未知时间.
14．【答案】10
【知识点】流水行船基础；多次相遇与追及
【解析】【解答】方法一：第一次相遇时甲、乙两船所航行路程分别是：（100+20）÷2=60 （千米），100-60=40（千米）
两船的顺水速度和逆水速度之比为：
设两船在静水中速度为x米/秒，则顺水速度 为（x+2）米/秒，逆水速度 为（x-2）米/秒。
（x+2）：（x-2）=3：2
x=10
答：两船在静水中的速度是10米/秒。
方法二：本题采用折线图来分析较为简便．
如图，箭头表示水流方向， 表示甲船的路线， 表示乙船的路线，两个交点 、 就是两次相遇的地点． 由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是 和 的长度相同， 和 的长度相同． 那么根据对称性可以知道， 点距 的距离与 点距 的距离相等，也就是说两次相遇地点与 、 两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了 千米和 千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为 ． 而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为 米/秒，那么两船在静水中的速度为 米/秒．
【分析】 画图分析（实线表示甲船，虚线表示乙船）：
第1次相遇，甲、乙共走完1个AB，甲顺水行AD，乙逆水行BD；后面，第2次相遇，甲、乙共走完2个AB，其中甲顺水行BD，逆水行BC，乙顺水行AC，逆水行AD；两船在静水中的速度相同，两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，两船各自航行一个周期所用的时间也相同。表现在图中，就是AC=BD， AD =BC。根据“两船两次相遇的地点相距20千米” 可知，CD=20千米；AD=（AB+CD）÷2；BD=AB-AD；两船的顺水速度和逆水速度之比= AD：BD ；根据这个等量关系，列出方程，求解即可。
15．【答案】270
【知识点】其他行程问题
【解析】【解答】解：(33×5-24×6)÷(6-5)=21(级)
(33+21)×5=270(级)
故答案为：270.
【分析】先求自动扶梯的速度，再用“人走的台阶数+扶梯行驶的台阶数”计算总台阶数.
16．【答案】解：原式
【知识点】分数的巧算
【解析】【分析】先利用加法交换律和结合律，将带分数相加、小数相加，再用带分数的和减去小数的和.
17．【答案】解：
【知识点】逻辑推理
【解析】【分析】根据乘法运算规则和竖式计算的特点，通过分析积的个位数字以及乘法运算过程来确定每个数位上的数字.
18．【答案】解：
【知识点】分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】先将带分数转换为假分数，再根据“除以一个数等于乘这个数的倒数”将除法转化为乘法，并计算括号内算式，剩余部分为两级运算，所以先算乘法，再算加法即可。
19．【答案】解：+++++
【知识点】分数的巧算；等比数列；数列分组；分数加法运算律
【解析】【分析】观察算式，，，，，，，然后根据加法交换律和加法结合律进行简算。
20．【答案】解：
【知识点】分数的巧算；裂项
【解析】【分析】观察发现，分数可以化成的形式，变化后分数之间可以消除，从而简便计算。
21．【答案】解：去分母得：6x-12=3(x-1)-2(x+2)
去括号得：6x-12=3x-3-2x-4
移项得：6x-3x+2x=12-4-3
合并同类项得：5x=5
系数化为1得：x=1
【知识点】一元一次方程
【解析】【分析】通过去分母将方程转化为整式方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解.
22．【答案】解：(平方厘米)
DF=18×2÷9=4(厘米)
CF=6-4=2(厘米)
BE=18×2÷6=6(厘米)
EC=9-6=3(厘米)
S△CEF=2×3÷2=3(平方厘米)
S△AEF=18-3=15(平方厘米)
答：三角形AEF的面积是15平方厘米.
【知识点】三角形及其周长与面积
【解析】【分析】先求出长方形的面积，再乘，分别求出三角形ABE和三角形ADF的面积及四边形AECF的面积，再根据三角形的面积公式分别求出BE和DF的长是多少，进而求出三角形CEF的面积，进而可求出三角形AEF的面积.
23．【答案】解：芙蓉洞景区接待的游客人数：50×(1-60%)=50×0.4=20(万人)
芙蓉洞景区的旅游收入：(万元)
芙蓉洞景区接待的游客人均支出：4200÷20=210(元)
答：芙蓉洞景区接待的游客人均支出约是210元.
【知识点】分百应用题
【解析】【分析】仙女山风景区与芙蓉洞景区共接待游客约50万人，其中仙女山景区接待的游客人数约占总游客人数的60%，用总游客人数乘(1-60%)，求出芙蓉洞景区接待的游客人数；旅游总收入约9000万元，仙女山景区与芙蓉洞景区的旅游收入比约是8：7，则芙蓉洞景区的旅游收入占总收入的，据此求出芙蓉洞景区的旅游收入，再用芙蓉洞景区的旅游收入除以芙蓉洞景区接待的游客人数，求出芙蓉洞景区接待的游客人均支出即可.
24．【答案】解：(300×20%+600×5%)300=30%
答：第三种盐水的浓度是30%.
【知识点】浓度基础问题
【解析】【分析】不用求出原有多少克盐水，因为加人的盐水去掉盐600×5%=30(克)以后，盐水浓度正好是20%，这样就可以配成了.
25．【答案】解：(4.8+10.8)÷60×5=1.3(千米)
(分钟)
(分)
130+65=195(分钟)
答：小李从乙地到甲地需要195分钟
【知识点】多次相遇与追及
【解析】【分析】先求小张与小李相遇时小王落后的距离，再求相遇时间，接着求小李剩余路程所需时间，最后相加得总时间.
26．【答案】解：李刚师傅工效： 王薄师傅工效：
由题意得：每7天一个工作周期；且每次休息同时结束；
则前6个周期内，两人共工作了：
第7个周期还需要工作：
即：
∴工作到第6×7+3.6=45.6≈46(天)能完工
【知识点】合作问题综合
【解析】【分析】先求甲、乙的工作效率，再确定两人7天为一个周期的工作量，计算完成总工作量所需周期数及剩余工作量，最后累加天数并推算完工日期.
27．【答案】总成本：8000M元
第一批销售额：12000×0.4M=4800M元
第二批销售额：9000×0.3M=2700M元
第三批销售额：6000×0.3M=1800M元
总销售额：4800M+2700M +1800M=9300M元
交易费：9300M×5%=465M元
利润方程：9300M-8000M-465M=100200解得：M=120
答：当初买了120件瓷器。
【知识点】利润问题
【解析】【分析】按40%、30%、30%的比例分三次计算销售额；交易费是总销售额的5%；建立利润方程：总利润=总销售额-总成本-交易费.
28．【答案】（1）解：设较短的一次乘车路程是y公里，则较长的一次乘车路程是(23-y)公里，当3解得y=8，
∴23-y=23-8=15；
当y>10时，10+(10-3)×1.5+(y-10)×1+10+(10-3)×1.5+(23-y-10)×1=44≠43，此时无解，舍去.
答：小李两次乘车路程各为8公里和15公里
（2）解：设小李选择“独享”乘车的路程为m公里，选择“拼车1+1”乘车的路程为n公里，
根据题意得：10+(10-3)×1.5+(m-10)+8+(10-3)×1.4+0.8(n-10)=44.3，
又∵m>10，n>10，且m，n均为整数，
答：小李选择“独享”乘车的路程为12公里，选择“拼车1+1”乘车的路程为15公里
【知识点】方程解行程问题
【解析】【分析】(1)设较短的一次乘车路程是y公里，则较长的一次乘车路程是(23-y)公里，分310两种情况考虑，根据两次乘车合计付费43元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，可得出y值(即较短的一次乘车路程)，再将其代入(23-y)中，即可求出较长的一次乘车路程；
(2)设小李选择"独享"乘车的路程为m公里，选择"拼车1+1"乘车的路程为n公里，根据两次乘车合计付费44.3元，可列出关于m，n的二元一次方程再结合m>10，n>10，且m，n均为整数，即可得出结论.
1 / 1【2025.06.28】渝北八中（YB渝八）数学
一、填空题(本大题共17空，前11空每空2分，后6空每空3分，共40分)
1．（2025.06.28渝八）有一个最简分数，把分数的分子加上分母，分母也加上分母，所得的新分数是原分数的5倍。这个最简分数是 。
【答案】
【知识点】分数的基本性质
【解析】【解答】解：假设这个最简分数是，那么×5==×，所以=×2=，那么a=9b，故=。
故答案为：。
【分析】假设这个最简分数是，然后根据所得的新分数是原分数的5倍，那么×5=，由此可以得到a和b的关系，进而得到这个最简分数。
2．（2025.06.28渝八）水果店有梨、桃和杏，梨比桃多10箱，杏比桃少8箱，梨的箱数正好是杏的2倍。则，杏有 箱 桃有 箱
【答案】18；26
【知识点】因数倍数问题
【解析】【解答】解：10+8=18(箱)
2-1=1(份)
18÷1=18(箱)
18+8=26(箱)
答：杏有18箱，桃有26箱.
故答案为：18，26.
【分析】先根据梨比桃多10箱，杏比桃少8箱，得出梨比杏多的箱数；再根据梨的箱数是杏的2倍，得出梨比杏多的倍数；最后用梨比杏多的箱数除以梨比杏多的倍数，求出杏的箱数，进而求出桃的箱数.
3．（2025.06.28渝八）下面是李叔叔的一张储蓄存单。他的存款到期时一共可以取回 钱
【答案】8528
【知识点】利息问题
【解析】【解答】解：8000×2.2%×3+8000=8528（元）
故答案为：8528.
【分析】要用到利息的计算公式，即总利息等于本金乘以年利率再乘以存款年限，到期总金额等于本金加上总利息.
4．（2025.06.28渝八）观光果园是集果品生产、休闲旅游、科普示范、娱乐健身于一体的新型果园。一家观光果园里梨树的棵数是桃树棵数的 ，是苹果树棵数的 。已知苹果树比桃树多160棵，则梨树有 棵，苹果树有 棵
【答案】240；560
【知识点】差倍问题
【解析】【解答】解：如图：
160÷(7-5)=80(棵)
梨树：3×80=240(棵)
桃树：5×80=400(棵)
苹果树：7×80=560(棵)
答：梨树有240棵，桃树有400棵，苹果树有560棵.
故答案为：240，560.
【分析】先根据梨树与桃树、苹果树的分数关系确定三种树的份数，再利用苹果树比桃树多的棵数求出每份数量，进而计算三种树的棵数.
5．（2025.06.28渝八）小丽用棱长1cm的小方块搭建台阶，下图显示了她搭建台阶的过程，分别达到 2cm、3cm、4cm高。如果一直照这样搭下去，当用了105个这样的小方块时，她搭建的台阶能达到 cm高。
【答案】6
【知识点】长方体与正方体相关计算
【解析】【解答】解：根据题干分析可得：先观察台阶的一侧面，
搭成2厘米，侧面需要1+2=3(个)；
搭成3厘米，侧面需要1+2+3=6(个)；
搭成4厘米，需要1+2+3+4=10(个)；
......
据此可得，搭成n厘米，需要(个)
所以搭成n厘米，一共需要(个)
105÷5=21
当时
n(n+1)=42
因为6×7=42
所以可得n=6
即当用了105个方块时，他搭的台阶有6厘米高.
答：他搭的台阶有6cm高.
故答案为：6.
【分析】先找出搭成不同高度台阶时，单侧面所需小方块个数的规律，进而得出搭成ncm台阶时小方块总个数的表达式，再根据小方块总个数求出台阶高度.
6．（2025.06.28渝八）随着科技的发展和人们网络购物次数的增长，越来越多的购物平台用智能机器人来处理客户订单，已知1台智能机器人30分钟能处理40个订单，照这样的速度，1台智能机器人12小时能处理 个订单
【答案】960
【知识点】方程法比例
【解析】【解答】解：30分=0.5时
设1台智能机器人12小时能处理x个订单，
40：0.5=x：12
x=960
答：1台智能机器人12小时能处理960个订单.
故答案为：960.
【分析】工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例，据此列式解答.
7．（2025.06.28渝八）一个自然数，它的最大的因数和次大的因数的和是111，这个自然数是 。
【答案】74
【知识点】因数个数与因数和定理
【解析】【解答】解：因为111是奇数，而奇数=奇数+偶数，
所以这个自然数的最大约数与次大约数必为一奇一偶；
一个数的最大约数是它自身，一个数如有偶约数，此数必为偶数，一个偶数的次大约数应为这个偶数的；
设这个次大约数为a，则最大约数为2a，
a+2a=111，
a=37，
2a=74，
即所求数为74；
故答案为：74.
【分析】先明确一个自然数的最大约数是其本身，次大的约数是该数除以最小质因数的结果；再根据两约数之和为111(奇数)，判断两约数为一奇一偶，进而确定次大的约数是该数的一半，通过列方程求解.
8．（2025.06.28渝八）把105升水注入两个容器，可注满第一个容器和第二个容器的 ；或可注满第二个容器和第一个容器的 。第一个容器的容量是 升。
【答案】63
【知识点】和倍问题；一元一次方程
【解析】【解答】解：设第一个容器的容量为x升，则第二个容器的容量为(210-2x)升，
解得：x=63
所以第一个容器的容量是63升；
故答案为：63.
【分析】根据题意，"105升水可注满第一个容器和第二个容器的"，设第一个容器的容量是x升，则第二个容器的容量是，为(210-2x)升，再根据"105 升水可注满第二个容器和第一个容器的了"列方程即可解答.
9．（2025.06.28渝八）有966名解放军官兵排成6路纵队参加抗洪抢险。队伍行进速度是每秒3米，前后两排的间隔距离是1.2米。现有一通讯员从队头赶往队尾用了16秒钟。如果他再从队尾赶到队头送信还需要 时间
【答案】32
【知识点】一般牛吃草
【解析】【解答】解：966÷6=161(名)
161-1=160(个)
160×1.2=192(米)
192÷16=12(米/秒)
12-3=9(米/秒)
192÷(9-3)=192÷6=32(秒)
故答案为：32.
【分析】966人排成6路纵队，每路纵队161人，161人有160个间隔，忽略人的宽度，每纵队队伍总长为160×1.2=192(米)；从队头赶往队尾相当于通信员和队尾战士的相遇问题，相遇时间为16秒，路程和为192米，速度和为12米/秒；通信员再从队尾赶到队头相当于他与队头的战士的追及问题，路程差为192米，除以速度差，即可得到时间.
10．（2025.06.28渝八）编程兴趣小组制作了一款“青蛙跳跳跳"的游戏。游戏设定，甲、乙两只青蛙同时从起点开始跳跃，每秒跳1次。甲青蛙每次跳10厘米，乙青蛙每次跳15厘米，两只青蛙都能跳到的点位称为相同距离点。每只青蛙跳到相同距离点时，这个点位都会出现一片荷叶，跳离这个点位时，荷叶就会消失。当乙青蛙跳到90厘米这个点位时，电脑一共出现了 次荷叶。
【答案】5
【知识点】因数倍数问题；公倍数与最小公倍数；最小公倍数的应用
【解析】【解答】解：10和15的最小公倍数：5×2×3＝30
30×1= 30(厘米)
30×2= 60(厘米)
30×3= 90(厘米)
甲青蛙：30÷10=3(秒)
60÷10=6(秒)
90÷10=9(秒)
乙青蛙：30÷15=2(秒)
60÷15 =4(秒)
90÷15=6(秒)
所以，第2秒、第3秒、第4秒、第6秒、第9秒各出现一次荷叶，一共出现5次荷叶。
故答案为：5
【分析】由题意可知，相同距离点的位置是10和15的公倍数，找出90以内这两个数的公倍数，每只青蛙跳到：相同距离点时，都会出现一片荷叶，分别求出甲青蛙和乙青蛙各出现了几次荷叶，最后数出出现荷叶的总次数即可。
11．（2025.06.28渝八）树木生长的过程中，新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长，而后才能萌发新枝。一棵树苗在一年后长出一条新枝，第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发新枝；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则依次“休息”。这在生物学上称为“鲁德维格定律”。那么十年后这棵树上有 条树枝
【答案】89
【知识点】爬楼梯层数问题
【解析】【解答】解：一株树木各个年份的枝桠数，构成斐波那契数列：
1，2，3，4，5，8，12，21，34，55，89，...
答：十年后树上有89条树枝.
【分析】题目所描述的"鲁德维格定律"类似于兔子繁殖的规律，可以进行归纳递推求解.
12．（2025.06.28渝八）甲、乙、丙三数的和是78，甲比乙的2倍多4，乙比丙的3倍少2.甲与丙的差是 。
【答案】40
【知识点】差倍问题
【解析】【解答】解：设乙为y，则甲为2y+4，丙为，
10y+14=234
y=22
∴甲=48，丙=8，
故甲与丙的差为48-8=40.
故答案为：40.
【分析】将甲、乙、丙三个数用变量表示，再根据总和建立方程，并通过代数运算求解.
13．（2025.06.28渝八）某发明家创造了一种新型时钟，该时钟一昼夜被划分为16个大时，每个大时分为90分钟。当此钟显示8大时30分钟时，实际标准时间为晚上9 点。那么当这只钟显示12大时45分钟时，实际标准时间是凌晨 点 分
【答案】3；15
【知识点】日期与时间中的周期
【解析】【解答】解：新型时钟一昼夜(标准时间24小时)划分为16个大时，每个大时90分钟，因此新型时钟一昼夜总分钟数为16×90=1440分钟，与标准时间一昼夜总分钟数(24×60=1440分钟)相等，说明两者时间流逝速度相同，仅时间单位划分不同；
已知新型时钟显示8大时30分钟时，实际标准时间为晚上9点(21点)；
计算此时新型时钟的总分钟数：8×90+30=750分钟；
标准时间21点对应的分钟数为21×60=1260分钟；
因此，新型时钟时间与标准时间的偏移量为1260-750=510分钟(即8小时30分钟)，
即新型时钟0大时0分钟对应标准时间8：30；
当新型时钟显示12大时45分钟时，
其总分钟数为12x90+45=1125分钟；
对应标准时间为1125+510=1635分钟；
将1635分钟转换为小时：1635÷60=27小时15分钟，
即超过1天(1440分钟)后的时间为27-24=3小时15分钟，
因此实际标准时间为凌晨3点15分；
故答案为：3，15.
【分析】将两种时间系统统一到分钟单位，通过已知对应时间建立转换关系，再应用该关系计算未知时间.
14．（2025.06.28渝八）A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是 米/秒．
【答案】10
【知识点】流水行船基础；多次相遇与追及
【解析】【解答】方法一：第一次相遇时甲、乙两船所航行路程分别是：（100+20）÷2=60 （千米），100-60=40（千米）
两船的顺水速度和逆水速度之比为：
设两船在静水中速度为x米/秒，则顺水速度 为（x+2）米/秒，逆水速度 为（x-2）米/秒。
（x+2）：（x-2）=3：2
x=10
答：两船在静水中的速度是10米/秒。
方法二：本题采用折线图来分析较为简便．
如图，箭头表示水流方向， 表示甲船的路线， 表示乙船的路线，两个交点 、 就是两次相遇的地点． 由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是 和 的长度相同， 和 的长度相同． 那么根据对称性可以知道， 点距 的距离与 点距 的距离相等，也就是说两次相遇地点与 、 两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，所以第一次相遇时，两船分别走了 千米和 千米，可得两船的顺水速度和逆水速度之比为 ． 而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，可得顺水速度为 米/秒，那么两船在静水中的速度为 米/秒．
【分析】 画图分析（实线表示甲船，虚线表示乙船）：
第1次相遇，甲、乙共走完1个AB，甲顺水行AD，乙逆水行BD；后面，第2次相遇，甲、乙共走完2个AB，其中甲顺水行BD，逆水行BC，乙顺水行AC，逆水行AD；两船在静水中的速度相同，两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，两船各自航行一个周期所用的时间也相同。表现在图中，就是AC=BD， AD =BC。根据“两船两次相遇的地点相距20千米” 可知，CD=20千米；AD=（AB+CD）÷2；BD=AB-AD；两船的顺水速度和逆水速度之比= AD：BD ；根据这个等量关系，列出方程，求解即可。
15．（2025.06.28渝八）张良与萧何从自动扶梯下楼，自动扶梯以均匀速度由上往下行驶着。已知张良每分钟走33级，萧何每分钟走24级，结果张良用5分钟、萧何用6分钟分别到达楼下。该扶梯共有 级台阶
【答案】270
【知识点】其他行程问题
【解析】【解答】解：(33×5-24×6)÷(6-5)=21(级)
(33+21)×5=270(级)
故答案为：270.
【分析】先求自动扶梯的速度，再用“人走的台阶数+扶梯行驶的台阶数”计算总台阶数.
二、计算题(本题共6小题，每小题3分，共18分)写主要步骤和结果。
16．（2025.06.28渝八）
【答案】解：原式
【知识点】分数的巧算
【解析】【分析】先利用加法交换律和结合律，将带分数相加、小数相加，再用带分数的和减去小数的和.
17．（2025.06.28渝八）
【答案】解：
【知识点】逻辑推理
【解析】【分析】根据乘法运算规则和竖式计算的特点，通过分析积的个位数字以及乘法运算过程来确定每个数位上的数字.
18．（2025.06.28渝八）
【答案】解：
【知识点】分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】先将带分数转换为假分数，再根据“除以一个数等于乘这个数的倒数”将除法转化为乘法，并计算括号内算式，剩余部分为两级运算，所以先算乘法，再算加法即可。
19．（2025.06.28渝八）
【答案】解：+++++
【知识点】分数的巧算；等比数列；数列分组；分数加法运算律
【解析】【分析】观察算式，，，，，，，然后根据加法交换律和加法结合律进行简算。
20．（2025.06.28渝八）
【答案】解：
【知识点】分数的巧算；裂项
【解析】【分析】观察发现，分数可以化成的形式，变化后分数之间可以消除，从而简便计算。
21．（2025.06.28渝八）
【答案】解：去分母得：6x-12=3(x-1)-2(x+2)
去括号得：6x-12=3x-3-2x-4
移项得：6x-3x+2x=12-4-3
合并同类项得：5x=5
系数化为1得：x=1
【知识点】一元一次方程
【解析】【分析】通过去分母将方程转化为整式方程，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解.
三、解决问题(本大题共7小题，每小题各5、6、8分，共42分)写主要步骤和结果。
22．（2025.06.28渝八）如下图，已知AB=6厘米，AD=9厘米，三角形ABE和三角形ADF的面积各占长方形面积的 求三角形AEF的面积。
【答案】解：(平方厘米)
DF=18×2÷9=4(厘米)
CF=6-4=2(厘米)
BE=18×2÷6=6(厘米)
EC=9-6=3(厘米)
S△CEF=2×3÷2=3(平方厘米)
S△AEF=18-3=15(平方厘米)
答：三角形AEF的面积是15平方厘米.
【知识点】三角形及其周长与面积
【解析】【分析】先求出长方形的面积，再乘，分别求出三角形ABE和三角形ADF的面积及四边形AECF的面积，再根据三角形的面积公式分别求出BE和DF的长是多少，进而求出三角形CEF的面积，进而可求出三角形AEF的面积.
23．（2025.06.28渝八）据报道，去年春节期间，重庆武隆县的两个风景区：仙女山风景区与芙蓉洞景区共接待游客约50万人，旅游总收入约9000万元，其中仙女山景区接待的游客人数约占总游客人数的60%，仙女山景区与芙蓉洞景区的旅游收入比约是8：7。根据以上信息，芙蓉洞景区接待的游客人均支出约是多少元
【答案】解：芙蓉洞景区接待的游客人数：50×(1-60%)=50×0.4=20(万人)
芙蓉洞景区的旅游收入：(万元)
芙蓉洞景区接待的游客人均支出：4200÷20=210(元)
答：芙蓉洞景区接待的游客人均支出约是210元.
【知识点】分百应用题
【解析】【分析】仙女山风景区与芙蓉洞景区共接待游客约50万人，其中仙女山景区接待的游客人数约占总游客人数的60%，用总游客人数乘(1-60%)，求出芙蓉洞景区接待的游客人数；旅游总收入约9000万元，仙女山景区与芙蓉洞景区的旅游收入比约是8：7，则芙蓉洞景区的旅游收入占总收入的，据此求出芙蓉洞景区的旅游收入，再用芙蓉洞景区的旅游收入除以芙蓉洞景区接待的游客人数，求出芙蓉洞景区接待的游客人均支出即可.
24．（2025.06.28渝八）某容器中装有盐水。老师让小丽再倒入5%的盐水600克，以配成20%的盐水。但小丽却错误地倒入了600克水。
【答案】解：(300×20%+600×5%)300=30%
答：第三种盐水的浓度是30%.
【知识点】浓度基础问题
【解析】【分析】不用求出原有多少克盐水，因为加人的盐水去掉盐600×5%=30(克)以后，盐水浓度正好是20%，这样就可以配成了.
25．（2025.06.28渝八）小王的步行速度是4.8千米/小时，小张的步行速度是5.4千米/小时，他们两人从甲地步行到乙地去。小李骑自行车的速度是10.8千米/小时，从乙地到甲地去。他们3人同时出发，在小张与小李相遇后5分钟，小王又与小李相遇。问：小李骑车从乙地到甲地需要多少时间
【答案】解：(4.8+10.8)÷60×5=1.3(千米)
(分钟)
(分)
130+65=195(分钟)
答：小李从乙地到甲地需要195分钟
【知识点】多次相遇与追及
【解析】【分析】先求小张与小李相遇时小王落后的距离，再求相遇时间，接着求小李剩余路程所需时间，最后相加得总时间.
26．（2025.06.28渝八）完成一栋房子的木工活，李刚师傅单独完成装修需工作90天，而王薄师傅单独需工作需60天。两人合作完成，各自工作效率不变，但李刚师傅每工作6天休息1天，王薄师傅每工作5天休息2天。两人接单后同时开始工作，按上述安排工作和休息，工作到第多少天能完工
【答案】解：李刚师傅工效： 王薄师傅工效：
由题意得：每7天一个工作周期；且每次休息同时结束；
则前6个周期内，两人共工作了：
第7个周期还需要工作：
即：
∴工作到第6×7+3.6=45.6≈46(天)能完工
【知识点】合作问题综合
【解析】【分析】先求甲、乙的工作效率，再确定两人7天为一个周期的工作量，计算完成总工作量所需周期数及剩余工作量，最后累加天数并推算完工日期.
27．（2025.06.28渝八）一位收藏家以每件8000元的价格购入一批共M件的精美瓷器。先以每件12000元的标价售出40%，因市场波动，剩余瓷器分两次降价销售。第一次降至每件9000元卖出30%，第二次以每件原标价的五折清仓剩余部分。扣除总销售额5%的交易税后，最终能获利10.02万元，则这批瓷器一共多少件？
【答案】总成本：8000M元
第一批销售额：12000×0.4M=4800M元
第二批销售额：9000×0.3M=2700M元
第三批销售额：6000×0.3M=1800M元
总销售额：4800M+2700M +1800M=9300M元
交易费：9300M×5%=465M元
利润方程：9300M-8000M-465M=100200解得：M=120
答：当初买了120件瓷器。
【知识点】利润问题
【解析】【分析】按40%、30%、30%的比例分三次计算销售额；交易费是总销售额的5%；建立利润方程：总利润=总销售额-总成本-交易费.
28．（2025.06.28渝八）某网约车公司推出两种服务：一种是“独享”：规定车主“一对一服务”，每次只服务一个订单；另一种“拼车1+1”：每次可以服务两个订单，时间相近、行程方向一致的两位乘客被车主接单同行。付费规则如下：
不超过3公里，独享：10元，拼车：8元
超过3公里不超过10公里的部分，独享：1.5元/公里，拼车：1.4元/公里
超过10公里的部分，独享：1元/公里，拼车：0.8元/公里
例如，小李选择“独享”乘车，路程是15公里，费用为25.5元。
计算：
（1）如果小李两次出行都选择“独享”乘车，且乘车路程都超过3公里，两次乘车路程共23公里，合计付费43元，那么小李两次乘车路程各为多少公里？
（2）如果小李两次出行分别选择“独享”乘车和“拼车1+1”(与另一乘客同路)，两次乘车路程都超过10公里且为整数，共付费44.3元，那么小李两次乘车路程各为多少公里？
【答案】（1）解：设较短的一次乘车路程是y公里，则较长的一次乘车路程是(23-y)公里，当3解得y=8，
∴23-y=23-8=15；
当y>10时，10+(10-3)×1.5+(y-10)×1+10+(10-3)×1.5+(23-y-10)×1=44≠43，此时无解，舍去.
答：小李两次乘车路程各为8公里和15公里
（2）解：设小李选择“独享”乘车的路程为m公里，选择“拼车1+1”乘车的路程为n公里，
根据题意得：10+(10-3)×1.5+(m-10)+8+(10-3)×1.4+0.8(n-10)=44.3，
又∵m>10，n>10，且m，n均为整数，
答：小李选择“独享”乘车的路程为12公里，选择“拼车1+1”乘车的路程为15公里
【知识点】方程解行程问题
【解析】【分析】(1)设较短的一次乘车路程是y公里，则较长的一次乘车路程是(23-y)公里，分310两种情况考虑，根据两次乘车合计付费43元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，可得出y值(即较短的一次乘车路程)，再将其代入(23-y)中，即可求出较长的一次乘车路程；
(2)设小李选择"独享"乘车的路程为m公里，选择"拼车1+1"乘车的路程为n公里，根据两次乘车合计付费44.3元，可列出关于m，n的二元一次方程再结合m>10，n>10，且m，n均为整数，即可得出结论.
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