2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时练习：7.1.1数系的扩充和复数的概念（含答案）

7.1.1数系的扩充和复数的概念
一．选择题
1．设z＝6－2i，则复数z的虚部为(　　)
A．－2 B．2
C．－2i D．2i
2．设m为实数，已知复数m2－m＋(m2＋m－2)i为纯虚数，则m的值为(　　)
A．0或1 B．1或－2
C．0 D．－2
3．(多选题)若z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值可能是(　　)
A． B．
C．π D．
4．“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为(　　)
A．0 B．－1
C．－ D．
6．(多选题)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，下列结论正确的是(　　)
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a－bi＝3＋2i，则a＝3，b＝2
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．z为虚数时，b≠0
二．填空题
7．定义：复数b＋ai是z＝a＋bi(a，b∈R)的转置复数．已知a，b∈R，若a＋2i＝1－bi，则复数z＝a＋bi的转置复数是__________.
8．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为________.
9．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝ (i是虚数单位)，那么实数x，y的值分别为________.
10．已知复数z＝(a2＋5a＋6)＋(a＋2)i(其中i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，写出关于复数z的一个正确结论：__________.
三．解答题
11．实数x分别取何值时，复数z＝＋(x2－2x－15)i是：
(1)实数？
(2)虚数？
(3)纯虚数？
12．求解下列各题：
(1)若(4x－2y)i＝x＋1，求实数x，y的值；
(2)若不等式m2－(m2－2m)i<9＋i成立，求实数m的值．
13.已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且M∩N?M，M∩N≠ ，求整数a，b的值．
7.1.1数系的扩充和复数的概念
一．选择题
1．A　解析：复数z的虚部为－2.故选A．
2．C　解析：复数m2－m＋(m2＋m－2)i为纯虚数，
所以所以m＝0.故选C．
3．ACD　解析：由题意得，cos α＝－cos 2α，所以2cos2α＋cos α－1＝0，解得cos α＝－1或.
因为0<α<2π，所以α＝π或或.故选ACD．
4．A　解析：复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数，则a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“复数a＋bi(a，b∈R)是纯虚数”的必要不充分条件．故选A．
5．A　解析：由z1>z2，得
即解得a＝0.
6．CD　解析：因为z＝a＋bi(a，b∈R)，
当a＝0且b≠0时，复数为纯虚数，故A错误；
当b＝0时，复数为实数，故C正确；
z为虚数时，b≠0，故D正确；
对于B，a－bi＝3＋2i，则即故B错误．故选CD．
二．填空题
7．－2＋i　解析：由a＋2i＝1－bi，得a＝1，b＝－2，所以复数z＝a＋bi＝1－2i.
故复数z＝1－2i的转置复数是－2＋i.
8．－1或2　解析：因为复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
9．－1，2　解析：由＝ad－bc，得(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi，
所以解得
10． z＝－i(答案不唯一)　解析：由题得解得a＝－3.故z＝－i.
三．解答题
11．
解：(1)当x满足即x＝5时，z是实数．
(2)当x满足即x≠－3且x≠5时，z是虚数．
(3)当x满足即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．
12．
解：(1)由两个复数相等的充要条件可得解得
即实数x，y的值分别为－1，－2.
(2)由题意可得即
解得m＝2，即实数m的值等于2.
13. [解析]　若M∩N＝{3i}，则(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，
即a＋3＝0且b2－1＝3，
得a＝－3，b＝±2.
当a＝－3，b＝－2时，
M＝{3i,8}，N＝{3i,8}，M∩N＝M，不合题意；
当a＝－3，b＝2时，M＝{3i,8}，N＝{3i,8＋4i}，
符合题意．
∴a＝－3，b＝2.
若M∩N＝{8}，则8＝(a2－1)＋(b＋2)i，
即a2－1＝8且b＋2＝0，
得a＝±3，b＝－2.
当a＝－3，b＝－2时，不合题意；
当a＝3，b＝－2时，M＝{6＋3i,8}，N＝{3i,8}，符合题意．
∴a＝3，b＝－2.
若M∩N＝{(a＋3)＋(b2－1)i}＝{(a2－1)＋(b＋2)i}，
则即
此方程组无整数解．
综上可得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.
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