2025-2026学年人教A版数学必修第二册课时练习：7.1.2复数的几何意义（含答案）

7.1.2复数的几何意义
一．选择题
1．若复数a＋(a－1)i在复平面内对应的点位于第一象限，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋2i与1＋bi互为共轭复数，则b＝(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
3．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)，则z的共轭复数z]＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
4．(多选题)已知复数z1＝－4＋2i，z2＝2＋i，z3＝－3＋2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，z2的共轭复数在复平面内对应的点为D，则(　　)
A．点A在第二象限
B．||＝2
C．|z1|＝2|z2|
D．点D的坐标为(2，－1)
5．已知复数z满足z＋＝4，z－＝4i，则|z|＝(　　)
A．2 B．4
C．2 D．4
6．已知复数z＝cos θ＋isin θ(θ∈R，i为虚数单位)，则|z|的最大值为(　　)
A．2 B．
C．3 D．
7．已知i为虚数单位，复数z满足1≤|z|≤3，则复数z在复平面内对应的点的集合所表示的图形是(　　)
A．正方形面 B．一条直线
C．圆面 D．圆环面
二．填空题
8．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为________________.
9．在复平面内，对应的复数是1－i，对应的复数是1＋i，则对应的复数的模是________.
10．(交汇创新)已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－－i，z4＝－i，设z1，z2，z3，z4在复平面内对应的点分别是A，B，C，D，则∠ABC＋∠ADC＝________.
三．解答题
11．复数4＋3i与－2－5i对应的向量分别为与，试求向量－所对应的复数．
12．实数x取何值时，复平面内对应复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z分别满足下列条件：
(1)位于第三象限；
(2)位于第四象限；
(3)位于直线x－y－3＝0上．
13．已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R)．若与共线，求a的值．
7.1.2复数的几何意义
一．选择题
1．C　解析：由题意可得解得a>1.故选C．
2．D　解析：因为a＋2i与1＋bi互为共轭复数，所以故选D．
3．D　解析：z在复平面内对应的点是(－1，)，根据复数的几何意义，得z＝－1＋i.由共轭复数的定义，可知＝－1－i.故选D．
4．ACD　解析：对于A，由题意得A(－4，2)，所以点A在第二象限，故A正确；
对于B，由题意得B(2，1)，C(－3，2)，所以＝(－5，1)，所以||＝＝，故B错误；
对于C，|z1|＝＝2，|z2|＝＝，所以|z1|＝2|z2|，故C正确；
对于D，2＝2－i，所以D(2，－1)，故D正确．故选ACD．
5．C　解析：因为z＋＝4，z－＝4i，所以2z＝4＋4i，z＝2＋2i，
所以|z|＝＝2.故选C．
6．D　解析：由题意得|z|＝＝＝≤，当cos θ＝±1时，等号成立，故|z|max＝.故选D．
7．D　解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则由1≤|z|≤3可得1≤≤3，即1≤a2＋b2≤9，
所以复数z在复平面内对应的点表示的图形是圆环面．故选D．
二．填空题
8． |y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|　解析：由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，得x＝3，y＝－4.
而|1－5i|＝＝，
|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝.
因为<5<，所以|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.
9． 2　解析：由题意可知，＝－，则对应的复数是(1－i)－(1＋i)＝－2i，所以对应的复数的模是＝2.
10． 180°　解析：依题意，点A(1，2)，B(－2，1)，C(－，－)，D(，－)，记原点为O，则有|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝，所以点A，B，C，D在以点O为圆心、为半径的圆上，如图．
故四边形ABCD为圆内接四边形，所以∠ABC＋∠ADC＝180°.
三．解答题
11．解：由题意得＝(4，3)，＝(－2，－5)，
所以＝－＝(－6，－8)，
所以－＝(3，4)，
所以向量－所对应的复数是3＋4i.
12．
解：因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限．
(2)当实数x满足
即2＜x＜5时，点Z位于第四象限．
(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，
点Z位于直线x－y－3＝0上．
13． [解析]　因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i，
所以＝(－3,4)，＝(2a,1)．
因为与共线，所以存在实数k使＝k，
即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.
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