专题5 构造等腰三角形的常用方法 同步练习（含答案）2025-2026学年北师大版（2024）八年级数学下册

专题5 构造等腰三角形的常用方法
模型1 等腰三角形一边边的平行线→等腰三角形
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①作腰的平行线构造等腰三角形.若 AB=AC,DE∥AC,则△BDE为等腰三角形.
②作底边的平行线构造等腰三角形.若AB=AC,DE∥BC,则△ADE为等腰三角形.
1.如图,在△ABC中,AB=AC,点 D 在AB 上,点 E 在 AC 的延长线上,且 BD=CE,DE 交BC 于点 F.求证:DF=EF.
2.如图,在等边三角形 ABC 中,点 E 在边 AB上,点 D 在 CB 的延长线上,且 AE=BD.求证:EC=ED.
模型2 角平分线+垂直→等腰三角形
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如图,P 是∠MON 的平分线上一点,A是射线OM 上一点,AP⊥OP 于点 P,延长AP 交 ON 于点 B,则 Rt △AOP ≌Rt△BOP,△AOB 是等腰三角形.
3.如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC 于点 D,过点 C作CE⊥BD,交 BD 的延长线于点 E.求证:BD=2CE.
模型3 截长补短→等腰三角形
解题技巧：如果题干中出现了几条线段之间的和差关系，一般考虑用截长补短作辅助线解题.
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与角平分线有关的截长补短
模型 角平分线+截长 角平分线+补短
条件 ∠1=∠2,∠B=2∠C ∠1=∠2, ∠ABC=2∠C
结论 AC=AB+BD AC=AB+BD
4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=108°,BD平分∠ABC交AC 于点 D.求证:BC=AB+CD.
5.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AD⊥BC于点D,且AB+BD=DC,求∠C的度数.
【拓展设问】若∠BAC=α,其余条件不变,则∠C= .
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在△ABC中,∠ABC=2∠C.
方法一:如图1,外构等腰,作 DB=AB.
方法二:如图2,内构等腰,作 AD=AB.
方法三:如图3,作 BE 平分∠ABC.
6.如图,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC,垂足为D.若BD=2,CD=8,求 AB 的长(用两种不同方法).
问题解决策略：反思
A基础题
1.如图 1,在△ABC 中,D 在 BC 的延长线上,∠ABC 的平分线 BP 与∠ACD 的平分线 CP交于点 P,BP 与AC 交于点E,设∠A=α.
特例探究：
(1)若AB=AC,当α=40°时,∠P= ;当α=100°时,∠P= ;∠P 与α之间关系式为 .
一般化探究：
(2)如图2,若AB≠AC,(1)中的最后一个结论是否还成立 若不成立，请举反例说明；若成立，请说明理由.
A中档题
2.三阶幻方又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵.三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”.其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；其每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”.
(1)若图1是一个“和幻方”,则 a= ,b=
(2)若图2是一个“积幻方”，求 m”的值.
(3)如图3，参考(1)(2)提出一个新问题，并求解.
1.证明:过点 D 作DM∥AC,交 BC于点 M.∴∠DMB=∠ACB,∠FDM=∠E.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∴∠B=∠DMB.∴BD=MD.∵BD=CE,∴MD=CE.∴△DMF≌△ECF(AAS).∴DF=EF.
2.证明:过点E作EF∥BC交AC于点F.∵EF∥BC,△ABC是等边三角形,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°.∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°.∴△AEF 是等边三角形.∴AE=AF=EF.∴∠DBE=∠CFE=120°,BE=AB-AE,FC=AC-AF.∴BE=FC.∵AE=BD,
∴EF=DB.在△DBE 和△EFC 中, △EFC(SAS).∴DE=EC.
3.证明:延长BA和CE 相交于点M.∵△ABC为等腰直角三角形,CE⊥BD,∴AB=AC,∠BEC=∠BEM=∠BAC=90°.∵∠BDA=∠CDE,∴∠ABD=∠ACM.又∵∠BAD=∠CAM=90°,∴△BAD≌△CAM(ASA).∴BD=CM.∵BD平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.∵BE⊥CM,∴∠BME=∠BCE.∴BM=BC.∴ME=EC= CM.∴BD=2CE.
4.证明:在 BC 上截取 BE=AB,连接 DE.∵AB=AC,∠A=108°,∴ ∵BD 平分∠ABC,∴∠DBA=∠DBE.在 △DBA 和△DBE 中,(4)OBABAB,∠DBE,∴ △DBA≌△DBE(SAS).∴∠A=∠BED.∴∠DEC=180°-∠BED=180°-∠A=72°,∠CDE=∠BED-∠C=∠A-∠C=72°.∴∠DEC=∠CDE.∴CD=CE.∴BC=BE+CE=AB+CD.
5.解:方法一(截长法):在 CD上取点E,使DE=BD,连接AE,易得CE=AB=AE.∴∠CAE=∠C.∴∠ABD=∠AED=∠C+∠CAE=2∠C.∴∠BAC=180°-∠ABD-∠C=180°-3∠C=120°.∴∠C=20°.方法二(补短法):延长DB至点F,使 BF=AB,则∠F=∠FAB,AB+BD=DF=DC.又∵AD⊥BC,∴AF=AC.∴∠C=∠F=∠FAB.∴∠BAC=180°-∠F-∠C-∠FAB=180°-3∠C=120°.∴∠C=20°.
【拓展设问】
6.解:方法一(内构等腰三角形):在 CD上截取DE=BD=2,连接AE.∵AD⊥BC,∴AB=AE.∴∠AEB=∠ABC=2∠C.∵∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠C=∠EAC.∴AE=EC=CD-DE=6.∴AB=6.方法二(外构等腰三角形):延长DB至点 F,使得BF=AB,连接AF.∴∠F=∠BAF.∴∠ABC=∠F+∠BAF=2∠F.∵∠ABC=2∠C,∴∠F=∠C.∴AF=AC.∵AD⊥FC,∴FD=DC=8.∵BD=2,∴FB=FD-BD=6.∴AB=FB=6.
问题解决策略：反思
1.解:(1)20° 50°∠P= (2)成立.理由如下:∵∠A=α,由条件可知
2.解:(1)91 (2)第一横行的积为 解得n=-2.∴-3×(-2)m=-8,解得 (3)答案不唯一，例如：图3是一个“和幻方”，求x 的值.设最中间的数为y,则3+8+x=5+y+x,解得y=6,设右下角的数为t,则3+6+t=3+8+x,∴t=x+2.设第三行第二列的数为c,则5+c+x+2=3+8+x,解得c=4.∴第二列3个数的和为8+6+4=18.则3+8+x=18,解得x=7.